Křížení číslo (teorie uzel) - Crossing number (knot theory)

Trojlístkový uzel bez trojnásobné symetrie se značenými přechody.
Tabulka všech primární uzly se sedmi čísly křížení nebo méně (bez zrcadlových obrázků).

V matematický oblast teorie uzlů, číslo křížení a uzel je nejmenší počet křížení kteréhokoli diagramu uzlu. Je to uzel neměnný.

Příklady

Například rozepnout má číslo křížení nula, trojlístkový uzel tři a uzel osmičky čtyři. Neexistují žádné další uzly s tak nízkým počtem křížení a pouze dva uzly mají křížení číslo pět, ale počet uzlů s určitým počtem křížení se rychle zvyšuje s rostoucím počtem křížení.

Tabulka

Tabulky primární uzly jsou tradičně indexovány číslem křížení s dolním indexem, který označuje, který konkrétní uzel z těch s mnoha kříženími je míněn (toto dílčí uspořádání není založeno na ničem konkrétním, kromě toho, že torusové uzly pak kroucení uzlů jsou uvedeny jako první). Výpis jde 31 (trojlístkový uzel), 41 (uzel osmičky), 51, 52, 61atd. Od té doby se tato objednávka významně nezměnila P. G. Tait zveřejnil tabulku uzlů v roce 1877.[1]

Aditivita

Čtvercový uzel (cr (6)) = trojlístek (cr (3)) + odraz trojlístku (cr (3)).

V chápání chování křížení čísla při základních operacích na uzlech došlo k velmi malému pokroku. Velká otevřená otázka se ptá, zda je číslo přechodu aditivní při braní uzlové částky. Rovněž se očekává, že a satelit uzlu K. by měl mít větší číslo přechodu než K., ale toto nebylo prokázáno.

Aditivita čísla křížení pod uzlovým součtem byla prokázána pro zvláštní případy, například pokud jsou sčítané hodnoty střídavé uzly[2] (nebo obecněji adekvátní uzel ), nebo pokud jsou součty torusové uzly.[3][4] Marc Lackenby také poskytl důkaz, že existuje konstanta N > 1 takový , ale jeho metoda, která využívá normální povrchy, nemůže zlepšit N až 1.[5]

Aplikace v bioinformatice

Existuje spojení mezi číslem křížení uzlu a fyzickým chováním DNA uzly. U hlavních uzlů DNA je číslo křížení dobrým prediktorem relativní rychlosti uzlu DNA v agaróze Gelová elektroforéza. Čím vyšší je číslo křížení, tím vyšší je relativní rychlost. Pro složené uzly, zdá se, že tomu tak není, i když experimentální podmínky mohou drasticky změnit výsledky.[6]

Související invarianty

Existují související pojmy průměrné číslo křížení a asymptotické číslo křížení. Obě tyto veličiny vázaly standardní číslo křížení. Asymptotické číslo křížení se předpokládá, že se rovná číslu křížení.

Mezi další invariantní číselné uzly patří číslo mostu, spojovací číslo, číslo páky, a rozvazovací číslo.

Reference

  1. ^ Tait, P. G. (1898), „Na uzlech I, II, III'", Vědecké práce, 1, Cambridge University Press, s. 273–347.
  2. ^ Adams, Colin C. (2004), Kniha uzlů: Základní úvod do matematické teorie uzlů „Providence, RI: American Mathematical Society, str. 69, ISBN  9780821836781, PAN  2079925.
  3. ^ Gruber, H. (2003), Odhady minimálního počtu křížení, arXiv:matematika / 0303273, Bibcode:2003math ...... 3273G.
  4. ^ Diao, Yuanan (2004), „Aditivita křížení čísel“, Žurnál teorie uzlů a jeho důsledky, 13 (7): 857–866, doi:10.1142 / S0218216504003524, PAN  2101230.
  5. ^ Lackenby, Marc (2009), „Počet křížení složených uzlů“, Časopis topologie, 2 (4): 747–768, arXiv:0805.4706, doi:10.1112 / jtopol / jtp028, PAN  2574742.
  6. ^ Simon, Jonathan (1996), "Energetické funkce pro uzly: Začátek předpovídat fyzické chování", v Mesirov, Jill P.; Schulten, Klaus; Sumners, De Witt (eds.), Matematické přístupy k biomolekulární struktuře a dynamice„Svazky IMA v matematice a její aplikace, 82, str. 39–58, doi:10.1007/978-1-4612-4066-2_4.