Propojovací číslo - Linking number
v matematika, spojovací číslo je číselné neměnný který popisuje propojení dvou uzavřené křivky v trojrozměrný prostor. Intuitivně spojovací číslo představuje počet opakování každé křivky kolem druhé. Propojovací číslo je vždy celé číslo, ale může být pozitivní nebo negativní v závislosti na orientace dvou křivek. (To neplatí pro křivky ve většině 3-variet, kde spojovací čísla mohou být také zlomky nebo vůbec neexistovat.)
Spojovací číslo bylo zavedeno uživatelem Gauss ve formě spojující integrál. Je to důležitý předmět studia v teorie uzlů, algebraická topologie, a diferenciální geometrie a má mnoho aplikací v systému Windows matematika a Věda, počítaje v to kvantová mechanika, elektromagnetismus a studium DNA supercoiling.
Definice
Jakékoli dvě uzavřené křivky v prostoru, pokud mohou projít skrz sebe, ale ne navzájem, mohou být přestěhoval přesně do jedné z následujících standardních pozic. To určuje číslo propojení:
spojovací číslo −2 | spojovací číslo −1 | spojující číslo 0 | |||
spojující číslo 1 | spojující číslo 2 | spojující číslo 3 |
Každá křivka může během tohoto pohybu projít sama, ale obě křivky musí zůstat oddělené. Toto je formováno jako běžná homotopy, což dále vyžaduje, aby každá křivka byla ponoření, nejen jakoukoli mapu. Tato přidaná podmínka však nemění definici spojovacího čísla (nezáleží na tom, zda musí být křivky vždy ponoření nebo ne), což je příklad h-zásada (princip homotopy), což znamená, že geometrie se redukuje na topologii.
Důkaz
Tuto skutečnost (že spojovací číslo je jediný invariant) nejsnadněji dokážeme tak, že umístíme jeden kruh do standardní polohy a poté ukážeme, že spojovací číslo je jediný invariant druhého kruhu. Podrobně:
- Jedna křivka je pravidelná homotopická ke standardnímu kruhu (jakýkoli uzel může být unknotted, pokud křivka může procházet sama). Skutečnost, že je homotopický je jasné, protože 3-prostor je kontraktibilní, a proto jsou všechny mapy do něj homotopické, ačkoli skutečnost, že to lze provést ponořením, vyžaduje určitý geometrický argument.
- Doplněk standardního kruhu je homeomorfní na pevný torus s odstraněným bodem (to lze vidět interpretací 3-prostoru jako 3-koule s odstraněným bodem v nekonečnu a 3-koule jako dva pevné tori přilepené podél hranice), nebo doplněk může být analyzovány přímo.
- The základní skupina 3prostoru minus kruh je celá čísla, odpovídající spojovacímu číslu. To lze vidět prostřednictvím Věta Seifert – Van Kampen (buď přidáním bodu v nekonečnu získáte solidní torus, nebo přidáním kružnice získáte 3prostor, můžete vypočítat základní skupinu požadovaného prostoru).
- Třídy homotopy křivky ve 3prostoru minus kruh jsou tedy určeny spojovacím číslem.
- Je také pravda, že běžné třídy homotopie jsou určeny spojovacím číslem, což vyžaduje další geometrický argument.
Výpočet spojovacího čísla
Tady je algoritmus vypočítat spojovací číslo dvou křivek z odkazu diagram. Označte každý přechod jako pozitivní nebo negativní, podle následujícího pravidla:[1]
Celkový počet kladných křížení minus celkový počet záporných křížení se rovná dvakrát spojovací číslo. To je:
kde n1, n2, n3, n4 představují počet přejezdů každého ze čtyř typů. Tyto dvě částky a jsou si vždy rovni,[2] což vede k následujícímu alternativnímu vzorci
Vzorec zahrnuje pouze spodní křížení modré křivky červenou, zatímco zahrnuje pouze křížení.
Vlastnosti a příklady
- Jakékoli dvě nespojené křivky mají spojovací číslo nula. Dvě křivky se spojovacím číslem nula však mohou být stále spojeny (např Whitehead odkaz ).
- Obrácení orientace kterékoli z křivek neguje číslo propojení, zatímco obrácení orientace obou křivek jej ponechá beze změny.
- Propojovací číslo je chirální: převzetí zrcadlový obraz of link negates the linking number. Konvence kladného spojovacího čísla je založena na a pravidlo pravé ruky.
- The číslo vinutí orientované křivky v X-y rovina se rovná jeho spojovacímu číslu s z- osa (myslí na z-osa jako uzavřená křivka v 3 koule ).
- Obecněji, pokud některá z křivek je jednoduchý, pak první homologická skupina jeho doplňku je izomorfní na Z. V tomto případě je spojovací číslo určeno třídou homologie druhé křivky.
- v fyzika, spojovací číslo je příkladem a topologické kvantové číslo. Souvisí to s Kvantové zapletení[Citace je zapotřebí ].
Gaussova integrální definice
Vzhledem ke dvěma neprotínajícím se diferencovatelným křivkám , definovat Gauss mapa z torus do koule podle
Vyberte bod v jednotkové kouli, proti, takže ortogonální projekce odkazu na rovinu kolmou na proti dává schéma propojení. Dodržujte to (Svatý) to jde do proti pod Gaussovou mapou odpovídá křížení ve spojovacím diagramu, kde je konec . Také sousedství (Svatý) je mapována pod Gaussovou mapou do sousedství proti zachování nebo obrácení orientace v závislosti na znamení přechodu. Tudíž za účelem výpočtu spojovacího čísla diagramu odpovídá proti stačí spočítat podepsaný kolikrát Gaussova mapa pokrývá proti. Od té doby proti je běžná hodnota, to je přesně ten stupeň Gaussovy mapy (tj. počet podepsaných, kolikrát obraz Γ pokrývá sféru). Isotopy invariance spojovacího čísla je automaticky získána, protože stupeň je neměnný pod homotopickými mapami. Jakákoli jiná regulární hodnota by dala stejné číslo, takže číslo propojení nezávisí na žádném konkrétním diagramu propojení.
Tato formulace spojovacího čísla y1 a y2 umožňuje explicitní vzorec jako dvojitý linka integrální, Gaussův spojovací integrál:
Tento integrál počítá celkovou podepsanou oblast obrazu Gaussovy mapy (integrand je Jacobian Γ) a poté se vydělí oblastí koule (což je 4π).
V kvantové teorii pole
v kvantová teorie pole Gaussova integrální definice vzniká při výpočtu očekávané hodnoty Wilsonova smyčka pozorovatelný v Chern – Simons teorie měřidel. Explicitně jde o abelianskou akci Chern – Simons pro měřicí potenciál v jedné formě na třipotrubí darováno
Máme zájem dělat Feynmanova cesta integrální pro Chern – Simons v :
Tady, je antisymetrický symbol. Vzhledem k tomu, že teorie je pouze Gaussova, žádné ultrafialové regulace nebo renormalizace je potřeba. Proto topologická invariance na pravé straně zajišťuje, že výsledkem integrálu cesty bude topologický invariant. Jediné, co musíte udělat, je poskytnout celkový normalizační faktor a přirozená volba se projeví. Vzhledem k tomu, že teorie je Gaussova a Abelianova, lze integrál dráhy provést jednoduše klasickým řešením teorie a nahrazením .
Klasické pohybové rovnice jsou
Zde jsme spojili pole Chern – Simons se zdrojem s výrazem v Lagrangeově. Je zřejmé, že nahrazením příslušných , můžeme získat zpět Wilsonovy smyčky. Protože jsme ve 3 dimenzích, můžeme přepsat pohybové rovnice ve známější notaci:
Vezmeme zvlnění obou stran a vybereme si Lorenzův rozchod , stanou se rovnice
Řešení je z elektrostatiky
Cesta integrální pro libovolné se nyní snadno provádí dosazením do akce Chern – Simons, abyste získali efektivní akci pro pole. Pro získání integrálu dráhy pro Wilsonovy smyčky nahradíme zdroj popisující dvě částice pohybující se v uzavřených smyčkách, tj. , s
Protože účinná akce je kvadratická , je jasné, že budou existovat termíny popisující sebeinterakci částic, a ty jsou nezajímavé, protože by tam byly i za přítomnosti pouze jedné smyčky. Proto normalizujeme cestu integrálním faktorem, který přesně tyto termíny ruší. Procházíme algebrou a získáváme
kde
což je jednoduše Gaussův spojovací integrál. Toto je nejjednodušší příklad a topologická kvantová teorie pole, kde integrál cesty počítá topologické invarianty. To také sloužilo jako náznak, že neabelská varianta Chern-Simonsovy teorie počítá další uzlové invarianty a bylo to výslovně ukázáno Edward Witten že nonabelian teorie dává invariant známý jako Jonesův polynom. [3]
Teorie měřidla Chern-Simons žije ve 3 prostoročasových dimenzích. Obecněji existuje vícerozměrné topologické kvantové teorie pole. Existují komplikovanější statistiky smyček / opletení řetězců o teoriích 4-dimenzionálního měřidla zachycených linkovými invarianty exotických topologické kvantové teorie pole ve 4 časoprostorových rozměrech. [4]
Zobecnění
- Stejně jako uzavřené křivky mohou být propojeno ve třech rozměrech, jakékoli dva uzavřené rozdělovače rozměrů m a n mohou být spojeny v a Euklidovský prostor dimenze . Každý takový odkaz má přidruženou Gaussovu mapu, jejíž stupeň je zobecnění spojovacího čísla.
- Žádný zarámovaný uzel má číslo pro automatické propojení získáno výpočtem spojovacího čísla uzlu C s novou křivkou získanou mírným posunutím bodů C podél rámovacích vektorů. Číslo samočinného propojení získané svislým pohybem (podél rámování tabule) je známé jako Kauffmanovo spojovací číslo.
- Propojené číslo je definováno pro dva propojené kruhy; vzhledem ke třem nebo více kruhům lze definovat Milnorovy invarianty, což jsou číselné neměnné zobecňující spojovací číslo.
- v algebraická topologie, pohárový produkt je dalekosáhlé algebraické zobecnění spojovacího čísla s Produkty Massey být algebraické analogy pro Milnorovy invarianty.
- A vkládání bez odkazů z neorientovaný graf je vložení do trojrozměrného prostoru tak, že každé dva cykly mají nulové spojovací číslo. Grafy, které mají vložení bez odkazů, mají zakázaná drobná charakterizace jako grafy s č Petersenova rodina Méně důležitý.
Viz také
Poznámky
- ^ Toto je stejné označení, jaké se používá k výpočtu svíjet se a uzel, i když v tomto případě označíme pouze přechody, které zahrnují obě křivky odkazu.
- ^ To vyplývá z Jordanova věta o křivce pokud je některá křivka jednoduchá. Například pokud je modrá křivka jednoduchá, pak n1 + n3 a n2 + n4 představují počet opakování červené křivky dovnitř a ven z oblasti ohraničené modrou křivkou.
- ^ Witten, E. (1989). "Kvantová teorie pole a Jonesův polynom". Comm. Matematika. Phys. 121 (3): 351–399. Bibcode:1989CMaPh.121..351W. doi:10.1007 / bf01217730. PAN 0990772. Zbl 0667.57005.
- ^ Putrov, Pavel; Wang, Juven; Yau, Shing-Tung (září 2017). „Statistika opletení a invarianty odkazů bosonicko-fermionické topologické kvantové hmoty v rozměrech 2 + 1 a 3 + 1“. Annals of Physics. 384C: 254–287. arXiv:1612.09298. Bibcode:2017AnPhy.384..254P. doi:10.1016 / j.aop.2017.06.019.
Reference
- A.V. Chernavskii (2001) [1994], "Koeficient propojení", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- − (2001) [1994], „Svíjející se číslo“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMSCS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)