Brunnian odkaz - Brunnian link

Tento čtyřkomponentní odkaz je odkazem na Brunnian.
Šestisložkový Brunnianův odkaz.

v teorie uzlů, pobočka topologie, a Brunnian odkaz je netriviální odkaz která se stává množinou triviálních nepřipojeno kruhy, pokud je některá součást odstraněna. Jinými slovy, řezáním libovolné smyčky uvolníte všechny ostatní smyčky (takže nemohou být žádné dvě smyčky přímo propojeno ).

Název Brunnian je po Hermann Brunn. Brunnův článek z roku 1892 Über Verkettung zahrnuty příklady takových odkazů.

Příklady

The Borromejské prsteny jsou nejjednodušší brunnské odkazy.

Nejznámější a nejjednodušší možný Brunnianův odkaz je Borromejské prsteny, odkaz tří rozuzlí. Pro každé číslo tři nebo vyšší však existuje nekonečný počet odkazů s Brunnianskou vlastností obsahující tento počet smyček. Zde jsou některé relativně jednoduché třísložkové Brunnianovy odkazy, které nejsou stejné jako borromeanské prsteny:

  • 12-křížení odkaz.

  • 18-křížený odkaz.

  • 24-přechod.

Nejjednodušší brunnské spojení jiné než 6-křížení Borromean prstenů je pravděpodobně 10-křížení Odkaz L10a140.[1]

Příklad a n-komponentní Brunnian odkaz je dán „Rubberband“ Brunnianské odkazy, kde je každá součást smyčkovaná kolem další jako aba−1b−1, přičemž poslední smyčka kolem první, tvořící kruh.

Klasifikace

Brunnianské odkazy byly klasifikovány až do link-homotopy podle John Milnor v (Milnor 1954 ) a invarianty, které představil, se nyní nazývají Milnorovy invarianty.

An (n + 1) -komponentní Brunnianův odkaz lze považovat za prvek skupina odkazů - což je v tomto případě (ale ne obecně) základní skupina z doplněk odkazu - z n-komponentní odpojení, protože odstraněním posledního odkazu Brunnianness odpojí ostatní. Skupina odkazů n-komponentní propojení je volná skupina na n generátory, Fn, protože skupina odkazů jednoho odkazu je skupina uzlů z rozepnout, což jsou celá čísla a skupina odkazů nespojené unie je produkt zdarma skupin odkazů komponent.

Ne každý prvek ve skupině odkazů dává Brunnianský odkaz, protože jakýkoli odstraňuje jiný komponenta musí také odpojit zbývající n elementy. Milnor ukázal, že prvky skupiny, které odpovídají Brunnianským odkazům, souvisí s klasifikovaná Lieova algebra z spodní centrální série volné skupiny, což lze interpretovat jako "vztahy" v zdarma Lie algebra.

Produkty Massey

Hlavní článek: Produkt Massey

Brunnian odkazy lze chápat v algebraická topologie přes Produkty Massey: produkt Massey je n- složený produkt, který je definován pouze v případě, že všechny (n - 1) - složené výrobky z jejích pojmů zmizí. To odpovídá Brunnianově vlastnosti všech (n - 1) -komponentní podřízené odkazy jsou odpojené, ale celkově n-komponentní odkaz je netriviálně propojen.

Brunnianské copánky

Viz také: Uzavřený cop
Standardní cop je Brunnian: pokud jeden odstraní černý pramen, modrý pramen je vždy na červeném prameni, a nejsou tedy opleteny kolem sebe; podobně pro odstranění dalších vláken.

Brunnian prýmek je cop, který se stává triviálním po odstranění kteréhokoli z jeho řetězců. Brunnianské copánky tvoří a podskupina z skupina copu. Brunnianské copánky přes 2-koule kteří nejsou Brunnianští během 2-disk vést k netriviálním prvkům v homotopických skupinách 2-sféry. Například „standardní“ opletení odpovídající borromejským prstenům vede k Hopfova fibrace S3 → S2, a iterace tohoto (jako v každodenním pletení) jsou rovněž Brunnian.

Příklady ze skutečného světa

Mnoho hádanky rozuzlení a nějaký mechanické hádanky jsou varianty Brunnian Links, jejichž cílem je uvolnit jeden kus, jen částečně spojený se zbytkem, a tak demontovat konstrukci.

Brunnianské řetězy se také používají k výrobě nositelných a dekorativních předmětů z elastických pásků pomocí zařízení, jako je Rainbow Loom nebo Wonder Loom.

Reference

  1. ^ Bar-Natan, Dror (2010-08-16). "Všichni Brunňané, možná ", [Akademická myslánka].

Další čtení

  • Berrick, A. Jon; Cohen, Frederick R .; Wong, Yan Loi; Wu, Jie (2006), „Konfigurace, copánky a skupiny homotopy“, Journal of the American Mathematical Society, 19 (2): 265–326, doi:10.1090 / S0894-0347-05-00507-2, PAN  2188127.
  • Hermann Brunn, „Über Verkettung“, J. Münch. Ber, XXII. 77–99 (1892). JFM  24.0507.01 (v němčině)
  • Milnor, Johne (Březen 1954), „Skupiny odkazů“, Annals of Mathematics, Annals of Mathematics, 59 (2): 177–195, doi:10.2307/1969685, JSTOR  1969685
  • Rolfsen, Dale (1976), Uzly a odkazy, Matematická přednášková série, 7, Berkeley, Kalifornie: Publikovat nebo zahynout, ISBN  0-914098-16-0, PAN  0515288

externí odkazy