Marcinkiewiczova interpolační věta - Marcinkiewicz interpolation theorem

v matematika, Marcinkiewiczova interpolační věta, objeveno uživatelem Józef Marcinkiewicz  (1939 ), je výsledek ohraničující normy nelineárních operátorů, na které působí L^p mezery.

Marcinkiewiczova věta je obdobou Rieszova – Thorinova věta o lineární operátory, ale platí také pro nelineární operátory.

Předkola

Nechat F být měřitelná funkce se skutečnými nebo komplexními hodnotami, definované na a změřte prostor (X, F, ω). The distribuční funkce z F je definováno

${ displaystyle lambda _ {f} (t) = omega levá {x v X střední | f (x) |> t pravá }.}$

Pak F je nazýván slabý ${ displaystyle L ^ {1}}$ pokud existuje konstanta C tak, že distribuční funkce F uspokojuje následující nerovnost pro všechny t > 0:

${ displaystyle lambda _ {f} (t) leq { frac {C} {t}}.}$

Nejmenší konstanta C ve výše uvedené nerovnosti se nazývá slabý ${ displaystyle L ^ {1}}$ norma a je obvykle označen ${ displaystyle | f | _ {1, w}}$ nebo ${ displaystyle | f | _ {1, infty}.}$ Podobně je prostor obvykle označen L^1,w nebo L^1,∞.

(Poznámka: Tato terminologie je trochu zavádějící, protože slabá norma neuspokojuje nerovnost trojúhelníku, jak je možné vidět, když vezmeme v úvahu součet funkcí na ${ displaystyle (0,1)}$ dána ${ displaystyle 1 / x}$ a ${ displaystyle 1 / (1-x)}$, který má normu 4 ne 2.)

Žádný ${ displaystyle L ^ {1}}$ funkce patří L^1,w a navíc jeden má nerovnost

${ displaystyle | f | _ {1, w} leq | f | _ {1}.}$

To není nic jiného než Markovova nerovnost (aka Čebyševova nerovnost ). Opak není pravdivý. Například funkce 1 /X patří L^1,w ale ne L¹.

Podobně lze definovat slabý ${ displaystyle L ^ {p}}$ prostor jako prostor všech funkcí F takhle ${ displaystyle | f | ^ {p}}$ patřit k L^1,wa slabý ${ displaystyle L ^ {p}}$ norma použitím

${ displaystyle | f | _ {p, w} = levý || f | ^ {p} pravý | _ {1, w} ^ { frac {1} {p}}.}$

Příměji L^p,w Norma je definována jako nejlepší konstanta C v nerovnosti

${ displaystyle lambda _ {f} (t) leq { frac {C ^ {p}} {t ^ {p}}}}$

pro všechny t > 0.

Formulace

Neformálně je Marcinkiewiczova věta

Teorém. Nechat T být ohraničený lineární operátor z ${ displaystyle L ^ {p}}$ na ${ displaystyle L ^ {p, w}}$ a zároveň od ${ displaystyle L ^ {q}}$ na ${ displaystyle L ^ {q, w}}$. Pak T je také omezeným operátorem z ${ displaystyle L ^ {r}}$ na ${ displaystyle L ^ {r}}$ pro všechny r mezi p a q.

Jinými slovy, i když požadujete jen omezenou omezenost v extrémech p a q, stále máte uvnitř pravidelnou omezenost. Aby to bylo formálnější, je třeba to vysvětlit T je omezen pouze na a hustý podmnožinu a lze je dokončit. Vidět Riesz-Thorinova věta pro tyto podrobnosti.

Tam, kde je Marcinkiewiczova věta slabší než Rieszova-Thorinova věta, je v odhadech normy. Věta dává hranice pro ${ displaystyle L ^ {r}}$ norma T ale tato vazba roste do nekonečna jako r konverguje k jednomu p nebo q. Konkrétně (DiBenedetto 2002, Věta VIII.9.2), předpokládejme, že

${ displaystyle | Tf | _ {p, w} leq N_ {p} | f | _ {p},}$

${ displaystyle | Tf | _ {q, w} leq N_ {q} | f | _ {q},}$

takže norma operátora z T z L^p na L^p,w je nanejvýš N_pa normu operátora T z L^q na L^q,w je nanejvýš N_q. Pak následující interpolační nerovnost platí pro všechny r mezi p a q a všechno F ∈ L^r:

${ displaystyle | Tf | _ {r} leq gamma N_ {p} ^ { delta} N_ {q} ^ {1- delta} | f | _ {r}}$

kde

${ displaystyle delta = { frac {p (q-r)} {r (q-p)}}}$

a

${ displaystyle gamma = 2 left ({ frac {r (q-p)} {(r-p) (q-r)}} right) ^ {1 / r}.}$

Lze také uvést konstanty δ a γ q = ∞ předáním k limitu.

Verze věty také platí obecněji, pokud T Předpokládá se pouze kvazilineární operátor v následujícím smyslu: existuje konstanta C > 0 takových T splňuje

${ displaystyle | T (f + g) (x) | leq C (| Tf (x) | + | Tg (x) |)}$

pro skoro každý X. Věta platí přesně tak, jak je uvedeno, kromě toho, že γ je nahrazeno

${ displaystyle gamma = 2C left ({ frac {r (q-p)} {(r-p) (q-r)}} right) ^ {1 / r}.}$

Provozovatel T (možná kvazilineární) splňující odhad formy

${ displaystyle | Tf | _ {q, w} leq C | f | _ {p}}$

se říká, že je z slabý typ (p,q). Operátor je jednoduše typu (p,q) pokud T je omezená transformace z L^p na L^q:

${ displaystyle | Tf | _ {q} leq C | f | _ {p}.}$

Obecnější formulace věty o interpolaci je následující:

• Li T je kvazilineární operátor slabého typu (p₀, q₀) a slabého typu (p₁, q₁) kde q₀ ≠ q₁, pak pro každé θ ∈ (0,1), T je typu (p,q), pro p a q s p ≤ q formuláře

${ displaystyle { frac {1} {p}} = { frac {1- theta} {p_ {0}}} + { frac { theta} {p_ {1}}}, quad { frac {1} {q}} = { frac {1- theta} {q_ {0}}} + { frac { theta} {q_ {1}}}.}$

Druhá formulace vyplývá z první prostřednictvím aplikace Hölderova nerovnost a argument duality.^{[Citace je zapotřebí ]}

Aplikace a příklady

Slavným příkladem aplikace je Hilbertova transformace. Zobrazeno jako násobitel, Hilbertova transformace funkce F lze vypočítat tak, že nejprve vezmete Fourierova transformace z F, pak vynásobením znaková funkce a nakonec aplikovat inverzní Fourierova transformace.

Proto Parsevalova věta snadno ukazuje, že Hilbertova transformace je omezena od ${ displaystyle L ^ {2}}$ na ${ displaystyle L ^ {2}}$. Mnohem méně zřejmým faktem je, že je omezen od ${ displaystyle L ^ {1}}$ na ${ displaystyle L ^ {1, w}}$. Proto Marcinkiewiczova věta ukazuje, že je omezena od ${ displaystyle L ^ {p}}$ na ${ displaystyle L ^ {p}}$ pro libovolnou 1 < p < 2. Dualita argumenty ukazují, že je také omezen na 2 < p <∞. Ve skutečnosti je Hilbertova transformace skutečně neomezená p rovno 1 nebo ∞.

Dalším slavným příkladem je Hardy – Littlewood maximální funkce, což je pouze sublearní operátor spíše než lineární. Zatímco ${ displaystyle L ^ {p}}$ na ${ displaystyle L ^ {p}}$ hranice lze odvodit okamžitě z ${ displaystyle L ^ {1}}$ slabý ${ displaystyle L ^ {1}}$ odhad chytré změny proměnných, Marcinkiewiczova interpolace je intuitivnější přístup. Protože Hardy – Littlewood je maximální funkce triviálně omezena ${ displaystyle L ^ { infty}}$ na ${ displaystyle L ^ { infty}}$, silná ohraničenost pro všechny ${ displaystyle p> 1}$ vyplývá bezprostředně ze slabého (1,1) odhadu a interpolace. Slabý (1,1) odhad lze získat z Vitalijní krycí lemma.

Dějiny

Věta byla poprvé oznámena Marcinkiewicz (1939), který tento výsledek ukázal Antoni Zygmund krátce předtím, než zemřel ve druhé světové válce. Věta byla Zygmundem téměř zapomenuta a chyběla v jeho původních pracích o teorii singulární integrální operátory. Později Zygmund (1956) si uvědomil, že Marcinkiewiczův výsledek by mohl značně zjednodušit jeho práci, kdy publikoval teorém svého bývalého studenta spolu s vlastní generalizací.

V roce 1964 Richard A. Hunt a Guido Weiss zveřejnil nový důkaz Marcinkiewiczovy interpolační věty.^[1]

Viz také

• Interpolační prostor

Reference

• DiBenedetto, Emmanuele (2002), Skutečná analýza, Birkhäuser, ISBN  3-7643-4231-5.
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Eliptické parciální diferenciální rovnice druhého řádu, Springer-Verlag, ISBN  3-540-41160-7.
• Marcinkiewicz, J. (1939), „Sur l'interpolation d'operations“, C. R. Acad. Sci. Paříž, 208: 1272–1273
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Úvod do Fourierovy analýzy euklidovských prostorů, Princeton University Press, ISBN  0-691-08078-X.
• Zygmund, A. (1956), „K Marcinkiewiczově teorému o interpolaci operací“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série, 35: 223–248, ISSN  0021-7824, PAN  0080887