Čtvercový uzel (matematika) - Square knot (mathematics)

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: Matematika "čtvercového uzlu"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Září 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Čtvercový uzel
Trojrozměrný pohled
Běžné jméno	Útesový uzel
Křižovatka č.	6
Stick č.	8
A-B notace	${ displaystyle 3_ {1} # 3_ {1} ^ {*}}$
jiný
kompozitní, preclík, plátek, amfichirál, tříbarevný

Čtvercový uzel, nakreslený jako a stuha uzel

Čtvercový uzel = trojlístek + odraz trojlístku. Vyobrazeny tyčinky.

v teorie uzlů, čtvercový uzel je složený uzel získané převzetím připojená suma a trojlístkový uzel s jeho odraz. Úzce souvisí s uzel babičky, což je také spojený součet dvou trojlístků. Protože trojlístkový uzel je nejjednodušší netriviální uzel, čtvercový uzel a uzel babičky jsou nejjednodušší ze všech složených uzlů.

Čtvercový uzel je matematická verze obyčejného útesový uzel.

Konstrukce

Čtvercový uzel může být sestaven ze dvou uzlů trojlístku, z nichž jeden musí být levou rukou a druhý pravou rukou. Každý ze dvou uzlů se odstřihne a poté se volné konce spojí dohromady. Výsledný spojený součet je čtvercový uzel.

Je důležité, aby původní uzly trojlístku byly vzájemně zrcadlovými obrazy. Pokud se místo toho použijí dva stejné uzly trojlístku, výsledkem je uzel babičky.

Vlastnosti

Čtvercový uzel je amfichirál, což znamená, že je k nerozeznání od vlastního zrcadlového obrazu. The číslo křížení čtvercového uzlu je šest, což je nejmenší možné číslo křížení pro složený uzel.

The Alexanderův polynom čtvercového uzlu je

${ displaystyle Delta (t) = (t-1 + t ^ {- 1}) ^ {2}, ,}$

což je prostě náměstí Alexanderova polynomu uzlu trojlístku. Podobně Alexander – Conwayův polynom čtvercového uzlu je

${ displaystyle nabla (z) = (z ^ {2} +1) ^ {2}.}$

Tyto dva polynomy jsou stejné jako polynomy pro uzel babičky. Nicméně Jonesův polynom pro čtvercový uzel je

${ displaystyle V (q) = (q ^ {- 1} + q ^ {- 3} -q ^ {- 4}) (q + q ^ {3} -q ^ {4}) = - q ^ { 3} + q ^ {2} -q + ​​3-q ^ {- 1} + q ^ {- 2} -q ^ {- 3}. ,}$

Toto je produkt Jonesových polynomů pro uzly trojlístku pro praváky a leváky a liší se od Jonesova polynomu pro uzel babičky.

The skupina uzlů čtvercového uzlu je dána prezentací

${ displaystyle langle x, y, z mid xyx = yxy, xzx = zxz rangle. ,}$^[1]

Tohle je izomorfní do uzlové skupiny uzlu babičky a je nejjednodušším příkladem dvou různých uzlů s izomorfními uzlovými skupinami.

Na rozdíl od babičského uzlu je čtvercový uzel a stuha uzel, a je tedy také a plátek uzel.

Reference