Trace monoid - Trace monoid - Wikipedia

v počítačová věda, a stopa je sada struny, přičemž některá písmena v řetězci jsou povolena dojíždět, ale ostatní nejsou. Zobecňuje koncept řetězce tím, že nevynucuje, aby písmena byla vždy v pevném pořadí, ale umožňuje uskutečnění určitých přeskupení. Stopy byly zavedeny Pierre Cartier a Dominique Foata v roce 1969 podat kombinatorický důkaz MacMahonova hlavní věta. Stopy se používají v teoriích souběžný výpočet, kde písmena pro dojíždění znamenají části úlohy, které lze provádět nezávisle na sobě, zatímco písmena pro nedojíždění znamenají zámky, synchronizační body nebo závit se připojí.^[1]

The stopový monoid nebo zdarma částečně komutativní monoid je monoidní stop. Stručně řečeno, je konstruováno následovně: sady písmen pro dojíždění jsou dány znakem vztah nezávislosti. Ty indukují vztah ekvivalence ekvivalentních řetězců; prvky tříd ekvivalence jsou stopy. Vztah ekvivalence pak rozdělí na volný monoid (množina všech řetězců konečné délky) do množiny tříd ekvivalence; výsledkem je stále monoid; to je kvocient monoid a nazývá se stopový monoid. Stopový monoid je univerzální v tom, že všechny závislé homomorfní (viz níže) monoidy jsou ve skutečnosti izomorfní.

Pro modelování se běžně používají trasovací monoidy souběžný výpočet, tvořící základ pro zpracovat kalkul. Jsou předmětem studia v teorie stop. Užitečnost stopových monoidů pochází ze skutečnosti, že jsou izomorfní s monoidem grafy závislostí; což umožňuje použití algebraických technik grafy a naopak. Jsou také izomorfní historické monoidy, které modelují historii výpočtu jednotlivých procesů v kontextu všech naplánovaných procesů na jednom nebo více počítačích.

Stopa

Nechat ${ displaystyle Sigma ^ {*}}$ označuje volný monoid, tj. množinu všech řetězců zapsaných v abecedě ${ displaystyle Sigma}$ . Hvězdička zde označuje, jako obvykle, Kleene hvězda. An vztah nezávislosti ${ displaystyle I}$ na ${ displaystyle Sigma}$ pak indukuje binární vztah ${ displaystyle sim}$ na ${ displaystyle Sigma ^ {*}}$ , kde ${ displaystyle u sim v}$ jen kdyby existovaly ${ displaystyle x, y in Sigma ^ {*}}$ a pár ${ displaystyle (a, b) v I}$ takhle ${ displaystyle u = xaby}$ a ${ displaystyle v = xbay}$ . Tady, ${ displaystyle u, v, x}$ a ${ displaystyle y}$ jsou chápány jako řetězce (prvky ${ displaystyle Sigma ^ {*}}$ ), zatímco ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou písmena (prvky ${ displaystyle Sigma}$ ).

The stopa je definováno jako symetrické, reflexivní a přechodné uzavření ${ displaystyle sim}$ . Stopa je tedy vztahem ekvivalence na ${ displaystyle Sigma ^ {*}}$ , a je označen ${ displaystyle equiv _ {D}}$ . Dolní index D na ekvivalenci jednoduše označuje, že ekvivalence je získána z nezávislosti Já vyvolané závislostí D. Je zřejmé, že různé závislosti poskytnou různé vztahy ekvivalence.

The přechodné uzavření to jednoduše naznačuje ${ displaystyle u equiv v}$ právě když existuje posloupnost řetězců ${ displaystyle (w_ {0}, w_ {1}, cdots, w_ {n})}$ takhle ${ displaystyle u sim w_ {0}}$ a ${ displaystyle v sim w_ {n}}$ a ${ displaystyle w_ {i} sim w_ {i + 1}}$ pro všechny ${ displaystyle 0 leq i$ . Při monoidní operaci je stopa stabilní ${ displaystyle Sigma ^ {*}}$ (zřetězení ) a je tedy a kongruenční vztah na ${ displaystyle Sigma ^ {*}}$ .

Stopový monoid, běžně označovaný jako ${ displaystyle mathbb {M} (D)}$ , je definován jako kvocient monoid

{ displaystyle mathbb {M} (D) = Sigma ^ {*} / equiv _ {D}.}

Homomorfismus

{ displaystyle phi _ {D}: Sigma ^ {*} to mathbb {M} (D)}

se běžně označuje jako přirozený homomorfismus nebo kanonický homomorfismus. To jsou podmínky přírodní nebo kanonický si zaslouží vyplývá ze skutečnosti, že tento morfismus ztělesňuje univerzální vlastnost, jak je popsáno v další části.

Příklady

Zvažte abecedu ${ displaystyle Sigma = {a, b, c }}$ . Možný vztah závislosti je

{ displaystyle { begin {matrix} D & = & {a, b } krát {a, b } quad cup quad {a, c } krát {a, c } & = & {a, b } ^ {2} cup {a, c } ^ {2} & = & {(a, b), (b, a), (a , c), (c, a), (a, a), (b, b), (c, c) } end {matrix}}}

Odpovídající nezávislost je

{ displaystyle I_ {D} = {(b, c) ,, , (c, b) }}

Proto písmena ${ displaystyle b, c}$ dojíždět. Tedy například třída ekvivalence trasování pro řetězec ${ displaystyle abababbca}$ bylo by

{ displaystyle [abababbca] _ {D} = {abababbca ,, ; abababcba ,, ; ababacbba }}

Třída ekvivalence ${ displaystyle [abababbca] _ {D}}$ je prvek stopového monoidu.

Vlastnosti

The zrušení majetku uvádí, že rovnocennost je zachována pod správné zrušení. To je, pokud ${ displaystyle w equiv v}$ , pak ${ displaystyle (w div a) equiv (v div a)}$ . Tady notace ${ displaystyle w div a}$ označuje zrušení práva, odstranění prvního výskytu dopisu A z řetězce w, počínaje od pravé strany. Rovnocennost je také udržována zrušením vlevo. Následuje několik důsledků:

Vkládání: ${ displaystyle w equiv v}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle xwy equiv xvy}$ pro struny X a y. Stopový monoid je tedy syntaktický monoid.
Nezávislost: pokud ${ displaystyle ua equiv vb}$ a ${ displaystyle a neq b}$ , pak A je nezávislý na b. To znamená ${ displaystyle (a, b) v I_ {D}}$ . Kromě toho existuje řetězec w takhle ${ displaystyle u equiv wb}$ a ${ displaystyle v equiv wa}$ .
Pravidlo projekce: ekvivalence je zachována pod řetězcová projekce, takže pokud ${ displaystyle w equiv v}$ , pak ${ displaystyle pi _ { Sigma} (w) equiv pi _ { Sigma} (v)}$ .

Silná forma Leviho lema drží stopy. Konkrétně pokud ${ displaystyle uv equiv xy}$ pro struny u, proti, X, y, pak existují řetězce ${ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}$ a ${ displaystyle z_ {4}}$ takhle ${ displaystyle (w_ {2}, w_ {3}) v I_ {D}}$ pro všechna písmena ${ displaystyle w_ {2} in Sigma}$ a ${ displaystyle w_ {3} in Sigma}$ takhle ${ displaystyle w_ {2}}$ se vyskytuje v ${ displaystyle z_ {2}}$ a ${ displaystyle w_ {3}}$ se vyskytuje v ${ displaystyle z_ {3}}$ , a

{ displaystyle u equiv z_ {1} z_ {2}, qquad v equiv z_ {3} z_ {4},}

{ displaystyle x equiv z_ {1} z_ {3}, qquad y equiv z_ {2} z_ {4}.}

^[2]

Univerzální vlastnictví

A morfismus závislosti (s ohledem na závislost D) je morfismus

{ displaystyle psi: Sigma ^ {*} na M}

nějakému monoidovi M, takže platí „obvyklé“ vlastnosti trasování, jmenovitě:

1.

{ displaystyle psi (w) = psi ( varepsilon)}

to naznačuje

{ displaystyle w = varepsilon}

2.

{ displaystyle (a, b) v I_ {D}}

to naznačuje

{ displaystyle psi (ab) = psi (ba)}

3.

{ displaystyle psi (ua) = psi (v)}

to naznačuje

{ displaystyle psi (u) = psi (v div a)}

4.

{ displaystyle psi (ua) = psi (vb)}

a

{ displaystyle a neq b}

naznačují to

{ displaystyle (a, b) v I_ {D}}

Závislostní morfismy jsou univerzální v tom smyslu, že pro danou pevnou závislost D, pokud ${ displaystyle psi: Sigma ^ {*} na M}$ je morfismus závislosti na monoidovi M, pak M je izomorfní na stopový monoid ${ displaystyle mathbb {M} (D)}$ . Přirozeným homomorfismem je zejména morfismus závislosti.

Normální formy

Existují dva dobře známé normální tvary slov ve stopových monoidech. Jedním z nich je lexikografický normální forma kvůli Anatolijovi V. Anisimovovi a Donald Knuth a druhý je Foata normální forma kvůli Pierre Cartier a Dominique Foata který sledoval stopový monoid pro jeho kombinatorika v šedesátých letech.

Stopové jazyky

Stejně jako formální jazyk lze považovat za podmnožinu jazyka ${ displaystyle Sigma ^ {*}}$ sada všech možných řetězců, takže stopový jazyk je definován jako podmnožina ${ displaystyle mathbb {M} (D)}$ všechny možné stopy.

Jazyk ${ displaystyle L subseteq Sigma ^ {*}}$ je stopový jazyk nebo se o něm říká konzistentní se závislostí D -li

{ displaystyle L = bigcup [L] _ {D}}

kde

{ displaystyle [L] _ {D} = {[w] _ {D} vert w v L }}

je stopové uzavření sady řetězců.

Poznámky

^ Sándor & Crstici (2004), s. 161
^ Proposition 2.2, Diekert and Métivier 1997.

Reference

Obecné odkazy

Diekert, Volker; Métivier, Yves (1997), „Částečná komutace a stopy“, v Rozenberg, G .; Salomaa, A. (eds.), Handbook of Formal Languages Vol. 3; Nevýslovně, Springer-Verlag, Berlín, str. 457–534, ISBN 3-540-60649-1
Lothaire, M. (2011), Algebraická kombinatorika slovEncyklopedie matematiky a její aplikace 90„S předmluvou Jean Berstel a Dominique Perrin (dotisk edice vázané knihy z roku 2002), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-18071-9, Zbl 1221.68183
Antoni Mazurkiewicz, „Úvod do stopové teorie“, str. 3–41, v Kniha stop, V. Diekert, G. Rozenberg, eds. (1995) World Scientific, Singapore ISBN 981-02-2058-8
Volker Diekert, Kombinatorika na stopách, LNCS 454, Springer, 1990, ISBN 3-540-53031-2, s. 9–29
Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004), Příručka teorie čísel II, Dordrecht: Kluwer Academic, s. 32–36, ISBN 1-4020-2546-7, Zbl 1079.11001

Klíčové publikace

Pierre Cartier a Dominique Foata, Kombinační problémy a komparace problémů, Lecture Notes in Mathematics 85, Springer-Verlag, Berlin, 1969, Zdarma dotisk 2006 s novými přílohami
Antoni Mazurkiewicz, Souběžná programová schémata a jejich interpretace, DAIMI Report PB 78, Aarhus University, 1977

[CS161-1] Sándor & Crstici (2004), s. 161

[2] Proposition 2.2, Diekert and Métivier 1997.

[1]

[2]