Hardysova nerovnost - Hardys inequality - Wikipedia

Hardyho nerovnost je nerovnost v matematika, pojmenoval podle G. H. Hardy. Uvádí se v něm, že pokud ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, dots}$ je sekvence z nezáporné reálná čísla, pak pro každé reálné číslo p > 1 má

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} vlevo ({ frac {a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n}} {n}} vpravo) ^ { p} leq left ({ frac {p} {p-1}} right) ^ {p} sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} ^ {p}.}$

Pokud je pravá strana konečná, platí rovnost kdyby a jen kdyby ${ displaystyle a_ {n} = 0}$ pro všechny n.

An integrální verze Hardyho nerovnosti uvádí následující: if F je měřitelná funkce s nezápornými hodnotami

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} left ({ frac {1} {x}} int _ {0} ^ {x} f (t) , dt right) ^ {p } , dx leq left ({ frac {p} {p-1}} right) ^ {p} int _ {0} ^ { infty} f (x) ^ {p} , dx .}$

Pokud je pravá strana konečná, platí rovnost kdyby a jen kdyby F(X) = 0 téměř všude.

Hardyho nerovnost byla poprvé zveřejněna a prokázána (přinejmenším diskrétní verze s horší konstantou) v roce 1920 v poznámce Hardyho.^[1] Původní formulace byla v integrální formě mírně odlišná od výše uvedené.

Multidimenzionální verze

Ve vícerozměrném případě lze Hardyho nerovnost rozšířit na ${ displaystyle L ^ {p}}$-prostory, ve formě ^[2]

${ displaystyle left | { frac {f} {| x |}} right | _ {L ^ {p} (R ^ {n})} leq { frac {p} {np}} | nabla f | _ {L ^ {p} (R ^ {n})}, 2 leq n, 1 leq p$

kde ${ displaystyle f v C_ {0} ^ { infty} (R ^ {n})}$a kde konstanta ${ displaystyle { frac {p} {n-p}}}$ je známo, že je ostrý.

Důkaz nerovnosti

• Integrovaná verze: a změna proměnných dává
  ${ displaystyle left ( int _ {0} ^ { infty} left ({ frac {1} {x}} int _ {0} ^ {x} f (t) , dt right) ^ {p} dx right) ^ {1 / p} = left ( int _ {0} ^ { infty} left ( int _ {0} ^ {1} f (sx) , ds right) ^ {p} , dx right) ^ {1 / p}}$,
  což je menší nebo rovno než ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} left ( int _ {0} ^ { infty} f (sx) ^ {p} , dx right) ^ {1 / p} , ds }$ podle Minkowského integrální nerovnost. Nakonec další změnou proměnných se poslední výraz rovná
  ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} left ( int _ {0} ^ { infty} f (x) ^ {p} , dx right) ^ {1 / p} s ^ { -1 / p} , ds = { frac {p} {p-1}} left ( int _ {0} ^ { infty} f (x) ^ {p} , dx right) ^ {1 / p}}$.
• Diskrétní verze: za předpokladu, že pravá strana bude konečná, musíme mít ${ displaystyle a_ {n} až 0}$ tak jako ${ displaystyle n to infty}$. Proto pro každé kladné celé číslo j, existuje pouze konečně mnoho výrazů větších než ${ displaystyle 2 ^ {- j}}$. To nám umožňuje vytvořit sestupnou sekvenci ${ displaystyle b_ {1} geq b_ {2} geq cdots}$ obsahující stejné pozitivní pojmy jako původní sekvence (ale možná žádné nulové pojmy). Od té doby ${ displaystyle a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n} leq b_ {1} + b_ {2} + cdots + b_ {n}}$ pro každého n, stačí ukázat nerovnost pro novou posloupnost. To vyplývá přímo z integrální formy, definování ${ displaystyle f (x) = b_ {n}}$ -li ${ displaystyle n-1$ a ${ displaystyle f (x) = 0}$ v opačném případě. Opravdu, jeden má
  ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} f (x) ^ {p} , dx = součet _ {n = 1} ^ { infty} b_ {n} ^ {p}}$
  a pro ${ displaystyle n-1$, drží
  ${ displaystyle { frac {1} {x}} int _ {0} ^ {x} f (t) , dt = { frac {b_ {1} + dots + b_ {n-1} + (x-n + 1) b_ {n}} {x}} geq { frac {b_ {1} + dots + b_ {n}} {n}}}$
  (poslední nerovnost odpovídá ${ displaystyle (n-x) (b_ {1} + tečky + b_ {n-1}) geq (n-1) (n-x) b_ {n}}$, což je pravda, protože nová sekvence klesá) a tedy
  ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {b_ {1} + dots + b_ {n}} {n}} right) ^ {p} leq int _ {0} ^ { infty} left ({ frac {1} {x}} int _ {0} ^ {x} f (t) , dt right) ^ {p} , dx }$.

Viz také

• Carlemanova nerovnost

Poznámky

Reference

• Hardy, G. H .; Littlewood J.E .; Pólya, G. (1952). Nerovnosti, 2. vyd. Cambridge University Press. ISBN  0-521-35880-9.

• Kufner, Alois; Persson, Lars-Erik (2003). Vážené nerovnosti typu Hardy. World Scientific Publishing. ISBN  981-238-195-3.

• Masmoudi, Nader (2011), „O Hardyho nerovnosti“, Dierk Schleicher; Malte Lackmann (eds.), Pozvánka na matematikuSpringer Berlin Heidelberg, ISBN  978-3-642-19533-4.
• Ruzhansky, Michael; Suragan, Durvudkhan (2019). Hardy nerovnosti na homogenních skupinách: 100 let odolných nerovností. Birkhäuser Basilej. ISBN  978-3-030-02895-4.

externí odkazy

• „Hardy nerovnost“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]