Dedekind – Hasseova norma - Dedekind–Hasse norm
v matematika, zejména studium abstraktní algebra, a Dedekind – Hasseova norma je funkce na integrální doména který zobecňuje pojem a Euklidovská funkce na Euklidovské domény.
Definice
Nechat R být integrální doménou a G : R → Z≥ 0 být funkcí od R na nezáporné racionální celá čísla. Označte 0R aditivní identita R. Funkce G se nazývá norma Dedekind – Hasse R pokud jsou splněny následující tři podmínky:
- G(A) = 0 pouze a jen tehdy A = 0R,
- pro všechny nenulové prvky A a b v R buď:
- b rozděluje A v Rnebo
- existují prvky X a y v R takové, že 0 <G(xa − yb) < G(b).
Třetí podmínkou je mírné zobecnění podmínky (EF1) euklidovských funkcí, jak je definováno v Euklidovská doména článek. Pokud je hodnota X lze vždy brát jako 1 G bude ve skutečnosti euklidovská funkce a R proto bude euklidovská doména.
Integrované a hlavní ideální domény
Pojem normy Dedekind – Hasse vyvinul nezávisle Richard Dedekind a později o Helmut Hasse. Oba si všimli, že to byl přesně ten kousek struktury, který byl potřebný k přeměně integrální domény na a hlavní ideální doména. Dokázali to jako integrální doménu R je hlavní ideální doménou kdyby a jen kdyby R má normu Dedekind – Hasse.
Příklad
Nechat F být pole a zvažte polynomiální prsten F[X]. Funkce G na této doméně, která mapuje nenulový polynom p až 2deg (p), kde deg (p) je stupeň p, a mapuje nulový polynom na nulu, je normou Dedekind – Hasse F[X]. První dvě podmínky jsou splněny jednoduše definicí G, zatímco třetí podmínku lze prokázat pomocí polynomiální dlouhé dělení.
Reference
- R. Sivaramakrishnan, Určité teoreticko-teoretické epizody v algebře, CRC Press, 2006.