Přadénkový vztah - Skein relation

Přadeno vztahy jsou matematický nástroj používaný ke studiu uzly. Ústřední otázka v matematická teorie uzlů je, zda dva uzlové diagramy představují stejný uzel. Jedním ze způsobů, jak odpovědět na otázku, je použití uzlové polynomy, což jsou invarianty uzlu. Pokud se dva diagramy liší polynomy, představují různé uzly. Obecně platí, že konverzovat nedrží.

Přadénkové vztahy se často používají k jednoduché definici uzlových polynomů. Vztah přadena poskytuje lineární vztah mezi hodnotami uzlového polynomu na kolekci tří Odkazy které se od sebe liší jen v malém regionu. U některých uzlových polynomů, například Conway, Alexander, a Jonesovy polynomy, příslušné vztahy přadénku jsou dostatečné pro výpočet polynomu rekurzivně. Pro ostatní, například HOMFLYPT polynom, jsou nutné složitější algoritmy.

Definice

Vztah přadena vyžaduje tři spojovací diagramy, které jsou identické, kromě jednoho křížení. Tři diagramy musí vykazovat tři možnosti, které by mohly nastat pro dva úsečky na tomto křížení, jedna z linií mohla projít pod, stejná linka může být přes nebo se tyto dvě čáry nemusí křížit vůbec. Je třeba vzít v úvahu linkové diagramy, protože jedna změna přadénku může změnit diagram z reprezentace uzlu na ten, který představuje odkaz a naopak. V závislosti na daném uzlu polynomu mohou být odkazy (nebo spletence) objevující se ve vztahu přadeno orientovány nebo neorientovány.

Tři diagramy jsou označeny následovně. Otočte diagram tří spojů tak, aby příslušné směry na křižovatce byly zhruba na sever. Jeden diagram bude mít severozápad nad severovýchodem, je označen L₋. Jiný bude mít severovýchod přes severozápad, to je L₊. Zbývajícímu diagramu chybí tento přechod a je označen L₀.

(Označení je nezávislé na směru, pokud zůstává stejné, pokud jsou všechny směry obráceny. Polynomy na neorientovaných uzlech jsou tedy touto metodou jednoznačně definovány. Pokyny na Odkazy jsou zásadní podrobnosti, které je třeba zachovat při opakování polynomiálního výpočtu.)

Je také rozumné uvažovat v generativním smyslu tím, že vezmeme existující odkazový diagram a "opravíme" jej, abychom vytvořili další dva - jen pokud jsou opravy aplikovány kompatibilními směry.

Chcete-li rekurzivně definovat uzel (odkaz) polynomu, funkci F je pevná a pro jakoukoli trojici diagramů a jejich polynomy označené výše,

${ displaystyle F { Big (} L _ {-}, L_ {0}, L _ {+} { Big)} = 0}$

nebo pedantněji

${ displaystyle F { Big (} L _ {-} (x), L_ {0} (x), L _ {+} (x), x { Big)} = 0}$ pro všechny ${ displaystyle x}$

(Nalezení F který produkuje polynomy nezávislé na sekvencích křížení použitých při rekurzi, není triviální cvičení.)

Více formálně lze vztah přadeno považovat za definici jádro a kvocientová mapa z rovinná algebra z spleti. Taková mapa odpovídá uzlovému polynomu, pokud jsou všechny uzavřené diagramy přeneseny na nějaký (polynomický) násobek obrazu prázdného diagramu.

Příklad

Někdy na začátku 60. let Conway ukázal, jak vypočítat Alexanderův polynom pomocí vztahů přadena. Jak to je rekurzivní, není to tak přímé jako Alexanderův originál matice metoda; na druhé straně se části práce provedené pro jeden uzel budou vztahovat na ostatní. Zejména síť diagramů je stejná pro všechny polynomy související s přadénkem.

Nechte funkci P od spojovacích diagramů po Laurentova řada v ${ displaystyle { sqrt {x}}}$ kromě toho ${ displaystyle P ({ rm {unknot}}) = 1}$ a trojitý diagram vztahů přadének ${ displaystyle (L _ {-}, L_ {0}, L _ {+})}$ splňuje rovnici

${ displaystyle P (L _ {-}) = (x ^ {- 1/2} -x ^ {1/2}) P (L_ {0}) + P (L _ {+})}$

Pak P mapuje uzel na jeden z jeho Alexanderových polynomů.

V tomto příkladu vypočítáme Alexanderův polynom z uzel mochny (), střídavý uzel s pěti přechody ve svém minimálním diagramu. V každé fázi vykazujeme vztah zahrnující složitější odkaz a dva jednodušší diagramy. Složitější odkaz je vpravo v každém kroku níže, kromě posledního. Pro větší pohodlí si dovolte A = X^−1/2−x^1/2.

Nejprve vytvoříme dva nové diagramy tak, že opravíme jeden z přechodů cinquefoil (žlutě zvýrazněný),

P() = A × P() + P()

První diagram je ve skutečnosti trojlístek; druhý diagram jsou dva uzly se čtyřmi přechody. Oprava toho druhého

P() = A × P() + P()

dává opět trojlístek a dva uzly s dva přechody ( Hopfův odkaz [1] ). Oprava trojlístku

P() = A × P() + P()

dává uzel a opět odkaz Hopf. Oprava odkazu Hopf

P() = A × P() + P()

dává odkaz s 0 přechody (unlink) a unknot. Odpojení vyžaduje trochu záludnosti:

P() = A × P() + P()

Výpočty

Nyní máme dostatek vztahů k výpočtu polynomů všech odkazů, se kterými jsme se setkali, a můžeme použít výše uvedené rovnice v opačném pořadí, abychom se dopracovali k samotnému uzlu cinquefoil. Výpočet je popsán v následující tabulce, kde ? označuje neznámou veličinu, kterou řešíme v každém vztahu:

název uzlu	diagramy	P (diagram)
		přadeno rovnice	?	P plně
rozepnout		definováno jako 1		x → 1
odpojit		1 = A? +1	0	x → 0
Hopfův odkaz		0 = A1 +?	-A	x → x1/2-X−1/2
jetel		1 = A (-A) +?	1 + A2	x → x−1-1 + x
4 křížový odkaz		-A = A (1 + A2)+?	-A (2 + A2)	x → -x−3/2+ x−1/2-X1/2+ x3/2
mochna		1 + A2= A (-A (2 + A.)2))+?	1 + 3A2+ A4	x → x−2-X−1+ 1-x + x2

Alexandrovým polynomem pro molo je tedy P (x) = x⁻² -X⁻¹ +1 -x + x².

Zdroje

• Americká matematická společnost, Uzly a jejich polynomy, Sloupec funkcí.
• Weisstein, Eric W. "Přadénkový vztah". MathWorld.
• Morton, Hugh R .; Lukac, Sascha G. (2003), „HOMFLY polynomial of dekored Hopf link“, Žurnál teorie uzlů a jeho důsledky, 12: 395–416, arXiv:math.GT/0108011, doi:10,1142 / s0218216503002536.