Distribuční kategorie - Distributive category - Wikipedia

Tento článek může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Specifický problém je: pod tímto názvem existuje více než jeden navržený pojem, viz poslední odkaz v dalším čtení Prosím pomozte vylepšit tento článek jestli můžeš. (Červenec 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a kategorie je distribuční pokud má konečný produkty a konečný koprodukty takové, že pro každý výběr objektů ${ displaystyle A, B, C}$, kanonická mapa

${ displaystyle [{ mathit {id}} _ {A} times iota _ {1}, { mathit {id}} _ {A} times iota _ {2}]: A krát B + A krát C až A krát (B + C)}$

je izomorfismus a pro všechny objekty ${ displaystyle A}$, kanonická mapa ${ displaystyle 0 až A krát 0}$ je izomorfismus (kde 0 označuje počáteční objekt ). Ekvivalentně, pokud pro každý objekt ${ displaystyle A}$ the endofunctor ${ displaystyle A times -}$ definován ${ displaystyle B mapsto A krát B}$ konzervuje koprodukty až po izomorfismy ${ displaystyle f}$.^[1] Z toho vyplývá, že ${ displaystyle f}$ a výše zmíněné kanonické mapy jsou stejné pro každý výběr objektů.

Zejména pokud funktor ${ displaystyle A times -}$ má právo adjoint (tj. pokud je kategorie kartézský zavřený ), nutně zachovává všechny kolimity, a tedy jakoukoli kartézskou uzavřenou kategorii s konečnými koprodukty (tj. bikarteziánská uzavřená kategorie ) je distribuční.

Příklad

The kategorie sad je distribuční. Nechat A, B, a C být sady. Pak

${ displaystyle { begin {zarovnáno} A krát (B amalg C) & = {(a, d) | a v A { text {a}} d v B amalg C } & cong {(a, d) | a v A { text {a}} d v B } amalg {(a, d) | a v A { text {a}} d v C } & = (A krát B) amalg (A krát C) end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle amalg}$ označuje koprodukt v Soubor, jmenovitě disjunktní unie, a ${ displaystyle cong}$ označuje a bijekce. V případě, že A, B, a C jsou konečné množiny, tento výsledek odráží distribuční vlastnictví: výše uvedené sady mají mohutnost ${ displaystyle | A | cdot (| B | + | C |) = | A | cdot | B | + | A | cdot | C |}$.

Kategorie Grp a Ab nejsou distribuční, přestože mají jak produkty, tak vedlejší produkty.

Ještě jednodušší kategorie, která má jak produkty, tak koprodukty, ale není distribuční, je kategorie špičaté sady.^[2]

Reference

Další čtení

• Cockett, J. R. B. (1993). „Úvod do distribučních kategorií“. Matematické struktury v informatice. 3 (3): 277. doi:10.1017 / S0960129500000232.
• Carboni, Aurelio (1993). "Úvod do rozsáhlých a distribučních kategorií". Journal of Pure and Applied Algebra. 84 (2): 145–158. doi:10.1016 / 0022-4049 (93) 90035-R.

Tento teorie kategorií související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.