Skupina uzlů - Knot group

v matematika, a uzel je vkládání a kruh do trojrozměrného Euklidovský prostor. The skupina uzlů uzlu K. je definován jako základní skupina z uzlový doplněk z K. v R³,

${ displaystyle pi _ {1} ( mathbb {R} ^ {3} setminus K).}$

Jiné konvence považují uzly za vložené do 3-sféry, v takovém případě je skupina uzlů základní skupinou jejího doplňku v ${ displaystyle S ^ {3}}$.

Vlastnosti

Dva ekvivalentní uzly izomorfní uzlové skupiny, takže uzlová skupina je a uzel neměnný a lze je použít k rozlišení mezi určitými páry nerovnocenných uzlů. Důvodem je, že ekvivalence mezi dvěma uzly je self-homeomorphism z ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ který je pro identitu izotopový a posílá první uzel na druhý. Takový homeomorfismus omezuje na homeomorfismus doplňků uzlů a tento omezený homeomorfismus indukuje izomorfismus základních skupin. Je však možné, aby dva neekvivalentní uzly měly izomorfní skupiny uzlů (příklad viz níže).

The abelianizace uzlové skupiny je vždy izomorfní s nekonečnem cyklická skupina Z; to následuje, protože abelianizace souhlasí s první homologická skupina, které lze snadno vypočítat.

Skupinu uzlů (nebo základní skupinu orientovaného odkazu obecně) lze vypočítat v Wirtingerova prezentace relativně jednoduchým algoritmem.

Příklady

• The rozepnout má uzlovou skupinu isomorfní s Z.
• The trojlístkový uzel má uzlovou skupinu isomorfní k skupina copu B₃. Tato skupina má prezentace

${ displaystyle langle x, y mid x ^ {2} = y ^ {3} rangle}$ nebo ${ displaystyle langle a, b mid aba = bab rangle.}$

• A (p,q)-uzel torus má uzlovou skupinu s prezentací

${ displaystyle langle x, y mid x ^ {p} = y ^ {q} rangle.}$

• The uzel osmičky má uzlovou skupinu s prezentací

${ displaystyle langle x, y mid yxy ^ {- 1} xy = xyx ^ {- 1} yx rangle}$

• The čtvercový uzel a uzel babičky mají izomorfní skupiny uzlů, ale tyto dva uzly nejsou ekvivalentní.

Viz také

• Skupina odkazů

Další čtení

• Hazewinkel, Michiel, vyd. (2001), "Uzel a propojení skupin ", Encyclopedia of Mathematics Springer, ISBN  978-1556080104