Teorie chirurgie - Surgery theory

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Ledna 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, konkrétně v geometrická topologie, teorie chirurgie je sbírka technik používaných k výrobě jedné konečně-dimenzionální potrubí z jiného „kontrolovaným“ způsobem, který zavedl John Milnor  (1961 ). Původně vyvinut pro diferencovatelné (nebo hladký ) potrubí, chirurgické techniky se také vztahují na po částech lineární (PL-) a topologické rozdělovače.

Chirurgie se týká vyříznutí částí rozdělovače a jeho nahrazení částí jiného rozdělovače, které se shodují podél řezu nebo hranice. To úzce souvisí, ale není totožné s řídítka rozklady. Jedná se o hlavní nástroj při studiu a klasifikaci potrubí o rozměrech větších než 3.

Více technicky, myšlenkou je začít s dobře pochopeným potrubím M a provést na něm operaci, aby se vytvořilo potrubí M , Které mají nějakou požadovanou vlastnost takovým způsobem, že účinky na homologie, homotopické skupiny nebo jiné invarianty potrubí jsou známy.

Klasifikace exotické sféry podle Michel Kervaire a Milnor  (1963 ) vedlo ke vzniku teorie chirurgie jako hlavního nástroje ve vícerozměrné topologii.

Chirurgický zákrok na potrubí

tento článek je psán jako výzkumná práce nebo vědecký časopis které mohou použít příliš technické termíny nebo nemusí být napsán jako encyklopedický článek. Prosím pomozte to vylepšit přepsáním do encyklopedický styl. (Července 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Li X, Y jsou potrubí s hranicí, pak hranice potrubí produktu je

${displaystyle částečné (X imes Y) = (částečné X imes Y) cup (X imes částečné Y).}$

Základním pozorováním, které ospravedlňuje chirurgický zákrok, je prostor ${displaystyle S ^ {p} imes S ^ {q-1}}$ lze chápat buď jako hranici ${displaystyle D ^ {p + 1} je S ^ {q-1}}$ nebo jako hranice ${displaystyle S ^ {p} imes D ^ {q}}$. V symbolech,

${displaystyle částečný levý (S ^ {p} imes D ^ {q} ight) = S ^ {p} imes S ^ {q-1} = částečný left (D ^ {p + 1} imes S ^ {q-1 } hned)}$,

kde ${displaystyle D ^ {q}}$ je q-dimenzionální disk, tj. množina bodů v ${displaystyle mathbb {R} ^ {q}}$ které jsou ve vzdálenosti jedné nebo menší od daného pevného bodu (středu disku); například ${displaystyle D ^ {1}}$ je homeomorfní do jednotkového intervalu, zatímco ${displaystyle D ^ {2}}$ je kruh společně s body v jeho vnitřku.

Nyní, vzhledem k rozmanitosti M dimenze ${displaystyle n = p + q}$ a vkládání ${displaystyle phi colon S ^ {p} imes D ^ {q} o M}$, definovat další n-dimenzionální potrubí ${displaystyle M '}$ být

${displaystyle M ': = left (Msetminus operatorname {int} (operatorname {im} (phi)) ight); cup _ {phi | _ {S ^ {p} imes S ^ {q-1}}} left (D ^ {p + 1} je S ^ {q-1} ight).}$

Jeden říká, že potrubí M′ Je produkován a chirurgická operace vysekávání ${displaystyle S ^ {p} imes D ^ {q}}$ a lepení ${displaystyle D ^ {p + 1} je S ^ {q-1}}$, nebo str-chirurgická operace pokud chcete určit číslo str. Přesně řečeno, M′ Je potrubí s rohy, ale existuje kanonický způsob, jak je vyhladit. Všimněte si, že submanifold, který byl nahrazen M měl stejnou dimenzi jako M (to bylo z kodimenzionální 0).

Chirurgie úzce souvisí s (ale ne se stejným) připevnění rukojeti. Vzhledem k (n + 1) - potrubí s hranicí (L, ∂L) a vložení ${displaystyle phi}$: S^str × D^q → ∂L, kde n = str + q, definovat další (n + 1) - potrubí s ohraničením L′ Od

${displaystyle L ': = L; cup _ {phi} left (D ^ {p + 1} imes D ^ {q} ight).}$

Rozdělovač L′ Se získá „připojením (str + 1) -handle ", s ∂L′ Získané z ∂L podle a str-chirurgická operace

${displaystyle partial L '= (částečný L-operatorname {int ~ im} phi); pohár _ {phi | _ {S ^ {p} je S ^ {q-1}}} vlevo (D ^ {p + 1} imes S ^ {q-1} ight).}$

Chirurgie M nejen produkuje nové potrubí M′, Ale také a cobordism Ž mezi M a M'. The stopa operace je cobordism (Ž; M, M′), S

${displaystyle W: = (M imes I); cup _ {S ^ {p} imes D ^ {q} imes {1}} left (D ^ {p + 1} imes D ^ {q} ight)}$

(n + 1) -dimenzionální potrubí s hranicí ∂Ž = M ∪ M′ Získané z produktu M × Já připojením (str + 1) - rukojeť D^str+1 × D^q.

Chirurgie je symetrická v tom smyslu, že je rozmanitá M lze znovu získat z M′ O (q - 1) -chirurgie, jejíž stopa se shoduje se stopou původní operace, až do orientace.

Ve většině aplikací je potrubí M přichází s další geometrickou strukturou, jako je mapa do nějakého referenčního prostoru, nebo další data svazku. Jeden pak chce, aby byl chirurgický proces dotován M′ Se stejným druhem dodatečné struktury. Například standardním nástrojem v teorii chirurgie je chirurgický zákrok normální mapy: takový proces změní normální mapu na jinou normální mapu ve stejné třídě bordismu.

Příklady

Účinky na homotopické skupiny a srovnání s připojením buněk

Intuitivně je proces chirurgie mnohonásobným analogem připojení buňky k topologickému prostoru, kde φ zabírá místo připojené mapy. Jednoduché připevnění (q + 1) - buňka do n-manifold by zničil strukturu potrubí z rozměrových důvodů, takže musí být zesílena křížením s jinou buňkou.

Až do homotopy je proces chirurgického zákroku s vložením φ: S^str × D^q → M lze popsat jako připojení (str + 1) -cell, což dává homotopický typ stopy a odpojení a q-cell získat N. Nutnost procesu oddělení lze chápat jako účinek Poincaré dualita.

Stejným způsobem, jako může být buňka připojena k prostoru, aby v některých zabil prvek homotopická skupina prostoru, a str-chirurgie na potrubí M lze často použít k zabití prvku ${displaystyle alpha in pi _ {p} (M)}$. Jsou však důležité dva body: Za prvé, prvek ${displaystyle alpha in pi _ {p} (M)}$ musí být reprezentovatelný vložením φ: S^str × D^q → M (což znamená vložení odpovídající koule do triviálního normální svazek ). Například není možné provést chirurgický zákrok na smyčce obrácení orientace. Zadruhé je třeba vzít v úvahu účinek procesu odpojení, protože by mohl mít vliv také na uvažovanou homotopickou skupinu. Zhruba řečeno, tento druhý bod je důležitý pouze tehdy, když str je alespoň řádově poloviční než rozměrM.

Aplikace na klasifikaci potrubí

Původ a hlavní aplikace teorie chirurgie spočívá v klasifikace potrubí dimenze větší než čtyři. Volně organizující otázky teorie chirurgie jsou:

• Je X potrubí?
• Je F difeomorfismus?

Více formálně je třeba se ptát, zda až do homotopy:

• Má prostor X máte homotopický typ hladkého potrubí stejné dimenze?
• Je homotopická ekvivalence F: M → N mezi dvěma hladkými potrubími homotopický k difeomorfismu?

Ukazuje se, že druhá („jedinečnost“) otázka je relativní verzí otázky prvního („existence“) typu; obě otázky lze tedy léčit stejnými metodami.

Všimněte si, že teorie chirurgie ano ne dát kompletní sada invarianty na tyto otázky. Místo toho je teoretická obstrukce: existuje primární překážka a sekundární překážka zvaná chirurgická obstrukce který je definován pouze v případě, že primární překážka zmizí, a která závisí na výběru provedeném při ověřování, že primární překážka zmizí.

Chirurgický přístup

V klasickém přístupu, jak jej vyvinul William Browder, Sergej Novikov, Dennis Sullivan a C. T. C. Wall, operace se provádí normální mapy prvního stupně. Pomocí chirurgického zákroku je otázka „Je normální mapa F: M → X stupně jedna cobordant na homotopickou ekvivalenci? “lze přeložit (v rozměrech větších než čtyři) na algebraické tvrzení o nějakém prvku v L-skupina z skupinové vyzvánění ${displaystyle mathbf {Z} [pi _ {1} (X)]}$. Přesněji řečeno, otázka má kladnou odpověď právě tehdy, když chirurgická obstrukce ${displaystyle sigma (f) v L_ {n} (mathbf {Z} [pi _ {1} (X)])}$ je nula, kde n je rozměr M.

Zvažte například případ, kdy je dimenze n = 4k je násobkem čtyř a ${displaystyle pi _ {1} (X) = 0}$. Je známo že ${displaystyle L_ {4k} (mathbf {Z})}$ je izomorfní s celými čísly ${displaystyle mathbf {Z}}$; pod tímto izomorfismem chirurgická obstrukce F mapy, až do skalárního faktoru, na rozdíl mezi podpisy ${displaystyle sigma (X) -sigma (M)}$ z X a M. Normální mapa stupně jedna tedy odpovídá homotopické ekvivalenci tehdy a jen tehdy, pokud souhlasí podpisy domény a domény.

Vrátíme-li se k otázce „existence“ shora, vidíme, že prostor X má homotopický typ hladkého potrubí, pokud a pouze tehdy, když obdrží normální mapu stupně, jejíž chirurgická obstrukce zmizí. To vede k vícestupňovému procesu obstrukce: Abychom mohli mluvit o normálních mapách, X musí vyhovovat příslušné verzi Poincaré dualita což z něj udělá a Poincaré komplex. Předpokládám to X je komplex Poincaré, Konstrukce Pontryagin – Thom ukazuje, že normální mapa stupně jedna do X existuje tehdy a jen tehdy, když Spivak normální fibrace z X má snížení na a stabilní vektorový svazek. Pokud jsou normální mapy stupně jedna do X existují jejich třídy bordismu (tzv normální invarianty) jsou klasifikovány souborem tříd homotopy ${displaystyle [X, G / O]}$. Každý z těchto normálních invariantů má chirurgickou překážku; X má homotopický typ hladkého potrubí, právě když je jedna z těchto překážek nulová. Jinak řečeno, to znamená, že pod možností je na výběr normální invariant s nulovým obrazem mapa obstrukce chirurgie

${displaystyle [X, G / O] o L_ {n} left (mathbf {Z} left [pi _ {1} (X) ight] ight).}$

Sady struktur a přesná sekvence chirurgie

Koncept sada struktur je sjednocujícím rámcem pro otázky existence i jedinečnosti. Zhruba řečeno, strukturní sada prostoru X sestává z homotopických ekvivalentů M → X z nějakého potrubí do X, kde jsou dvě mapy identifikovány na základě vztahu bordismu. Nutná (ale ne obecně dostačující) podmínka pro sadu struktur prostoru X být neprázdný je to X být n-dimenzionální Poincaré komplex, tj. že homologie a kohomologie skupiny jsou příbuzné izomorfismy ${displaystyle H ^ {*} (X) cong H_ {n - *} (X)}$ z n-dimenzionální potrubí, pro celé číslo n. V závislosti na přesné definici a kategorii potrubí (hladký, PL nebo topologické ), existují různé verze sad struktur. Vzhledem k tomu, že Věta o s-cobordismu, určité bordismy mezi rozdělovači jsou izomorfní (v příslušné kategorii) vůči válcům, koncept sady struktur umožňuje klasifikaci dokonce až difeomorfismus.

Sada struktur a mapa obstrukce chirurgie jsou spojeny v přesná sekvence operace. Tato sekvence umožňuje určit sadu struktur Poincarého komplexu, jakmile bude pochopena mapa obstrukce chirurgie (a její relativní verze). V důležitých případech lze hladkou nebo topologickou strukturu vypočítat pomocí přesné operace. Příkladem je klasifikace exotické sféry a důkazy Borel dohad pro záporně zakřivené rozdělovače a rozdělovače s hyperbolický základní skupina.

V topologické kategorii je přesná sekvence operace dlouhá přesná sekvence indukovaná a fibrační sekvence z spektra. To znamená, že všechny množiny zapojené do sekvence jsou ve skutečnosti abelianské skupiny. Na úrovni spektra je mapa obstrukce chirurgie montážní mapa jehož vlákno je prostor blokové struktury příslušného potrubí.

Viz také

• Věta o s-cobordismu
• Věta o h-cobordismu
• Torze Whitehead
• Dehnova operace
• Rozdělování potrubí
• orientační znak
• Instalatérství (matematika)

Reference

• Browder, William (1972), Chirurgie na jednoduše připojených potrubích, Berlín, New York: Springer-Verlag, PAN  0358813
• Cappell, Sylvain; Ranicki, Andrew; Rosenberg, Jonathan, eds. (2000), Průzkumy teorie chirurgie. Sv. 1 (PDF), Annals of Mathematics Studies, 145, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-04938-0, PAN  1746325
• Cappell, Sylvain; Ranicki, Andrew; Rosenberg, Jonathan, eds. (2001), Průzkumy teorie chirurgie. Sv. 2 (PDF), Annals of Mathematics Studies, 149, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08815-0, PAN  1818769
• Kervaire, Michel A.; Milnor, John W. (1963), "Skupiny homotopy sfér: I", Annals of Mathematics, 77 (3): 504–537, doi:10.2307/1970128, JSTOR  1970128, PAN  0148075
• Milnor, John Willard (1961), „Postup zabíjení homotopy skupin diferencovatelných variet.“, Proc. Symposy. Pure Math., Sv. III„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 39–55, PAN  0130696
• Milnor, John Willard (1965), Přednášky o teorému h-cobordismu, Poznámky od Laurent Siebenmann a Jonathan Sondow, Princeton University Press, PAN  0190942
• Postnikov, Mikail M.; Rudyak, Yuli B. (2001) [1994], "Morseova operace", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Ranicki, Andrew (1980), „Algebraická teorie chirurgie. I. Základy“ (PDF), Proceedings of the London Mathematical Society, 40 (3): 87–192, CiteSeerX  10.1.1.309.4753, doi:10.1112 / plms / s3-40.1.87
• Ranicki, Andrew (1980), „Algebraická teorie chirurgie. II. Aplikace na topologii“ (PDF), Proceedings of the London Mathematical Society, 40 (2): 193–283, doi:10,1112 / plms / s3-40.2.193
• Ranicki, Andrew (2002), Algebraická a geometrická chirurgie Oxfordské matematické monografie, Clarendon Press, ISBN  978-0-19-850924-0, PAN  2061749
• Wall, C. T. C. (1999) [1970], Ranicki, Andrew (vyd.), Chirurgie na kompaktních potrubích (PDF)Matematické průzkumy a monografie 69 (2. vyd.), Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0942-6, PAN  1687388

externí odkazy

• Studijní skupina Edinburgh Surgery Theory
• 2012 Oberwolfachův seminář o teorii chirurgie na Projekt Atlas rozdělovače
• 2012 Regensburg Blockseminar on Surgery theory na Projekt Atlas rozdělovače
• Kurz chirurgie na Harvardu od Jacoba Lurieho z roku 2011 Poznámky z přednášky
• Domovská stránka Andrewa Ranickiho
• Domovská stránka Shmuela Weinbergera