Trojlístkový uzel - Trefoil knot - Wikipedia

Jetel
Běžné jméno	Overhand uzel
ARF invariantní	1
Délka copu	3
Prýmek č.	2
Most č.	2
Crosscap č.	1
Křižovatka č.	3
Rod	1
Hyperbolický objem	0
Stick č.	6
Tunel č.	1
Unknotting no.	1
Conwayova notace	[3]
A-B notace	31
Dowker notace	4, 6, 2
Poslední / další	01 / 41
jiný
střídavý, torus, vláknitý, preclík, primární, ne plátek, reverzibilní, tříbarevný, kroutit

v teorie uzlů, pobočka matematika, trojlístkový uzel je nejjednodušší příklad netriviální uzel. Trojlístek lze získat spojením dvou volných konců společného uzel nad hlavou, což má za následek zauzlení smyčka. Jako nejjednodušší uzel je trojlístek základem pro studium matematické teorie uzlů.

Trojlístkový uzel je pojmenován po trojlistu jetel (nebo trojlístek) rostlina.

Popisy

Trojlístkový uzel lze definovat jako křivka získané z následujícího parametrické rovnice:

${ displaystyle x = sin t + 2 sin 2t}$

${ displaystyle y = cos t-2 cos 2t}$

${ displaystyle z = - sin 3t}$

(2,3) -uzel torus je také uzel trojlístku. Následující parametrické rovnice dávají uzlu (2,3) -torus ležící na torus ${ displaystyle (r-2) ^ {2} + z ^ {2} = 1}$:

${ displaystyle x = (2+ cos 3t) cos 2t}$

${ displaystyle y = (2+ cos 3t) sin 2t}$

${ displaystyle z = sin 3t}$

Přehrát média

Video o vytváření uzlu trojlístku

Forma trojlístkového uzlu bez vizuální trojnásobné symetrie

Jakákoli souvislá deformace výše uvedené křivky je také považována za uzel trojlístku. Konkrétně libovolná křivka izotopový uzel trojlístku je také považován za trojlístek. Kromě toho zrcadlový obraz trojlístkového uzlu je také považován za trojlístek. V topologii a teorii uzlů je trojlístek obvykle definován pomocí a uzlový diagram místo explicitní parametrické rovnice.

v algebraická geometrie, trojlístek lze také získat jako průsečík v C² jednotky 3 koule S³ s složitá rovinná křivka nuly komplexu polynomiální z² + w³ (A vrcholový krychlový ).

Trojlístek pro leváky a trojlístek pro praváky.

Pokud je jeden konec pásky nebo pásu třikrát převrácen a poté přilepen k druhému, tvoří okraj uzel trojlístku.^[1]

Symetrie

Trojlístkový uzel je chirální, v tom smyslu, že uzel trojlístku lze odlišit od jeho vlastního zrcadlového obrazu. Dvě výsledné varianty jsou známé jako levoruký trojlístek a pravák trojlístek. Není možné nepřetržitě deformovat levou trojlístek na pravou trojlístek nebo naopak. (To znamená, že tyto dva trojlístky nejsou okolní izotopové.)

Ačkoli chirální, trojlístkový uzel je také invertibilní, což znamená, že neexistuje žádný rozdíl mezi a proti směru hodinových ručiček -orientovaný a ve směru hodinových ručiček trojlístek. To znamená, že chirality trojlístku závisí pouze na křížení nad a pod, nikoli na orientaci křivky.

Trojlístkový uzel je tříbarevný.

Spojením konců se uzel Overhand stává uzlem trojlístku.

Nenáročnost

Trojlístkový uzel je netriviální, což znamená, že není možné „rozvázat“ trojlístkový uzel bez třísek. Matematicky to znamená, že uzel trojlístku není izotopový vůči rozepnout. Zejména neexistuje žádná posloupnost Reidemeister se pohybuje tím se rozvine trojlístek.

Prokázat to vyžaduje konstrukci a uzel neměnný který odlišuje trojlístek od rozuzlení. Nejjednodušší takový invariant je trikolorabilita: trojlístek je tříbarevný, ale rozuzlení není. Kromě toho prakticky každý hlavní uzlový polynom odlišuje trojlístek od unknotu, stejně jako většina ostatních silných invariantů uzlů.

Klasifikace

V teorii uzlů je trojlístek prvním netriviálním uzlem a je jediným uzlem s číslo křížení tři. Je to primární uzel, a je uveden jako 3₁ v Alexander-Briggsova notace. The Dowker notace pro trojlístek je 4 6 2 a Conwayova notace je [3].

Trojlístek lze popsat jako (2,3) -uzel torus. Je to také uzel získaný uzavřením prýmek σ₁³.

Trojlístek je střídavý uzel. Není to však plátek uzel, což znamená, že neváže hladký 2-dimenzionální disk v 4-dimenzionální kouli; jedním ze způsobů, jak to dokázat, je poznamenat, že je to podpis není nula. Dalším důkazem je, že jeho Alexanderův polynom nevyhovuje Fox-Milnorův stav.

Trojlístek je a vláknitý uzel, což znamená, že jeho doplněk v ${ displaystyle S ^ {3}}$ je svazek vláken přes kruh ${ displaystyle S ^ {1}}$. Trojlístek K. lze považovat za sadu párů ${ displaystyle (z, w)}$ z komplexní čísla takhle ${ displaystyle | z | ^ {2} + | w | ^ {2} = 1}$ a ${ displaystyle z ^ {2} + w ^ {3} = 0}$. Pak tohle svazek vláken má Milnor mapa ${ displaystyle phi (z, w) = (z ^ {2} + w ^ {3}) / | z ^ {2} + w ^ {3} |}$ jako projekce svazku vláken uzlového doplňku ${ displaystyle S ^ {3}}$ \ K. do kruhu ${ displaystyle S ^ {1}}$. Vlákno je jednou propíchnuté torus. Protože uzlový doplněk je také a Seifert vláknitý s hranicí má vodorovný nestlačitelný povrch - to je také vlákno Milnor mapa. (Předpokládá se, že uzel byl zesílen, aby se stal pevným torusem N_ε(K.), a že vnitřek tohoto pevného torusu byl odstraněn, aby se vytvořil kompaktní uzlový doplněk ${ displaystyle S ^ {3}}$ int (č_ε(K.)).)

Invarianty

The Alexanderův polynom uzlu trojlístku je

${ displaystyle Delta (t) = t-1 + t ^ {- 1}, ,}$

a Conwayův polynom je

${ displaystyle nabla (z) = z ^ {2} +1.}$^[2]

The Jonesův polynom je

${ displaystyle V (q) = q ^ {- 1} + q ^ {- 3} -q ^ {- 4}, ,}$

a Kauffmanův polynom trojlístku je

${ displaystyle L (a, z) = za ^ {5} + z ^ {2} a ^ {4} -a ^ {4} + za ^ {3} + z ^ {2} a ^ {2} - 2a ^ {2}. ,}$

The HOMFLY polynom trojlístku je

${ displaystyle L ( alpha, z) = - alpha ^ {4} + alpha ^ {2} z ^ {2} +2 alpha ^ {2}. ,}$

The skupina uzlů trojlístku je dána prezentací

${ displaystyle langle x, y mid x ^ {2} = y ^ {3} rangle ,}$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle langle x, y mid xyx = yxy rangle. ,}$^[3]

Tato skupina je isomorfní s skupina copu se třemi prameny.

V náboženství a kultuře

Jako nejjednodušší netriviální uzel je trojlístek běžný motiv v ikonografie a výtvarné umění. Například běžná forma triquetra symbol je trojlístek, stejně jako některé verze germánských Valknut.

V moderním umění dřevoryt Uzly podle M. C. Escher zobrazuje tři uzly trojlístku, jejichž pevné formy jsou zkroucené různými způsoby.^[4]

Viz také

• Preclík odkaz
• Uzel osmičky (matematika)
• Triquetra symbol
• Uzel mochny
• Gordianský uzel

Reference

externí odkazy

• Wolframalpha: (2,3) -torusový uzel
• Trojlístkový uzel 3d model