Schwartzův topologický vektorový prostor - Schwartz topological vector space

v funkční analýza a související oblasti matematika, Schwartzovy prostory jsou topologické vektorové prostory (TVS), jejichž sousedství původu má vlastnost podobnou definici úplně ohraničený podmnožiny. Tyto prostory byly zavedeny Alexander Grothendieck.

Definice

A Hausdorff lokálně konvexní prostor X s nepřetržitým duálním ${ displaystyle X ^ { prime}}$, X se nazývá a Schwartzův prostor pokud splňuje některou z následujících rovnocenných podmínek:^[1]

1. Pro každého Zavřeno konvexní vyvážený sousedství U původu v X, existuje sousedství PROTI z 0 v X takové, že pro všechny skutečné r > 0, PROTI může být pokryta konečně mnoha překlady z rU.
2. Každá ohraničená podmnožina X je úplně ohraničený a pro každého Zavřeno konvexní vyrovnaný sousedství U původu v X, existuje sousedství PROTI z 0 v X takové, že pro všechny skutečné r > 0, existuje omezená podmnožina B z X takhle PROTI ⊆ B + rU.

Vlastnosti

Každý kvazi-kompletní Schwartzův prostor je a polomontelový prostor. Každý Fréchet Schwartzův prostor je a Prostor Montel.^[2]

The silný duální prostor a kompletní Schwartzův prostor je ultrabornologický prostor.

Příklady a dostatečné podmínky

• Vektorový podprostor Schwartzových prostorů jsou Schwartzovy prostory.
• Kvocient Schwartzova prostoru uzavřeným vektorovým podprostorem je opět Schwartzův prostor.
• The kartézský součin jakékoli rodiny Schwartzových prostorů je opět Schwartzův prostor.
• Slabá topologie indukovaná na vektorovém prostoru rodinou lineárních map oceňovaných ve Schwartzových prostorech je Schwartzův prostor -li slabá topologie je Hausdorff.
• Lokálně konvexní přísná indukční hranice jakékoli spočetné sekvence Schwartzových prostorů (s každým prostorem vloženým do dalšího prostoru TVS) je opět Schwartzovým prostorem.

Protiklady

Každý nekonečně dimenzionální normovaný prostor je ne Schwartzův prostor.^[3]

Existují Fréchetové prostory které nejsou Schwartzovy prostory a existují Schwartzovy prostory, které nejsou Montel prostory.^[3]

Viz také

• Pomocný normovaný prostor
• Prostor Montel - Vyčleněný topologický vektorový prostor, ve kterém je každá uzavřená a ohraničená podmnožina kompaktní.

Reference

Bibliografie

• Bourbaki, Nicolasi (1950). „Sur certains espaces vectoriels topologiques“. Annales de l'Institut Fourier (francouzsky). 2: 5–16 (1951). doi:10,5802 / aif.16. PAN  0042609.
• Bourbaki, Nicolasi (1987) [1981]. Topologické vektorové prostory: kapitoly 1–5 [Sur certains espaces vectoriels topologiques]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Přeložil Eggleston, H.G .; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-42338-6. OCLC  17499190.
• Robertson, Alex P .; Robertson, Wendy J. (1980). Topologické vektorové prostory. Cambridge Tracts v matematice. 53. Cambridge Anglie: Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Napsáno v Berlíně v Heidelbergu. Barel v topologických a uspořádaných vektorových prostorech. Přednášky z matematiky. 692. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• Jarchow, Hans (1981). Lokálně konvexní mezery. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN  978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Napsáno v Berlíně v Heidelbergu. Protipříklady v topologických vektorových prostorech. Přednášky z matematiky. 936. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.