Gordon – Luecke věta - Gordon–Luecke theorem

v matematika, Gordon – Luecke věta na uzel doplňuje uvádí, že pokud doplňuje dva krotké uzly jsou homeomorphic, pak uzly jsou ekvivalentní. Zejména jakýkoli homeomorfismus mezi uzlovými doplňky musí vést poledník k poledníku.

Věta se obvykle uvádí jako „uzly jsou určovány jejich doplňky“; to je však poněkud nejednoznačné, protože považuje dva uzly za ekvivalentní, pokud existuje homeomorfismus, který bere jeden uzel na druhý. Zrcadlové obrazy jsou tedy zanedbávány. Často jsou dva uzly považovány za rovnocenné, pokud jsou izotopový. Správná verze v tomto případě je, že pokud mají dva uzly komplementy, které zachovávají orientaci homeomorfní, pak jsou izotopové.

Tyto výsledky vyplývají z následujícího (také nazývaného Gordon – Lueckeova věta): žádné netriviální Dehnova operace na netriviální uzel v 3 koule může přinést 3 koule.

Věta byla prokázána Cameron Gordon a John Luecke. Základní složkou důkazu je jejich společná práce s Marc Culler a Peter Shalen na věta o cyklické chirurgii, kombinatorické techniky ve stylu Litherland, tenká poloha, a Scharlemannovy cykly.

U doplňků odkazů není ve skutečnosti pravda, že odkazy jsou určovány jejich doplňky. Například, JHC Whitehead dokázal, že existuje nekonečně mnoho odkazů, jejichž doplňky jsou všechny homeomorfní k Whitehead odkaz. Jeho konstrukcí je kroucení podél disku překlenujícího neuzlovanou komponentu (jako je tomu v případě kterékoli komponenty odkazu Whitehead). Další metodou je kroucení podél prstence, který zahrnuje dvě složky. Gordon dokázal, že pro třídu odkazů, kde tyto dvě konstrukce nejsou možné, existuje konečně mnoho odkazů v této třídě s daným doplňkem.

Reference

• Cameron Gordon a John Luecke, Uzly jsou určovány jejich doplňky. J. Amer. Matematika. Soc. 2 (1989), č. 2 2, 371–415.
• Cameron Gordon, Odkazy a jejich doplňky. Topologie a geometrie: připomínající SISTAG, 71–82, kontemp. Math., 314, Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 2002.