Silný duální prostor - Strong dual space

v funkční analýza, silný dual a topologický vektorový prostor (TVS) X je nepřetržitý duální prostor z X vybavené silná topologie nebo topologie jednotné konvergence na omezených podmnožinách X, kde je tato topologie označena ${ displaystyle b left (X ^ { prime}, X right)}$ nebo ${ displaystyle beta left (X ^ { prime}, X right)}$. Silný duální prostor hraje v moderní funkční analýze tak důležitou roli, že se předpokládá, že spojitý duální prostor má silnou duální topologii, pokud není uvedeno jinak. Zdůraznit, že kontinuální duální prostor, ${ displaystyle X ^ { prime}}$, má silnou duální topologii, ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime}}$ nebo ${ displaystyle X _ { beta} ^ { prime}}$ lze psát.

Silná duální topologie

Definice z duálního systému

Nechat ${ displaystyle (X, Y, left langle cdot, cdot right rangle)}$ být duální systém vektorových prostorů nad polem ${ displaystyle { mathbb {F}}}$ skutečné (${ displaystyle { mathbb {R}}}$) nebo komplexní (${ displaystyle { mathbb {C}}}$) čísla. Všimněte si, že ani jedno X ani Y má topologii, takže definujeme podmnožinu B z X být omezen právě tehdy ${ displaystyle sup _ {x v B} vlevo | vlevo langle x, y vpravo rangle vpravo | < infty}$ pro všechny ${ displaystyle y v Y}$. To odpovídá obvyklému pojmu omezené podmnožiny když X je dána slabá topologie vyvolaná Y, což je Hausdorff lokálně konvexní topologie. Definice silné duální topologie nyní probíhá jako v případě TVS.

Všimněte si, že pokud X je TVS, jehož nepřetržitý duální prostor odděluje bod na X, pak X je součástí kanonického duálního systému ${ displaystyle left (X, X ^ { prime}, left langle cdot, cdot right rangle right)}$ kde ${ displaystyle left langle x, x ^ { prime} right rangle: = x ^ { prime} (x)}$.

Definice na TVS

Předpokládejme to X je topologický vektorový prostor (TVS) přes pole ${ displaystyle { mathbb {F}}}$ skutečné (${ displaystyle { mathbb {R}}}$) nebo komplexní (${ displaystyle { mathbb {C}}}$) čísla. Nechat ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ být jakýmkoli základním systémem ohraničené množiny z X (tj. soubor omezených podmnožin X tak, že každá ohraničená podmnožina X je podmnožinou některých ${ displaystyle B v { mathcal {B}}}$); soubor všech omezených podmnožin X triviálně tvoří základní systém ohraničených množin X. Základ uzavřených čtvrtí původu v ${ displaystyle X ^ { prime}}$ je dán poláry:

${ displaystyle B ^ { circ}: = left {x ^ { prime} in X ^ { prime}: sup _ {x in B} left | x ^ { prime} left (x right) right | leq 1 right }}$

tak jako B pohybuje se nad ${ displaystyle { mathcal {B}}}$). Toto je lokálně konvexní topologie, která je dána množinou semináře na ${ displaystyle X ^ { prime}}$:${ displaystyle left | x ^ { prime} right | _ {B}: = sup _ {x in B} left | x ^ { prime} left (x right) right |}$tak jako B pohybuje se nad ${ displaystyle { mathcal {B}}}$.

Li X je normální tak to je ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime}}$ a ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime}}$ bude ve skutečnosti Banachův prostor. Li X je normovaný prostor s normou ${ displaystyle | cdot |}$ pak ${ displaystyle X ^ { prime}}$ má kanonickou normu ( norma operátora ) dána ${ displaystyle left | x ^ { prime} right |: = sup _ { | x | leq 1} left | x ^ { prime} (x) right |}$; topologie, kterou tato norma indukuje ${ displaystyle X ^ { prime}}$ je totožný se silnou duální topologií.

Vlastnosti

Nechat X být lokálně konvexní TVS.

• Konvexní, vyrovnaný, slabě kompaktní podmnožina X' je ohraničen v ${ displaystyle X_ {b} ^ { prime}}$.^[1]
• Každá slabě ohraničená podmnožina X' je silně omezen.^[2]
• Li X je sudový prostor pak XTopologie je identická se silnou duální topologií b(X, X') a do Mackeyova topologie na X.
• Li X je měřitelný lokálně konvexní prostor, potom silná dvojka X je bornologické právě když je infrastruktura, pokud a pouze pokud je sudový.^[3]
• Li X je tedy Hausdorff lokálně konvexní TVS (X, b(X, X')) je měřitelný právě když existuje spočetná množina ℬ omezených podmnožin X tak, že každá ohraničená podmnožina X je obsažen v nějakém prvku ℬ.^[4]

Viz také

• Duální topologie
• Duální systém
• Seznam topologií
• Polární topologie - Topologie duálního prostoru jednotné konvergence u některých dílčích kolekcí omezených podmnožin
• Silná topologie
• Silná topologie (polární topologie) - Topologie duálního prostoru jednotné konvergence na omezené podmnožiny
• Topologie prostorů lineárních map

Reference

Bibliografie

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wong (1979). Schwartzovy prostory, jaderné prostory a tenzorové produkty. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09513-6. OCLC  5126158.