Hyperbolický objem - Hyperbolic volume

Hyperbolický objem uzel osmičky je 2.0298832.

V matematický pole teorie uzlů, hyperbolický objem a hyperbolický odkaz je objem odkazu doplněk s ohledem na jeho úplnou hyperbolickou metriku. Objem je nutně konečné reálné číslo a je a topologický invariant odkazu.[1] Jako invariant odkazu byl nejprve studován William Thurston v souvislosti s jeho domněnka o geometrizaci.[2]

Uzel a odkaz neměnný

A hyperbolický odkaz je odkaz ve 3-sféře, jejíž doplněk (prostor vytvořený odstraněním odkazu ze 3-sféry) může být dán komplet Riemannova metrika konstantní zápor zakřivení, což mu dává strukturu a hyperbolický 3-potrubí kvocient hyperbolický prostor skupinou jednající svobodně a diskontinuálně. Komponenty spoje se stanou vrcholy 3-potrubí a samotné potrubí bude mít konečný objem. Podle Poskytnout tuhost, má-li komplement odkazu hyperbolickou strukturu, je tato struktura jednoznačně určena a jakékoli geometrické invarianty struktury jsou také topologickými invarianty odkazu. Hyperbolický objem doplňku je zejména a uzel neměnný. Aby byl hyperbolický objem nehyperbolického uzlu nebo odkazu dobře definován pro všechny uzly nebo odkazy, je často definován jako nula.

Existuje jen konečně mnoho hyperbolických uzlů pro libovolný daný objem.[2] A mutace hyperbolického uzlu bude mít stejný objem,[3] je tedy možné vymýšlet příklady se stejnými objemy; skutečně existují libovolně velké konečné sady odlišných uzlů se stejným objemem.[2]V praxi se hyperbolický objem ukázal jako velmi účinný při rozlišování uzlů, využívaný při některých rozsáhlých snahách o uzel tabelace. Jeffrey Weeks počítačový program SnapPea je všudypřítomný nástroj používaný k výpočtu hyperbolického objemu odkazu.[1]

Uzel / odkazObjemOdkaz
Uzel osmičky[4]
Uzel se třemi krouceními2.82812[Citace je zapotřebí ]
Stevedore uzel3.16396[Citace je zapotřebí ]
6₂ uzel4.40083[Citace je zapotřebí ]
Nekonečný uzel5.13794[Citace je zapotřebí ]
Perko pár5.63877[Citace je zapotřebí ]
6₃ uzel5.69302[Citace je zapotřebí ]
Borromejské prsteny[4]

Libovolné rozdělovače

Obecněji lze hyperbolický objem definovat pro jakýkoli hyperbolický 3-potrubí. The Počet týdnů má nejmenší možný objem ze všech uzavřených potrubí (potrubí, které na rozdíl od doplňků odkazů nemá žádné špičky); jeho objem je přibližně 0,9427.[5]

Thurston a Jørgensen dokázali, že množina reálných čísel, která jsou hyperbolickými objemy 3-variet, je dobře objednané, s typ objednávky ωω.[6] Nejmenší mezní bod v této sadě objemů je dán uzlový doplněk z uzel osmičky,[7] a nejmenší mezní bod mezních bodů je dán doplňkem Whitehead odkaz.[8]

Reference

  1. ^ A b Adams, Colin; Hildebrand, Martin; Týdny, Jeffrey (1991), „Hyperbolické invarianty uzlů a odkazů“, Transakce Americké matematické společnosti, 326 (1): 1–56, doi:10.2307/2001854, PAN  0994161.
  2. ^ A b C Wielenberg, Norbert J. (1981), „Hyperbolické 3 potrubí, které sdílejí základní mnohostěn“, Riemannovy povrchy a související témata: Sborník konferencí Stony Brook z roku 1978 (State Univ. New York, Stony Brook, NY, 1978), Ann. matematiky. Stud., 97Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, str. 505–513, PAN  0624835.
  3. ^ Ruberman, Daniel (1987), „Mutace a objemy uzlů v S3", Inventiones Mathematicae, 90 (1): 189–215, Bibcode:1987InMat..90..189R, doi:10.1007 / BF01389038, PAN  0906585.
  4. ^ A b William Thurston (Březen 2002), "7. Výpočet objemu" (PDF), Geometrie a topologie tří potrubí, str. 165
  5. ^ Gabai, David; Meyerhoff, Robert; Milley, Peter (2009), „Minimum volume cusped hyperbolic three-manifolds“, Journal of the American Mathematical Society, 22 (4): 1157–1215, arXiv:0705.4325, Bibcode:2009JAMS ... 22.1157G, doi:10.1090 / S0894-0347-09-00639-0, PAN  2525782.
  6. ^ Neumann, Walter D .; Zagier, Don (1985), „Svazky hyperbolických tří variet“, Topologie, 24 (3): 307–332, doi:10.1016/0040-9383(85)90004-7, PAN  0815482.
  7. ^ Cao, Chun; Meyerhoff, G. Robert (2001), „The Orientable Cusped Hyperbolic 3-manifolds of Minimum Volume“, Inventiones Mathematicae, 146 (3): 451–478, doi:10.1007 / s002220100167, PAN  1869847
  8. ^ Agol, Iane (2010), „Minimálně objemově orientovatelný hyperbolický 2-hrotový 3-rozdělovač“, Proceedings of the American Mathematical Society, 138 (10): 3723–3732, doi:10.1090 / S0002-9939-10-10364-5, PAN  2661571

externí odkazy