Minimální hlavní ideál - Minimal prime ideal

v matematika, zejména v oblasti algebra známý jako komutativní algebra jisté hlavní ideály volala minimální hlavní ideály hrají důležitou roli v porozumění prsteny a moduly. Pojem výška a Krullova hlavní ideální věta použijte minimální prvočísla.

Definice

Nejlepší ideál P se říká, že je minimální hlavní ideál přes ideál Já pokud je minimální mezi všemi hlavními ideály obsahujícími Já. (Poznámka: pokud Já je tedy hlavním ideálem Já je jediný minimální vrchol nad ním.) Prvotní ideál se říká a minimální hlavní ideál pokud je to minimální primární ideál nad nula ideální.

Minimální primární ideál nad ideálem Já v noetherianském kruhu R je přesně minimální sdružený prime (nazývané také izolované prvočíslo) ${displaystyle R / I}$ ; vyplývá to například z primární rozklad z Já.

Příklady

Komutativně artinianský prsten, každý maximální ideál je minimální hlavní ideál.
V integrální doména, jediný minimální primární ideál je nulový ideál.
V ringu Z z celá čísla, minimální primární ideály nad nenulovou hodnotou hlavní ideál (n) jsou hlavní ideály (p), kde p je hlavním dělitelem n. Jediný minimální primární ideál nad nulovým ideálem je samotný nulový ideál. Podobné výroky platí pro všechny hlavní ideální doména.
Li Já je p-primární ideál (například a symbolická síla z p), pak p je jedinečný minimální ideální ideál Já.
Ideály ${displaystyle (x)}$ a ${displaystyle (y)}$ jsou minimální hlavní ideály ${displaystyle mathbb {C} [x, y] / (xy)}$ protože oni jsou rozšíření hlavních ideálů pro morfismus ${displaystyle mathbb {C} [x, y] o mathbb {C} [x, y] / (xy)}$ obsahují nulový ideál (který od té doby není prvočíslo) ${displaystyle xcdot y = 0in (0)}$ , ale ani jeden ${displaystyle x}$ ani ${displaystyle y}$ jsou obsaženy v nulovém ideálu) a nejsou obsaženy v žádném jiném ideálním ideálu.
v ${displaystyle mathbb {C} [x, y, z]}$ minimální prvočísla nad ideál ${displaystyle ((x ^ {3} -y ^ {3} -z ^ {3}) ^ {4} (x ^ {5} + y ^ {5} + z ^ {5}) ^ {3}) }$ jsou ideály ${displaystyle (x ^ {3} -y ^ {3} -z ^ {3})}$ a ${displaystyle (x ^ {5} + y ^ {5} + z ^ {5})}$ .
Nechat ${displaystyle A = mathbb {C} [x, y] / (x ^ {3} y, xy ^ {3})}$ a ${displaystyle {overline {x}}, {overline {y}}}$ obrázky uživatele X, y v A. Pak ${displaystyle ({overline {x}})}$ a ${displaystyle ({overline {y}})}$ jsou minimální hlavní ideály A (a neexistují žádné další). Nechat ${displaystyle D}$ být množinou nulových dělitelů v A. Pak ${displaystyle {overline {x}} + {overline {y}}}$ je v D (protože zabíjí nenulovou hodnotu ${displaystyle {overline {x}} ^ {2} {overline {y}} - {overline {x}} {overline {y}} ^ {2}}$ ) zatímco ani v ${displaystyle ({overline {x}})}$ ani ${displaystyle ({overline {y}})}$ ; tak ${displaystyle ({overline {x}}) cup ({overline {y}}) subsetneq D}$ .

Vlastnosti

Všechny kroužky jsou považovány za komutativní a unital.

Každý správný ideál Já v kruhu má nad sebou alespoň jeden minimální primární ideál. Důkaz této skutečnosti se používá Zornovo lemma.^[1] Žádný maximální ideál obsahující Já je prvočíslo a takové ideály existují, takže soubor prvočísel obsahuje Já není prázdný. Průsečík klesajícího řetězce hlavních ideálů je hlavní. Proto soubor prvotřídních ideálů obsahuje Já má minimální prvek, což je minimální rozkvět Já.
Emmy Noetherová ukázal, že v a Noetherian ring, existuje jen konečně mnoho minimálních ideálů nad daným ideálem.^[2]^[3] Fakt zůstává pravdivý, pokud bude „noetherian“ nahrazen vzestupné řetězové podmínky na radikálních ideálech.
The radikální ${displaystyle {sqrt {I}}}$ jakéhokoli správného ideálu Já se shoduje s průnikem minimálních hlavních ideálů Já.^[4]
Sada nulové dělitele daného kruhu obsahuje spojení minimálních ideálů.^[5]
Krullova hlavní ideální věta říká, že v noetherianském kruhu má každé minimální prvočíslo nad hlavním ideálem výšku nejvýše jednoho.
Každý správný ideál Já Noetherian ring obsahuje produkt možných opakovaných minimálních hlavních ideálů nad ním (Důkaz: ${displaystyle {sqrt {I}} = igcap _ {i} ^ {r} {mathfrak {p}} _ {i}}$ je průnik minimálních hlavních ideálů Já. Pro některé n, ${displaystyle {sqrt {I}} ^ {n} podmnožina I}$ a tak Já obsahuje ${displaystyle prod _ {1} ^ {r} {mathfrak {p}} _ {i} ^ {n}}$ .)
Nejlepší ideál ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ v kruhu R je jedinečný minimální vrchol nad ideálem Já kdyby a jen kdyby ${displaystyle {sqrt {I}} = {mathfrak {p}}}$ , a takový Já je ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ -primární pokud ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ je maximální. To dává místní kritérium pro minimální prvočíslo: hlavní ideál ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ je minimální vrchol Já kdyby a jen kdyby ${displaystyle IR_ {mathfrak {p}}}$ je ${displaystyle {mathfrak {p}} R_ {mathfrak {p}}}$ -primární ideál. Když R je noetherovský prsten, ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ je minimální vrchol Já kdyby a jen kdyby ${displaystyle R_ {mathfrak {p}} / IR_ {mathfrak {p}}}$ je Artinian prsten (tj., ${displaystyle {mathfrak {p}} R_ {mathfrak {p}}}$ je nilpotentní modul Já). Předobraz obrazu ${displaystyle IR_ {mathfrak {p}}}$ pod ${displaystyle R o R_ {mathfrak {p}}}$ je primární ideál ${displaystyle R}$ volal ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ -primární složka z Já.

Equidimensional prsten

Pro minimální hlavní ideál ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ v místním kruhu ${displaystyle A}$ obecně to tak nemusí být ${displaystyle dim A / {mathfrak {p}} = dim A}$ , Dimenze Krull z ${displaystyle A}$ .

Noetherian místní prsten ${displaystyle A}$ se říká, že je ekvidimenzionální pokud pro každý minimální hlavní ideál ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ , ${displaystyle dim A / {mathfrak {p}} = dim A}$ . Například místní Noetherian integrální doména a místní Cohen ring 溺 acaulay prsten jsou ekvidimenzionální.