Nulový morfismus - Zero morphism

v teorie kategorií, pobočka matematika, a nulový morfismus je zvláštní druh morfismus vykazující vlastnosti jako morfismy do az nulový objekt.

Definice

Předpokládat C je kategorie, a F : X → Y je morfismus v C. Morfismus F se nazývá a neustálý morfismus (nebo někdy morfismus levé nuly) pokud pro nějaké objekt Ž v C a jakékoli G, h : Ž → X, fg = fh. Duálně F se nazývá a konzistentní morfismus (nebo někdy pravý nulový morfismus) pokud pro jakýkoli objekt Z v C a jakékoli G, h : Y → Z, gf = hf. A nulový morfismus je ten, který je jak konstantním morfismem, tak konstantním morfismem.

A kategorie s nulovým morfismem je jeden, kde pro každé dva objekty A a B v C, existuje pevný morfismus 0_AB : A → Ba tato sbírka morfismů je taková, že pro všechny objekty X, Y, Z v C a všechny morfismy F : Y → Z, G : X → Y, dojíždí následující diagram:

Morfismy 0_XY nutně jsou nulové morfismy a tvoří kompatibilní systém nulových morfismů.

Li C je kategorie s nulovými morfismy, pak kolekce 0_XY je jedinečný.^[1]

Tento způsob definování „nulového morfismu“ a fráze „kategorie s nulovým morfismem“ samostatně je nešťastný, ale pokud každý domovská sada má „nulový morfismus“, potom kategorie „má nulový morfismus“.

Příklady

• V kategorie skupin (nebo z moduly ), nulový morfismus je a homomorfismus F : G → H který mapuje všechny G do prvek identity z H. Nulovým objektem v kategorii skupin je triviální skupina 1 = {1}, což je jedinečná až izomorfismus. Každý nulový morfismus lze promítnout do 1, i. E., F : G → 1 → H.
• Obecněji předpokládejme C je jakákoli kategorie s nulovým objektem 0. Pak pro všechny objekty X a Y existuje jedinečná posloupnost morfismů

0_XY : X → 0 → Y

Rodina všech takto vytvořených morfismů dotuje C se strukturou kategorie s nulovými morfismy.

• Li C je preadditive kategorie, pak každý morfismus nastavil Mor (X,Y) je abelianská skupina a proto má nulový prvek. Tyto nulové prvky tvoří kompatibilní rodinu nulových morfismů pro C dělat to do kategorie s nulovým morfismem.
• The kategorie sad nemá nulový objekt, ale má počáteční objekt, prázdná sada ∅. Jediný správný nulový morfismus v Soubor jsou funkce ∅ → X za sadu X.

Související pojmy

Li C má nulový objekt 0, vzhledem k tomu, dva objekty X a Y v Cexistují kanonické morfismy F : X → 0 a G : 0 → Y. Pak, gf je v Morovi nulový morfismus_C(X, Y). Každá kategorie s nulovým objektem je tedy kategorií s nulovými morfizmy danými složením 0_XY : X → 0 → Y.

Pokud má kategorie nulové morfismy, lze definovat pojmy jádro a koksovna pro jakýkoli morfismus v této kategorii.

Reference

• Oddíl 1.7 Pareigis, Bodo (1970), Kategorie a funktoryČistá a aplikovaná matematika, 39, Akademický tisk, ISBN  978-0-12-545150-5
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007), Teorie kategorieHeldermann Verlag.

Poznámky