Lorentzův prostor - Lorentz space

v matematická analýza, Lorentzovy mezery, představil George G. Lorentz v padesátých letech^[1][2] jsou zobecnění známějších ${ displaystyle L ^ {p}}$ mezery.

Lorentzovy prostory jsou označeny ${ displaystyle L ^ {p, q}}$. Jako ${ displaystyle L ^ {p}}$ prostory se vyznačují a norma (technicky a kvazinorm ), který kóduje informace o "velikosti" funkce, stejně jako ${ displaystyle L ^ {p}}$ norma ano. Dva základní kvalitativní pojmy „velikosti“ funkce jsou: jak vysoký je graf funkce a jak rozložený je. Normy Lorentz poskytují přísnější kontrolu nad oběma kvalitami než ${ displaystyle L ^ {p}}$ norem exponenciálním změnou měřítka v obou rozsazích (${ displaystyle p}$) a doména (${ displaystyle q}$). Lorentzovy normy, jako ${ displaystyle L ^ {p}}$ normy, jsou invariantní při libovolném přeskupení hodnot funkce.

Definice

Lorentzův prostor na a změřte prostor ${ displaystyle (X, mu)}$ je prostor komplexně oceněný měřitelné funkce ${ displaystyle f}$ na X takové, že následující kvazinorm je konečný

${ displaystyle | f | _ {L ^ {p, q} (X, mu)} = p ^ { frac {1} {q}} vlevo | t mu {| f | geq t } ^ { frac {1} {p}} doprava | _ {L ^ {q} doleva ( mathbf {R} ^ {+}, { frac {dt} {t}} že jo)}}$

kde ${ displaystyle 0$

a ${ displaystyle 0$. Takže kdy ${ displaystyle q < infty}$,

${ displaystyle | f | _ {L ^ {p, q} (X, mu)} = p ^ { frac {1} {q}} vlevo ( int _ {0} ^ { infty } t ^ {q} mu left {x: | f (x) | geq t right } ^ { frac {q} {p}} , { frac {dt} {t}} right) ^ { frac {1} {q}} = left ( int _ {0} ^ { infty} { bigl (} tau mu left {x: | f (x) | ^ {p} geq tau right } { bigr)} ^ { frac {q} {p}} , { frac {d tau} { tau}} right) ^ { frac {1} {q}}.}$

a kdy ${ displaystyle q = infty}$,

${ displaystyle | f | _ {L ^ {p, infty} (X, mu)} ^ {p} = sup _ {t> 0} vlevo (t ^ {p} mu vlevo {x: | f (x) |> t right } right).}$

Je také obvyklé nastavovat ${ displaystyle L ^ { infty, infty} (X, mu) = L ^ { infty} (X, mu)}$.

Snižování přeskupení

Kvasinorm je neměnný při přeskupení hodnot funkce ${ displaystyle f}$, v zásadě podle definice. Zejména vzhledem ke komplexním hodnotám měřitelná funkce ${ displaystyle f}$ definované na měrném prostoru, ${ displaystyle (X, mu)}$, své zmenšující se přeskupení funkce, ${ displaystyle f ^ { ast}: [0, infty) až [0, infty]}$ lze definovat jako

${ displaystyle f ^ { ast} (t) = inf { alpha in mathbf {R} ^ {+}: d_ {f} ( alpha) leq t }}$

kde ${ displaystyle d_ {f}}$ je tzv distribuční funkce z ${ displaystyle f}$, dána

${ displaystyle d_ {f} ( alpha) = mu ( {x v X: | f (x) |> alpha }).}$

Tady, pro větší pohodlí, ${ displaystyle inf varnothing}$ je definován jako ${ displaystyle infty}$.

Tyto dvě funkce ${ displaystyle | f |}$ a ${ displaystyle f ^ { ast}}$ jsou měřitelný, znamenající, že

${ displaystyle mu { bigl (} {x v X: | f (x) |> alpha } { bigr)} = lambda { bigl (} {t> 0: f ^ { ast} (t)> alpha } { bigr)}, quad alpha> 0,}$

kde ${ displaystyle lambda}$ je Lebesgueovo opatření na skutečné linii. Související symetrické zmenšující se přeskupení funkce, která je také srovnatelná s ${ displaystyle f}$, bude definováno na skutečné linii pomocí

${ displaystyle mathbf {R} ni t mapsto { tfrac {1} {2}} f ^ { ast} (| t |).}$

Vzhledem k těmto definicím pro ${ displaystyle 0$

a ${ displaystyle 0$, Lorentzovy kvazinormy jsou dány

${ displaystyle | f | _ {L ^ {p, q}} = { begin {cases} left ( displaystyle int _ {0} ^ { infty} left (t ^ { frac { 1} {p}} f ^ { ast} (t) right) ^ {q} , { frac {dt} {t}} right) ^ { frac {1} {q}} & q in (0, infty), sup limits _ {t> 0} , t ^ { frac {1} {p}} f ^ { ast} (t) & q = infty. end {případy}}}$

Lorentzovy sekvenční prostory

Když ${ displaystyle (X, mu) = ( mathbb {N}, #)}$ (počítací míra na ${ displaystyle mathbb {N}}$), výsledný Lorentzův prostor je a sekvenční prostor. V tomto případě je však vhodné použít jinou notaci.

Definice.

pro ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n = 1} ^ { infty} in mathbb {R} ^ { mathbb {N}}}$ (nebo ${ displaystyle mathbb {C} ^ { mathbb {N}}}$ v komplexním případě), nechť ${ displaystyle | (a_ {n}) _ {n = 1} ^ { infty} | _ {p} = left ( sum _ {n = 1} ^ { infty} | a_ {n} | ^ {p} vpravo) ^ {1 / p}}$ označte p-normu pro ${ Displaystyle 1 leq p < infty}$ a ${ displaystyle | (a_ {n}) _ {n = 1} ^ { infty} | _ { infty} = sup | a_ {n} |}$ ∞-norma. Označit podle ${ displaystyle ell _ {p}}$ Banachův prostor všech sekvencí s konečnou p-normou. Nechat ${ displaystyle c_ {0}}$ Banachův prostor všech uspokojujících sekvencí ${ displaystyle lim | a_ {n} | = 0}$, obdařen ∞-normou. Označit podle ${ displaystyle c_ {00}}$ normovaný prostor všech sekvencí pouze s konečně mnoha nenulovými položkami. Všechny tyto prostory hrají roli při definici Lorentzových sekvenčních prostorů ${ displaystyle d (w, p)}$ níže.

Nechat ${ displaystyle w = (w_ {n}) _ {n = 1} ^ { infty} in c_ {0} setminus ell _ {1}}$ být posloupností pozitivních reálných čísel uspokojujících ${ displaystyle 1 = w_ {1} geq w_ {2} geq w_ {3} cdots}$a definovat normu ${ displaystyle | (a_ {n}) | _ {d (w, p)} = sup _ { sigma in Pi} | (a _ { sigma (n)} w_ {n} ^ {1 / p}) _ {n = 1} ^ { infty} | _ {p}}$. The Lorentzův sekvenční prostor ${ displaystyle d (w, p)}$ je definován jako Banachův prostor všech sekvencí, kde je tato norma konečná. Ekvivalentně můžeme definovat ${ displaystyle d (w, p)}$ jako dokončení ${ displaystyle c_ {00}}$ pod ${ displaystyle | cdot | _ {d (w, p)}}$.

Vlastnosti

Lorentzovy prostory jsou skutečně zevšeobecněním ${ displaystyle L ^ {p}}$ mezery v tom smyslu, že pro všechny ${ displaystyle p}$, ${ displaystyle L ^ {p, p} = L ^ {p}}$, který vyplývá z Cavalieriho princip. Dále, ${ displaystyle L ^ {p, infty}}$ se shoduje s slabý ${ displaystyle L ^ {p}}$. Oni jsou kvazi-Banachovy prostory (tj. kvazi-normované prostory, které jsou také úplné) a jsou pro ně normovatelné ${ displaystyle 1$

a ${ displaystyle 1 leq q leq infty}$. Když ${ displaystyle p = 1}$, ${ displaystyle L ^ {1,1} = L ^ {1}}$ je vybaven normou, ale není možné definovat normu ekvivalentní kvazinormě ${ displaystyle L ^ {1, infty}}$slabí ${ displaystyle L ^ {1}}$ prostor. Jako konkrétní příklad selhává nerovnost trojúhelníku ${ displaystyle L ^ {1, infty}}$, zvážit

${ displaystyle f (x) = { tfrac {1} {x}} chi _ {(0,1)} (x) quad { text {a}} quad g (x) = { tfrac {1} {1-x}} chi _ {(0,1)} (x),}$

jehož ${ displaystyle L ^ {1, infty}}$ kvazi-norma se rovná jedné, zatímco kvazi-norma jejich součtu ${ displaystyle f + g}$ se rovná čtyři.

Prostor ${ displaystyle L ^ {p, q}}$ je obsažen v ${ displaystyle L ^ {p, r}}$ kdykoli ${ displaystyle q$. Lorentzovy prostory jsou skutečné interpolační prostory mezi ${ displaystyle L ^ {1}}$ a ${ displaystyle L ^ { infty}}$.

Viz také

• Interpolační prostor
• Hardy – Littlewoodova nerovnost

Reference

• Grafakos, Loukas (2008), Klasická Fourierova analýza, Postgraduální texty z matematiky, 249 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09432-8, ISBN  978-0-387-09431-1, PAN  2445437.

Poznámky