Chirální uzel - Chiral knot

V matematický pole teorie uzlů, a chirální uzel je uzel to je ne ekvivalent do jeho zrcadlového obrazu. Orientovaný uzel, který je ekvivalentní jeho zrcadlovému obrazu, je amfichirální uzel, nazývané také achirální uzel. The chirality uzlu je a uzel neměnný. Chirality uzlu lze dále klasifikovat podle toho, zda je nebo není invertibilní.

Existuje pouze pět typů symetrie uzlů, které jsou označeny chiralitou a invertibilitou: plně chirální, reverzibilní, pozitivně amfichirální neinvertibilní, negativně amfichirální neinvertibilní a plně amfichirální invertibilní.^[1]

Pozadí

Chiralita určitých uzlů byla dlouho podezřelá a byla prokázána Max Dehn v roce 1914. P. G. Tait domníval se, že všechny amfichirální uzly mají dokonce číslo křížení, ale protipříklad byl nalezen uživatelem Morwen Thistlethwaite et al. v roce 1998.^[2] Taitova domněnka se však ukázala jako pravdivá primární, střídavé uzly.^[3]

• Oba možné trojlístkové uzly.
• 

  Uzel trojlístku pro leváky.

• 

  Uzel trojlístku pro praváky.

Nejjednodušší chirální uzel je trojlístkový uzel, u kterého se ukázalo, že je chirální Max Dehn. Všechno torusové uzly jsou chirální. The Alexanderův polynom nemůže detekovat chiralitu uzlu, ale Jonesův polynom může v některých případech; -li PROTI_k(q) ≠ PROTI_k(q⁻¹), pak je uzel chirální, ale obrácení není pravdivé. The HOMFLY polynom je ještě lepší v detekci chirality, ale není znám žádný polynom uzel neměnný který dokáže plně detekovat chirality.^[4]

Oboustranný uzel

Chirální uzel, který je invertibilní je klasifikován jako reverzibilní uzel.^[5] Mezi příklady patří uzel trojlístku.

Plně chirální uzel

Pokud uzel není ekvivalentní jeho inverzní nebo jeho zrcadlový obraz, je to plně chirální uzel, například 9 32 uzel.^[5]

Amfichirální uzel

The uzel osmičky je nejjednodušší amfichirální uzel.

Amfichirálním uzlem je uzel, který má orientace -obrátit sebe-homeomorfismus z 3 koule, α, kterým uzel set-moudrý. Vše amfichirální střídavé uzly mít dokonce číslo křížení. První amfichirální uzel s lichým číslem křížení je uzel s křížením 15, který objevil Hoste et al.^[3]

Plně amfichirální

Pokud je uzel izotopový na svůj zadní i zrcadlový obraz je plně amfichirální. Nejjednodušší uzel s touto vlastností je uzel osmičky.

Pozitivní amfichirál

Pokud si homeomorfismus α zachovává orientaci uzlu, říká se o něm pozitivní amfichirál. To je ekvivalentní tomu, že uzel je izotopový vůči jeho zrcadlu. Žádné uzly s počtem křížení menším než dvanáct nejsou pozitivní amfichirál.^[5]

Negativní amfichirál

První negativní amfichirální uzel.

Jestliže self-homeomorphism, α, obrátí orientaci uzlu, to je řekl, aby byl negativní amphichiral. To je ekvivalentní s tím, že uzel je izotopový s rubem jeho zrcadlového obrazu. Uzel s touto vlastností, který má nejméně křížení, je uzel 8₁₇.^[5]

Reference