Karoubi obálka - Karoubi envelope

v matematika the Karoubi obálka (nebo Cauchyho dokončení nebo idempotentní dokončení) a kategorie C je klasifikace idempotents z C, pomocí pomocné kategorie. Vezmeme si obálku Karoubi a preadditive kategorie dává kategorie pseudoabelianů, proto se stavba někdy nazývá pseudoabelianské dokončení. Je pojmenován pro francouzského matematika Max Karoubi.

Vzhledem k kategorii C, idempotent z C je endomorfismus

${ displaystyle e: A rightarrow A}$

s

${ displaystyle e circ e = e}$.

Idempotent E: A → A říká se rozdělit pokud existuje objekt B a morfismy F: A → B,G : B → A takhle E = G F a 1_B = F G.

The Karoubi obálka z C, někdy psáno Split (C), je kategorie, jejíž objekty jsou páry formuláře (A, E) kde A je předmětem C a ${ displaystyle e: A rightarrow A}$ je idempotent z Ca jehož morfismy jsou trojčata

${ displaystyle (e, f, e ^ { prime}) :( A, e) rightarrow (A ^ { prime}, e ^ { prime})}$

kde ${ displaystyle f: A rightarrow A ^ { prime}}$ je morfismus C uspokojující ${ displaystyle e ^ { prime} circ f = f = f circle e}$ (nebo ekvivalentně ${ displaystyle f = e ' circ f circle e}$).

Složení v Split (C) je jako v C, ale morfismus identity zapnutý ${ displaystyle (A, e)}$ v Split (C) je ${ displaystyle (e, e, e)}$, spíše než identita ${ displaystyle A}$.

Kategorie C vkládá plně a věrně dovnitř Split (C). v Split (C) každý idempotent se rozdělí a Split (C) je univerzální kategorie s touto vlastností. Karoubi obálka kategorie C lze proto považovat za „dokončení“ C který rozděluje idempotenty.

Karoubi obálka kategorie C lze ekvivalentně definovat jako celá podkategorie z ${ displaystyle { hat { mathbf {C}}}}$ (dále jen předvádí přes C) zatažení reprezentativní funktory. Kategorie preshees on C je ekvivalentní s kategorií předvoleb na Split (C).

Automorfismy v obálce Karoubi

An automorfismus v Split (C) je ve formě ${ displaystyle (e, f, e) :( A, e) pravá šipka (A, e)}$, s inverzní ${ displaystyle (e, g, e) :( A, e) pravá šipka (A, e)}$ uspokojující:

${ displaystyle g circ f = e = f circ g}$

${ displaystyle g circ f circ g = g}$

${ displaystyle f circ g circ f = f}$

Pokud je první rovnice uvolněná, stačí mít ${ displaystyle g circ f = f circ g}$, pak F je částečný automorfismus (s inverzí G). (Částečná) involuce v Split (C) je samo-inverzní (částečný) automorfismus.

Příklady

• Li C má produkty, poté dostane izomorfismus ${ displaystyle f: A rightarrow B}$ mapování ${ displaystyle f times f ^ {- 1}: A times B rightarrow B times A}$, složený z kanonické mapy ${ displaystyle gamma: B krát A pravá šipka A krát B}$ symetrie, je částečný involuce.
• Li C je trojúhelníková kategorie, obálka Karoubi Rozdělit(C) může být obdařen strukturou trojúhelníkové kategorie tak, že kanonický funktor C → Rozdělit(C) se stává a trojúhelníkový funktor.^[1]
• Karoubi obálka se používá při konstrukci několika kategorií motivy.
• Konstrukce obálky Karoubi vyžaduje částečné doplnění přídavky.^[2] Z tohoto důvodu se obálka Karoubi používá při studiu modelů netypový lambda kalkul. Karoubiho obálka extenzivního lambda modelu (monoid, považovaný za kategorii) je kartézská uzavřena.^[3][4]
• Kategorie projektivní moduly nad jakýmkoli prstenem je obálka Karoubi celé její podkategorie volných modulů.
• Kategorie vektorové svazky nad jakýmkoli paracompaktním prostorem je Karoubiho obálka celé podkategorie triviálních svazků. Toto je ve skutečnosti zvláštní případ předchozího příkladu Serre-Swanova věta a naopak tuto větu lze prokázat nejprve prokázáním obou těchto faktů, pozorováním, že globální sekce funktor je ekvivalence mezi triviálními vektorovými svazky ${ displaystyle X}$ a bezplatné moduly ${ displaystyle C (X)}$ a poté pomocí univerzální vlastnosti obálky Karoubi.

Reference

• Balmer, Paul; Schlichting, Marco (2001), „Idempotentní dokončení trojúhelníkových kategorií“ (PDF), Journal of Algebra, 236 (2): 819–834, doi:10.1006 / jabr.2000.8529, ISSN  0021-8693