Uzel osmičky (matematika) - Figure-eight knot (mathematics) - Wikipedia

Uzel osmičky
Běžné jméno	Uzel osmičky
ARF invariantní	1
Délka copu	4
Prýmek č.	3
Most č.	2
Crosscap č.	2
Křižovatka č.	4
Rod	1
Hyperbolický objem	2.02988
Stick č.	7
Unknotting no.	1
Conwayova notace	[22]
A-B notace	41
Dowker notace	4, 6, 8, 2
Poslední / další	31 / 51
jiný
střídavý, hyperbolický, vláknitý, primární, plně amfichirální, kroutit

Uzel osmičky praktického vázání uzlů se spojenými konci

v teorie uzlů, a uzel osmičky (také zvaný Uzel výpisu^[1]) je jedinečný uzel s a číslo křížení ze čtyř. Díky tomu je uzel s třetím nejmenším možným číslem křížení za rozepnout atrojlístkový uzel. Uzel osmičky je a primární uzel.

Původ jména

Jméno je dáno, protože vázání normálu uzel osmičky v laně a potom spojením konců k sobě tím nejpřirozenějším způsobem dává model matematického uzlu.

Popis

Jednoduchá parametrická reprezentace uzlu osmičky je množina všech bodů (X,y,z) kde

${ displaystyle { begin {zarovnáno} x & = left (2+ cos {(2t)} right) cos {(3t)} y & = left (2+ cos {(2t)} ) vpravo) sin {(3t)} z & = sin {(4t)} end {zarovnáno}}}$

pro t měnící se nad reálnými čísly (viz 2D vizuální realizace vpravo dole).

Uzel osmičky je primární, střídavý, Racionální s přidruženou hodnotou 5/2 a je achirál. Uzel osmičky je také a vláknitý uzel. To vyplývá z dalších, méně jednoduchých (ale velmi zajímavých) reprezentací uzlu:

(1) Je to homogenní^{[poznámka 1]} uzavřený cop (jmenovitě uzavření 3-strunného copu σ₁σ₂⁻¹σ₁σ₂⁻¹) a věta o John Stallings ukazuje, že jakýkoli uzavřený homogenní cop je vláknitý.

(2) Jedná se o odkaz na (0,0,0,0) z izolovaný kritický bod mapy reálného polynomu F: R⁴→R², tak (podle věty o John Milnor ) Milnor mapa z F je vlastně fibrace. Bernard Perron našel první takový F pro tento uzel, jmenovitě

${ displaystyle F (x, y, z, t) = G (x, y, z ^ {2} -t ^ {2}, 2zt), , !}$

kde

${ displaystyle { begin {zarovnáno} G (x, y, z, t) = & (z (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + t ^ {2}) + x (6x ^ {2} -2y ^ {2} -2z ^ {2} -2t ^ {2}), & tx { sqrt {2}} + y (6x ^ {2} -2y ^ {2} -2z ^ {2} -2t ^ {2})). End {zarovnáno}}}$

Matematické vlastnosti

Uzel osmičky hraje v teorii historicky (a nadále ji hraje) důležitou roli 3 rozdělovače. Někdy v polovině 70. let William Thurston ukázal, že osmička byla hyperbolický tím, že rozkládající se své doplněk do dvou ideál hyperbolický čtyřstěn. (Robert Riley a Troels Jørgensen, pracující nezávisle na sobě, dříve ukázali, že uzel osmičky byl hyperbolický jinými prostředky.) Tato v té době nová konstrukce ho vedla k mnoha mocným výsledkům a metodám. Například to dokázal ukázat až na deset Dehnovy operace uzel osmičky vyústil vHaken, ne-Seifert s vlákny neredukovatelné 3 rozdělovače; toto byly první takové příklady. Mnoho dalších bylo objeveno zobecněním Thurstonovy konstrukce na jiné uzly a odkazy.

Uzel osmičky je také hyperbolický uzel, jehož doplněk má co nejmenší možnou velikost objem, ${ Displaystyle 6 Lambda ( pi / 6) přibližně 2,02988 ...}$ (sekvence A091518 v OEIS ), kde ${ displaystyle Lambda}$ je Lobachevského funkce.^[2] Z tohoto pohledu lze uzel osmičky považovat za nejjednodušší hyperbolický uzel. Doplněk uzlu osmičky je a dvojitý kryt z Gieseking potrubí, který má nejmenší objem z nekompaktních hyperbolických 3 potrubí.

Uzel osmičky a (-2,3,7) preclík uzel jsou jediné dva hyperbolické uzly, o nichž je známo, že mají více než 6 výjimečné operace, Dehnovy operace vedoucí k nehyperbolickému 3-potrubí; mají 10, respektive 7. Věta o Lackenby a Meyerhoff, jehož důkazy se opírají o domněnka o geometrizaci a počítačová pomoc, si myslí, že 10 je největší možný počet výjimečných operací jakéhokoli hyperbolického uzlu. V současné době však není známo, zda je uzel osmičky jediný, který dosahuje vázané hodnoty 10. Známá domněnka je, že vázaná (kromě zmíněných dvou uzlů) je 6.

Jednoduché čtvercové zobrazení konfigurace osmičky.

Symetrické zobrazení generované parametrickými rovnicemi.

Matematický povrch Ilustrující uzel osmičky

Invarianty

The Alexanderův polynom uzlu osmičky je

${ displaystyle Delta (t) = - t + 3-t ^ {- 1}, }$

the Conwayův polynom je

${ displaystyle nabla (z) = 1-z ^ {2}, }$^[3]

a Jonesův polynom je

${ displaystyle V (q) = q ^ {2} -q + ​​1-q ^ {- 1} + q ^ {- 2}. }$

Symetrie mezi ${ displaystyle q}$ a ${ displaystyle q ^ {- 1}}$ v Jonesově polynomu odráží skutečnost, že uzel osmičky je achirální.

Přehrát média

Uzel osmičky

Poznámky

Reference

Další čtení

• Ian Agol, Omezuje se na výjimečnou náplň Dehn, Geometrie a topologie 4 (2000), 431–449. PAN1799796
• Chun Cao a Robert Meyerhoff, Orientovatelné hyperbolické 3-potrubí s minimálním objemem, Inventiones Mathematicae, 146 (2001), č. 2 3, 451–478. PAN1869847
• Marc Lackenby, Slovo hyperbolická Dehnova chirurgie, Inventiones Mathematicae 140 (2000), č. 2, 243–282. PAN1756996
• Marc Lackenby a Robert Meyerhoff, Maximální počet výjimečných operací Dehn, arXiv: 0808.1176
• Robion Kirby, Problémy v nízkodimenzionální topologii, (viz problém 1.77, kvůli Cameron Gordon, pro výjimečné svahy)
• William Thurston, Geometrie a topologie tří potrubí, Přednášky na Princetonské univerzitě (1978–1981).

externí odkazy

• "4_1 ", Atlas uzlů. Přístup: 7. května 2013.
• Weisstein, Eric W. "Osmý uzel". MathWorld.