Alexander rohatá koule - Alexander horned sphere

Alexander rohatá koule

The Alexander rohatá koule je patologické objekt v topologie objeveno uživatelem J. W. Alexander  (1924 ).

Konstrukce

Zvláštní je rohovitá koule Alexander vkládání a koule v 3-dimenzionálním Euklidovský prostor získaný následující konstrukcí, počínaje a standardní torus:[1]

  1. Odstraňte radiální plátek torusu.
  2. Připojte standardní propíchnutý torus na každou stranu řezu, propojený s torusem na druhé straně.
  3. Opakujte kroky 1–2 na dvou právě přidaných tori ad infinitum.

Když vezmeme v úvahu pouze body tori, které nejsou v určité fázi odstraněny, výsledkem vložení bude koule s a Cantor set odstraněn. Toto vložení se vztahuje na celou sféru, protože body blížící se dvěma různým bodům sady Cantor budou v konstrukci od sebe vzdáleny alespoň pevnou vzdáleností.

Dopad na teorii

Rohová koule je spolu s vnitřkem topologická 3 míčky, Alexander rohatý míča tak je jednoduše připojeno; tj. každá smyčka může být zmenšena na určitý bod, zatímco zůstane uvnitř. Exteriér je ne jednoduše připojeno, na rozdíl od vnějšku obvyklé kulaté koule; smyčka spojující torus ve výše uvedené konstrukci nemůže být zmenšena do bodu, aniž by se dotkla rohové koule. To ukazuje, že Jordan – Schönfliesova věta nedrží ve třech rozměrech, jak si Alexander původně myslel. Alexander také dokázal, že věta dělá držet ve třech rozměrech pro po částech lineární /hladký vložení. Toto je jeden z prvních příkladů, kdy je třeba rozlišovat mezi Kategorie z topologické potrubí, diferencovatelné potrubí, a po částech lineární potrubí se ukázalo.

Nyní považujte Alexandrovu rohatou sféru za vkládání do 3 koule, považovaný za jednobodové zhutnění trojrozměrného Euklidovský prostor R3. The uzavření jednoduše připojené domény se nazývá pevná sféra s rohy Alexandra. Ačkoli pevná rohatá koule není a potrubí, R. H. Bing ukázal, že jeho dvojnásobek (což je 3-variátor získaný slepením dvou kopií rohové koule k sobě podél odpovídajících bodů jejich hranic) je ve skutečnosti 3-koule.[2] Lze uvažovat o dalších lepeních pevné rohové koule na její kopii, vyplývající z různých homeomorfismů hraniční koule k sobě samé. Ukázalo se také, že jde o 3 sféru. Pevná sféra s rohem Alexandra je příkladem a zmačkaná kostka; tj. uzavřená komplementární doména vložení 2-koule do 3-koule.

Zobecnění

Lze zobecnit Alexandrovu konstrukci tak, aby generovala další rohové koule, a to zvýšením počtu rohů v každé fázi Alexandrovy konstrukce nebo zvážením analogické konstrukce ve vyšších dimenzích.

Pro konstrukci takových „divokých“ koulí existují i ​​jiné podstatně odlišné konstrukce. Další příklad, který také našel Alexander, je Antoinova rohatá koule, který je založen na Antoinův náhrdelník, patologické zakotvení Cantor set do 3-sféry.

Viz také

Reference

  1. ^ Hocking & Young 1988, str. 175–176. Spivak 1999, str. 55
  2. ^ Bing, R. H. (1952), „Homeomorfismus mezi 3 sférou a součtem dvou pevných rohových koulí“, Annals of Mathematics, Druhá série, 56: 354–362, doi:10.2307/1969804, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969804, PAN  0049549

externí odkazy