Hilberts Nullstellensatz - Hilberts Nullstellensatz - Wikipedia

Hilbertův Nullstellensatz (Němčina pro „teorém nul“, nebo více doslovně, „zero-locus-theorem“ - viz Satz ) je věta, která zavádí základní vztah mezi geometrie a algebra. Tento vztah je základem algebraická geometrie, pobočka matematika. Souvisí to algebraické množiny na ideály v polynomiální kroužky přes algebraicky uzavřená pole. Tento vztah objevil David Hilbert který dokázal Nullstellensatz a několik dalších důležitých souvisejících vět pojmenovaných po něm (jako Hilbertova základní věta ).

Formulace

Nechat k být pole (například racionální čísla ) a K. být algebraicky uzavřen rozšíření pole (tak jako komplexní čísla ). Zvažte polynomiální kruh ${ displaystyle k [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ a nechte Já být ideál v tomto kruhu. The algebraická množina PROTI(Já) definovaný tímto ideálem se skládá ze všech n- n-tice X = (X₁,...,X_n) v K.ⁿ takhle F(X) = 0 pro všechny F v Já. Hilbertův Nullstellensatz uvádí, že pokud p je nějaký polynom v ${ displaystyle k [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ která mizí na algebraické množině V (Já), tj. p(X) = 0 pro všechny X v PROTI(Já), pak existuje a přirozené číslo r takhle p^r je v Já.

Okamžitým důsledkem je slabý Nullstellensatz: Ideál ${ displaystyle I podmnožina k [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ obsahuje 1 právě tehdy, pokud jsou polynomy v Já nemají v systému žádné běžné nuly K.ⁿ. Lze jej také formulovat takto: pokud Já je správný ideál v ${ displaystyle k [X_ {1}, ldots, X_ {n}],}$ pak V (Já) nemůže být prázdný, tj. existuje společná nula pro všechny polynomy v ideálu v každém algebraicky uzavřeném rozšíření k. To je důvod pro název věty, který lze snadno dokázat ze „slabé“ formy pomocí Rabinowitsch trik. Zde je nezbytný předpoklad uvažování běžných nul v algebraicky uzavřeném poli; například prvky správného ideálu (X² + 1) v ${ displaystyle mathbb {R} [X]}$ nemají společnou nulu v ${ displaystyle mathbb {R}.}$

Díky zápisu běžnému v algebraické geometrii lze Nullstellensatz formulovat také jako

${ displaystyle { hbox {I}} ({ hbox {V}} (J)) = { sqrt {J}}}$

pro každý ideál J. Tady, ${ displaystyle { sqrt {J}}}$ označuje radikální z J a já (U) je ideál všech polynomů, které na množině zmizí U.

Tímto způsobem získáme obrácení objednávky bijektivní korespondence mezi algebraickými množinami K.ⁿ a radikální ideály z ${ displaystyle K [X_ {1}, ldots, X_ {n}].}$ Obecněji řečeno, jeden má Galoisovo spojení mezi podmnožinami prostoru a podmnožinami algebry, kde "Zariski uzavření „a„ radikál vytvořeného ideálu “jsou operátoři uzavírání.

Jako konkrétní příklad zvažte bod ${ displaystyle P = (a_ {1}, tečky, a_ {n}) v K ^ {n}}$. Pak ${ displaystyle I (P) = (X_ {1} -a_ {1}, ldots, X_ {n} -a_ {n})}$. Obecněji,

${ displaystyle { sqrt {I}} = bigcap _ {(a_ {1}, dots, a_ {n}) v V (I)} (X_ {1} -a_ {1}, dots, X_ {n} -a_ {n}).}$

Naopak každý maximální ideál polynomiálního kruhu ${ displaystyle K [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ (Všimněte si, že ${ displaystyle K}$ je algebraicky uzavřeno) má formu ${ displaystyle (X_ {1} -a_ {1}, ldots, X_ {n} -a_ {n})}$ pro některé ${ displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {n} v K}$.

Jako další příklad algebraická podmnožina Ž v K.ⁿ je ireducibilní (v Zariskiho topologii) právě tehdy ${ displaystyle I (W)}$ je prvotřídní ideál.

Důkaz a zobecnění

Existuje mnoho známých důkazů věty. Jeden důkaz použití Zariskiho lemma, který tvrdí, že pokud je pole definitivně generováno jako asociativní algebra přes pole k, pak je to rozšíření konečného pole z k (to znamená, že je také definitivně generován jako vektorový prostor ). Zde je náčrt tohoto důkazu.^[1]

Nechat ${ displaystyle A = k [t_ {1}, ldots, t_ {n}]}$ (k algebraicky uzavřené pole), Já ideál A, a PROTI běžné nuly Já v ${ displaystyle k ^ {n}}$. Jasně, ${ displaystyle { sqrt {I}} subseteq I (V)}$. Nechat ${ displaystyle f not in { sqrt {I}}}$. Pak ${ displaystyle f not in { mathfrak {p}}}$ pro nějaký hlavní ideál ${ displaystyle { mathfrak {p}} supseteq I}$ v A. Nechat ${ displaystyle R = (A / { mathfrak {p}}) [f ^ {- 1}]}$ a ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ maximální ideál v ${ displaystyle R}$. Zariskiho lemmatem, ${ displaystyle R / { mathfrak {m}}}$ je konečné rozšíření k; tedy je k od té doby k je algebraicky uzavřeno. Nechat ${ displaystyle x_ {i}}$ být obrazy ${ displaystyle t_ {i}}$ pod přirozenou mapou ${ displaystyle A to k}$. Z toho vyplývá, že ${ displaystyle x = (x_ {1}, ldots, x_ {n}) ve V}$ a ${ displaystyle f (x) neq 0}$.

Nullstellensatz také triviálně vyplývá ze systematického vývoje Jacobson zazvoní, ve kterém je radikálním ideálem průnik maximálních ideálů. Nechat ${ displaystyle R}$ být Jacobsonovým prstenem. Li ${ displaystyle S}$ je definitivně generován R-algebra, pak ${ displaystyle S}$ je Jacobsonův prsten. Dále, pokud ${ displaystyle { mathfrak {n}} podmnožina S}$ je tedy maximálním ideálem ${ displaystyle { mathfrak {m}}: = { mathfrak {n}} cap R}$ je maximální ideál R, a ${ displaystyle S / { mathfrak {n}}}$ je konečné pole rozšíření ${ displaystyle R / { mathfrak {m}}}$.

Další zobecnění uvádí, že věrně plochý morfismus schémat ${ displaystyle f: Y až X}$ místně konečného typu s X kvazi-kompaktní má a kvazi řez, tj. existuje ${ displaystyle X '}$ afinní a věrně plochý a kvazi-konečný X společně s X-morfismus ${ displaystyle X ' to Y}$

Efektivní Nullstellensatz

Ve všech jeho variantách tvrdí Hilbertův Nullstellensatz, že nějaký polynom G patří nebo nepatří k ideálu generovanému například F₁, ..., F_k; my máme G = F ^r v silné verzi, G = 1 ve slabé formě. To znamená existenci nebo neexistenci polynomů G₁, ..., G_k takhle G = F₁G₁ + ... + F_kG_k. Obvyklé důkazy Nullstellensatz nejsou konstruktivní, neúčinné, v tom smyslu, že nedávají žádný způsob výpočtu G_i.

Je tedy docela přirozené si položit otázku, zda existuje efektivní způsob výpočtu G_i (a exponent r v silné formě) nebo dokázat, že neexistují. K vyřešení tohoto problému postačí stanovit horní hranici celkového stupně G_i: taková vazba redukuje problém na konečný soustava lineárních rovnic to lze vyřešit obvyklým způsobem lineární algebra techniky. Každá taková horní hranice se nazývá efektivní Nullstellensatz.

Souvisejícím problémem je ideální problém s členstvím, který spočívá v testování, zda polynom patří do ideálu. U tohoto problému je také poskytnuto řešení horní mezí stupně G_i. Obecné řešení problému ideálního členství poskytuje efektivní Nullstellensatz, přinejmenším pro slabou formu.

V roce 1925 Grete Hermannová dal horní hranici pro ideální problém členství, který je dvojnásobně exponenciální v počtu proměnných. V roce 1982 uvedli Mayr a Meyer příklad, kdy G_i mít titul, který je alespoň dvojnásobný exponenciální, což ukazuje, že každá obecná horní hranice ideálního problému členství je v počtu proměnných dvojnásobně exponenciální.

Jelikož většina matematiků v té době předpokládala, že efektivní Nullstellensatz je přinejmenším stejně tvrdý jako ideální členství, několik matematiků hledalo vazbu lepší než dvojexponenciální. V roce 1987 však W. Dale Brownawell dal horní mez pro efektivní Nullstellensatz, která je jednoduše exponenciální v počtu proměnných.^[2] Brownawellův důkaz se opíral o analytické techniky platné pouze v charakteristice 0, ale o rok později János Kollár poskytl čistě algebraický důkaz o trochu lepší vazbě, platný v jakékoli charakteristice.

V případě slabého Nullstellensatzu je Kollárova vazba následující:^[3]

Nechat F₁, ..., F_s být polynomy v n ≥ 2 proměnné celkového stupně d₁ ≥ ... ≥ d_s. Pokud existují polynomy G_i takhle F₁G₁ + ... + F_sG_s = 1, pak je lze zvolit tak, že

${ displaystyle deg (f_ {i} g_ {i}) leq max (d_ {s}, 3) prod _ {j = 1} ^ { min (n, s) -1} max ( d_ {j}, 3).}$

Tato vazba je optimální, pokud jsou všechny stupně větší než 2.

Li d je maximum ze stupňů F_i, tato vazba může být zjednodušena na

${ displaystyle max (3, d) ^ { min (n, s)}.}$

Výsledek Kollára vylepšilo několik autorů. Ke dni 14. října 2012^{[Aktualizace]}, nejlepší vylepšení díky M. Sombrovi je^[4]

${ displaystyle deg (f_ {i} g_ {i}) leq 2d_ {s} prod _ {j = 1} ^ { min (n, s) -1} d_ {j}.}$

Jeho vazba vylepšuje Kollárovu úroveň, jakmile jsou alespoň dva stupně, kterých se to týká, nižší než 3.

Projektivní Nullstellensatz

Můžeme formulovat určitou korespondenci mezi homogenními ideály polynomů a algebraickými podmnožinami projektivního prostoru, nazývanými projektivní Nullstellensatz, to je analogické s afinním. K tomu zavedeme několik notací. Nechat ${ displaystyle R = k [t_ {0}, ldots, t_ {n}].}$ Homogenní ideál,

${ displaystyle R _ {+} = bigoplus _ {d geqslant 1} R_ {d}}$

se nazývá maximální homogenní ideál (viz také irelevantní ideál ). Stejně jako v afinním případě necháme: pro podmnožinu ${ displaystyle S subseteq mathbb {P} ^ {n}}$ a homogenní ideál Já z R,

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {I} _ { mathbb {P} ^ {n}} (S) & = {f v R _ {+} mid f = 0 { text {na }} S }, operatorname {V} _ { mathbb {P} ^ {n}} (I) & = {x in mathbb {P} ^ {n} mid f (x) = 0 { text {pro všechny}} f v I }. End {zarovnáno}}}$

Podle ${ displaystyle f = 0 { text {on}} S}$ máme na mysli: pro všechny homogenní souřadnice ${ displaystyle (a_ {0}: cdots: a_ {n})}$ bodu S my máme ${ displaystyle f (a_ {0}, ldots, a_ {n}) = 0}$. To znamená, že homogenní složky F jsou také nulové S a tím i to ${ displaystyle operatorname {I} _ { mathbb {P} ^ {n}} (S)}$ je homogenní ideál. Ekvivalentně ${ displaystyle operatorname {I} _ { mathbb {P} ^ {n}} (S)}$ je homogenní ideál generovaný homogenními polynomy F které zmizí S. Nyní pro každý homogenní ideál ${ displaystyle I subseteq R _ {+}}$obvyklým Nullstellensatzem máme:

${ displaystyle { sqrt {I}} = operatorname {I} _ { mathbb {P} ^ {n}} ( operatorname {V} _ { mathbb {P} ^ {n}} (I)) ,}$

stejně jako v afinním případě máme:^[5]

Existuje řádná vzájemná korespondence mezi správnými homogenními radikálními ideály R a podmnožiny ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ formuláře ${ displaystyle operatorname {V} _ { mathbb {P} ^ {n}} (I).}$ Korespondence je dána ${ displaystyle operatorname {I} _ { mathbb {P} ^ {n}}}$ a ${ displaystyle operatorname {V} _ { mathbb {P} ^ {n}}.}$

Analytický Nullstellensatz

Nullstellensatz také drží zárodky holomorfních funkcí v místě komplexu n-prostor ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}.}$ Přesně pro každou otevřenou podmnožinu ${ displaystyle U podmnožina mathbb {C} ^ {n},}$ nechat ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {C} ^ {n}} (U)}$ označit kruh holomorfních funkcí na U; pak ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {C} ^ {n}}}$ je snop na ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}.}$ Stonek ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {C} ^ {n}, 0}}$ u, řekněme, původ lze ukázat jako a Noetherian místní prsten to je jedinečná faktorizační doména.

Li ${ displaystyle f in { mathcal {O}} _ { mathbb {C} ^ {n}, 0}}$ je zárodek představovaný holomorfní funkcí ${ displaystyle { widetilde {f}}: U to mathbb {C}}$, pak nechte ${ displaystyle V_ {0} (f)}$ být třída ekvivalence sady

${ displaystyle left {z v U | { widetilde {f}} (z) = 0 right },}$

kde dvě podmnožiny ${ displaystyle X, Y podmnožina mathbb {C} ^ {n}}$ jsou považovány za rovnocenné, pokud ${ displaystyle X cap U = Y cap U}$ pro nějaké sousedství U z 0. Poznámka ${ displaystyle V_ {0} (f)}$ je nezávislá na výběru zástupce ${ displaystyle { widetilde {f}}.}$ Pro každý ideální ${ displaystyle I podmnožina { mathcal {O}} _ { mathbb {C} ^ {n}, 0},}$ nechat ${ displaystyle V_ {0} (I)}$ označit ${ displaystyle V_ {0} (f_ {1}) cap dots cap V_ {0} (f_ {r})}$ pro některé generátory ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {r}}$ z Já. Je to dobře definované; tj. je nezávislý na výběru generátorů.

Pro každou podmnožinu ${ displaystyle X podmnožina mathbb {C} ^ {n}}$, nechť

${ displaystyle I_ {0} (X) = left {f in { mathcal {O}} _ { mathbb {C} ^ {n}, 0} | V_ {0} (f) supset X že jo}.}$

Je snadné to vidět ${ displaystyle I_ {0} (X)}$ je ideál ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {C} ^ {n}, 0}}$ a to ${ displaystyle I_ {0} (X) = I_ {0} (Y)}$ -li ${ displaystyle X sim Y}$ ve smyslu diskutovaném výše.

The analytický Nullstellensatz pak uvádí:^[6] pro každý ideál ${ displaystyle I podmnožina { mathcal {O}} _ { mathbb {C} ^ {n}, 0}}$,

${ displaystyle { sqrt {I}} = I_ {0} (V_ {0} (I))}$

kde je levá strana radikální z Já.

Viz také

• Stengle's Positivstellensatz
• Diferenciální Nullstellensatz
• Kombinatorický Nullstellensatz
• Artin – Tate lemma
• Opravdu radikální
• Série s omezeným výkonem # Tate algebra, analogie Hilbertovy nullstellensatz platí pro Tate algebry.

Poznámky

Reference

• J. M. Almira, Nullstellensatz se vrátil, Vykreslit. Sem. Rohož. Univ. Pol. Torino - sv. 65 (3) (2007) 365-369
• M. Atiyah, I.G. Macdonald, Úvod do komutativní algebry, Addison – Wesley, 1994. ISBN  0-201-40751-5
• Shigeru Mukai (2003). Úvod do invarianty a moduly. Cambridge studium pokročilé matematiky. 81. William Oxbury (trans.). str. 82. ISBN  0-521-80906-1.
• David Eisenbud, Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii, New York: Springer-Verlag, 1999.
• Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, PAN  0463157
• Huybrechts, Daniel (2005). Komplexní geometrie: Úvod. Springer. ISBN  3-540-21290-6.