Uzel babičky (matematika) - Granny knot (mathematics)

Uzel babičky
Běžné jméno	Uzel babičky
Křižovatka č.	6
Stick č.	8
A-B notace	${ displaystyle 3_ {1} # 3_ {1}}$
jiný
střídavý, kompozitní, tříbarevný

3D zobrazení

v teorie uzlů, uzel babičky je složený uzel získané převzetím připojená suma dvou identických trojlístkové uzly. Úzce souvisí s čtvercový uzel, který lze také popsat jako spojený součet dvou trojlístků. Protože trojlístkový uzel je nejjednodušší netriviální uzel, uzel babičky a čtvercový uzel jsou nejjednodušší ze všech složených uzlů.

Uzel babičky je matematická verze obyčejného uzel babičky.

Konstrukce

Uzel babičky může být sestaven ze dvou identických uzlů trojlístku, které musí být buď levou, nebo obě pravou rukou. Každý z těchto dvou uzlů se odstřihne a poté se volné konce spojí dohromady. Výsledná připojená suma je uzel babičky.

Je důležité, aby původní uzly trojlístku byly navzájem identické. Pokud se místo toho použijí uzly trojlístku se zrcadlovým obrazem, výsledkem je čtvercový uzel.

Vlastnosti

The číslo křížení uzlu babičky je šest, což je nejmenší možné číslo křížení pro složený uzel. Na rozdíl od čtvercového uzlu není uzel babičky a stuha uzel nebo a plátek uzel.

The Alexanderův polynom uzlu babičky je

${ displaystyle Delta (t) = (t-1 + t ^ {- 1}) ^ {2},}$

což je prostě náměstí Alexanderova polynomu uzlu trojlístku. Podobně Conwayův polynom uzlu babičky je

${ displaystyle nabla (z) = (z ^ {2} +1) ^ {2}.}$

Tyto dva polynomy jsou stejné jako polynomy pro čtvercový uzel. Nicméně Jonesův polynom protože uzel babičky (pro praváky) je

${ displaystyle V (q) = (q ^ {- 1} + q ^ {- 3} -q ^ {- 4}) ^ {2} = q ^ {- 2} + 2q ^ {- 4} -2q ^ {- 5} + q ^ {- 6} -2q ^ {- 7} + q ^ {- 8}.}$

Toto je čtverec Jonesova polynomu pro pravostranný trojlístkový uzel a liší se od Jonesova polynomu pro čtvercový uzel.

The skupina uzlů uzlu babičky je dána prezentací

${ displaystyle langle x, y, z mid xyx = yxy, xzx = zxz rangle.}$^[1]

Tohle je izomorfní do skupiny uzlů čtvercový uzel, a je nejjednodušším příkladem dvou různých uzlů se skupinami izomorfních uzlů.

Reference