Invertibilní uzel - Invertible knot

v matematika, zejména v oblasti topologie známý jako teorie uzlů, an invertibilní uzel je uzel to může být průběžně deformován k sobě, ale s obrácenou orientací. A nevratný uzel je jakýkoli uzel, který nemá tuto vlastnost. The invertibilita uzlu je a uzel neměnný. An invertibilní odkaz je odkaz ekvivalent invertibilního uzlu.

Existuje pouze pět typů uzlů symetrie, označených chirality a invertibilita: plně chirální, reverzibilní, pozitivně amfichirální neinvertibilní, negativně amfichirální neinvertibilní a plně amfichirální invertibilní.[1]

Pozadí

Počet nezvratných a nezvratných uzlů pro každý z nich číslo křížení
Počet přejezdů345678910111213141516OEIS sekvence
Nevratné uzly00000123318711446919381182265811309875A052402
Invertibilní uzly1123720471323651032306988542671278830A052403

Již dlouho je známo, že většina jednoduchých uzlů, jako je trojlístkový uzel a uzel osmičky jsou invertibilní. V roce 1962 Ralph Fox domníval se, že některé uzly jsou nezměnitelné, ale nebylo prokázáno, že nezvratné uzly existují, dokud Hale Trotter objevil nekonečnou rodinu preclíkové uzly které byly v roce 1963 nezvratné.[2] Nyní je to známé téměř všechny uzly jsou nezměnitelné.[3]

Invertibilní uzly

Nejjednodušší netriviální invertibilní uzel, trojlístkový uzel. Otočení uzlu o 180 stupňů ve 3prostoru kolem osy v rovině diagramu vytvoří stejný uzlový diagram, ale se směrem šipky obráceným.

Všechny uzly s číslo křížení o 7 nebo méně je známo, že jsou invertibilní. Není známa žádná obecná metoda, která by rozlišovala, zda je daný uzel invertibilní.[4] Problém lze přeložit do algebraických výrazů,[5] ale bohužel není znám žádný algoritmus, který by tento algebraický problém vyřešil.

Pokud je uzel invertibilní a amfichirál, je plně amfichirální. Nejjednodušší uzel s touto vlastností je uzel osmičky. Chirální uzel, který je invertibilní, je klasifikován jako reverzibilní uzel.[6]

Silně invertovatelné uzly

Více abstraktním způsobem, jak definovat invertibilní uzel, je říci, že existuje homeomorfismus 3-koule zachovávající orientaci, který uzel vezme k sobě, ale obrátí orientaci podél uzlu. Uložením silnější podmínky, aby byl homeomorfismus také involuce, tj. mít období 2 ve skupině homeomorfismu 3-sféry, dospějeme k definici a silně invertibilní uzel. Všechny uzly s číslo tunelu jeden, jako je trojlístkový uzel a uzel osmičky, jsou silně invertibilní.[7]

Nevratné uzly

Nevratný uzel 817, nejjednodušší z nevratných uzlů.

Nejjednodušším příkladem nevratného uzlu je uzel 817 (Alexander-Briggsova notace) nebo .2.2 (Conwayova notace ). The preclík uzel 7, 5, 3 je nezměnitelný, stejně jako všechny preclíkové uzly formuláře (2str + 1), (2q + 1), (2r + 1), kde str, q, a r jsou odlišná celá čísla, což je nekonečná rodina, kterou Trotter dokázal jako nezvratnou.[2]

Viz také

Reference

  1. ^ Hoste, Jim; Thistlethwaite, Morwen; Weeks, Jeff (1998), „Prvních 1 701 936 uzlů“ (PDF), Matematický zpravodaj, 20 (4): 33–48, doi:10.1007 / BF03025227, PAN  1646740, archivovány z originál (PDF) dne 2013-12-15.
  2. ^ A b Trotter, H. F. (1963), „Existují nezvratné uzly“, Topologie, 2: 275–280, doi:10.1016/0040-9383(63)90011-9, PAN  0158395.
  3. ^ Murasugi, Kunio (2007), Teorie uzlů a její aplikace, Springer, str. 45, ISBN  9780817647186.
  4. ^ Weisstein, Eric W. „Invertible Knot“. MathWorld. Přístup: 5. května 2013.
  5. ^ Kuperberg, Greg (1996), „Detection invertible uzel“, Žurnál teorie uzlů a jeho důsledky, 5 (2): 173–181, arXiv:q-alg / 9712048, doi:10.1142 / S021821659600014X, PAN  1395778.
  6. ^ Clark, W. Edwin; Elhamdadi, Mohamed; Saito, Masahico; Yeatman, Timothy (2013), Quandle zbarvení uzlů a aplikací, arXiv:1312.3307, Bibcode:2013arXiv1312.3307C.
  7. ^ Morimoto, Kanji (1995), „Existují uzly, jejichž čísla tunelů klesají pod spojenou částku“, Proceedings of the American Mathematical Society, 123 (11): 3527–3532, doi:10.1090 / S0002-9939-1995-1317043-4, JSTOR  2161103, PAN  1317043. Viz zejména Lemma 5.

externí odkazy