Vlastnost nulového produktu - Zero-product property
v algebra, vlastnost nulového produktu uvádí, že součin dvou nenulové prvky je nenulová. Jinými slovy, jedná se o následující tvrzení:
Li , pak nebo .
Vlastnost nulového produktu je také známá jako pravidlo nulového produktu, zákon nulového faktoru, multiplikační vlastnost nula, neexistence netriviálního nulové dělitelenebo jeden ze dvou vlastnosti nulového faktoru[1]. Všechny číselné systémy studoval v elementární matematika - celá čísla , racionální čísla , reálná čísla a komplexní čísla - uspokojit vlastnost nulového produktu. Obecně platí, že prsten který splňuje vlastnost nulového produktu, se nazývá a doména.
Algebraický kontext
Předpokládat je algebraická struktura. Můžeme se zeptat, ano mít vlastnost nulového produktu? Aby tato otázka měla smysl, musí mít jak aditivní strukturu, tak multiplikativní strukturu.[2] Obvykle se to předpokládá je prsten, i když to může být něco jiného, např. množina nezáporných celých čísel s běžným sčítáním a násobením, což je pouze (komutativní) semiring.
Všimněte si, že pokud splňuje vlastnost nulového produktu, a pokud je podmnožinou , pak také splňuje nulovou vlastnost produktu: pokud a jsou prvky takhle , pak buď nebo protože a lze také považovat za prvky .
Příklady
- Kroužek, ve kterém je uložena vlastnost nulového produktu, se nazývá a doména. A komutativní doména s a multiplikativní identita prvek se nazývá integrální doména. Žádný pole je integrální doména; ve skutečnosti je jakýkoli podřetězec pole integrální doménou (pokud obsahuje 1). Podobně jakýkoli podřetězec a šikmé pole je doména. Vlastnost zero-product tedy platí pro jakýkoli podřetězec zkoseného pole.
- Li je prvočíslo, pak prsten z celá čísla modulo má vlastnost zero-product (ve skutečnosti je to pole).
- The Gaussova celá čísla jsou integrální doména protože jsou podřetězcem komplexních čísel.
- V přísně šikmé pole z čtveřice, vlastnost nulového produktu platí. Tento kruh není integrální doménou, protože násobení není komutativní.
- Sada nezáporných celých čísel není prsten (místo toho je semiring ), ale uspokojuje vlastnost nulového produktu.
Non-příklady
- Nechat označit prsten z celá čísla modulo . Pak dosud nesplňuje nulovou vlastnost produktu: 2 a 3 jsou nenulové prvky .
- Obecně, pokud je složené číslo, pak nesplňuje vlastnost nulového produktu. Jmenovitě, pokud kde , pak a jsou nenulové modulo , dosud .
- Prsten ze 2 o 2 matice s celé číslo entries nesplňuje vlastnost zero-product: if