Mandelbrotova sada - Mandelbrot set - Wikipedia

Sada Mandelbrot (černá) v nepřetržitě barevném prostředí

Přehrát média

Progresivní nekonečné iterace části „Nautilus“ sady Mandelbrot vykreslené pomocí webGL

Mandelbrotova animace založená na statickém počtu iterací na pixel

Mandelbrot sada detailů

The Mandelbrotova sada (/ˈm…nd.lbrɒt/) je soubor z komplexní čísla ${ displaystyle c}$ pro které je funkce ${ displaystyle f_ {c} (z) = z ^ {2} + c}$ ne rozcházejí se když iterováno z ${ displaystyle z = 0}$, tj. pro které je sekvence ${ displaystyle f_ {c} (0)}$, ${ displaystyle f_ {c} (f_ {c} (0))}$atd. zůstává omezen v absolutní hodnotě. Jeho definice se připisuje Adrien Douady kdo jej pojmenoval na počest matematik Benoit Mandelbrot, průkopník fraktální geometrie.^[1]

Přiblížení do sady Mandelbrot

Obrázky sady Mandelbrot vykazují komplikované a nekonečně komplikované hranice který odhaluje postupně stále jemnější rekurzivní detail při zvětšování zvětšení, čímž se hranice Mandelbrotovy sady a fraktální křivka. „Styl“ tohoto opakujícího se detailu závisí na oblasti zkoumané množiny. Obrázky sady Mandelbrot mohou být vytvořeny vzorkováním komplexních čísel a testováním pro každý bod vzorkování ${ displaystyle c}$, zda sekvence ${ displaystyle f_ {c} (0), f_ {c} (f_ {c} (0)), dotsc}$ jde do nekonečna. Léčba nemovitý a imaginární části z ${ displaystyle c}$ tak jako souřadnice obrazu na složité letadlo, pixely pak mohou být obarveny podle toho, jak brzy sekvence ${ displaystyle | f_ {c} (0) |, | f_ {c} (f_ {c} (0)) |, dotsc}$ překročí libovolně zvolenou hranici. Li ${ displaystyle c}$ je konstantní a počáteční hodnota ${ displaystyle z}$ místo toho se mění, získá se odpovídající Julia set pro věc ${ displaystyle c}$.

Sada Mandelbrot se stala populární venku matematika jak pro svou estetickou přitažlivost, tak jako příklad složité struktury vyplývající z použití jednoduchých pravidel. Je to jeden z nejznámějších příkladů matematická vizualizace a matematická krása a motiv.

Dějiny

První publikovaný obrázek sady Mandelbrot, autor: Robert W. Brooks a Peter Matelski v roce 1978

Mandelbrotova sada má svůj původ v komplexní dynamika, pole nejprve vyšetřované Francouzští matematici Pierre Fatou a Gaston Julia na počátku 20. století. Tento fraktál poprvé definoval a nakreslil v roce 1978 Robert W. Brooks a Peter Matelski jako součást studie o Kleinianské skupiny.^[2] Dne 1. března 1980 v IBM je Výzkumné centrum Thomase J. Watsona v Yorktown Heights, New York, Benoit Mandelbrot nejprve viděl vizualizaci sady.^[3]

Mandelbrot studoval prostor parametrů z kvadratické polynomy v článku, který vyšel v roce 1980.^[4] Matematické studium Mandelbrotovy množiny skutečně začalo prací matematiků Adrien Douady a John H. Hubbard (1985),^[1] který založil mnoho z jeho základních vlastností a pojmenoval soubor na počest Mandelbrota pro jeho vlivnou práci v fraktální geometrie.

Matematici Heinz-Otto Peitgen a Peter Richter stal se dobře známý tím, že propagoval soubor s fotografiemi, knihami (1986),^[5] a mezinárodně putovní výstava němčiny Goethe-Institut (1985).^[6][7]

Titulní článek ze srpna 1985 Scientific American představil široké publikum algoritmus pro výpočet sady Mandelbrot. Na obálce byl obrázek umístěný na −0.909 + −0.275 i a byl vytvořen Peitgenem a kol.^[8][9] Sada Mandelbrot se proslavila v polovině 80. let jako počítač grafické demo, když osobní počítače se stal dostatečně silným, aby vykreslil a zobrazil sadu ve vysokém rozlišení.^[10]

Práce Douadyho a Hubbarda se shodovala s obrovským nárůstem zájmu o komplexní dynamiku a abstraktní matematika a studium sady Mandelbrot je od té doby ústředním bodem tohoto oboru. Vyčerpávající seznam všech, kteří od té doby přispěli k pochopení této sady, je dlouhý, ale zahrnoval by Michail Lyubich,^[11][12] Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura a Jean-Christophe Yoccoz.

Formální definice

Sada Mandelbrot je sada hodnot C v složité letadlo pro které obíhat z kritický bod z = 0 pod opakování z kvadratická mapa

${ displaystyle z_ {n + 1} = z_ {n} ^ {2} + c}$

Zůstává ohraničený.^[13] Tedy komplexní číslo C je členem sady Mandelbrot, pokud na začátku z₀ = 0 a opakované použití iterace, absolutní hodnota z z_n zůstává omezen pro všechny n > 0.

Například pro C = 1, sekvence je 0, 1, 2, 5, 26, ..., což má tendenci nekonečno, takže 1 není prvkem sady Mandelbrot. Na druhou stranu pro C = −1, posloupnost je 0, −1, 0, −1, 0, ..., která je ohraničená, takže −1 do množiny patří.

Mandelbrotovu sadu lze také definovat jako lokace propojenosti rodiny polynomy.

Základní vlastnosti

Sada Mandelbrot je a kompaktní sada, protože je Zavřeno a obsažené v uzavřený disk o poloměru 2 kolem původ. Přesněji řečeno, bod ${ displaystyle c}$ patří do sady Mandelbrot právě tehdy ${ displaystyle | z_ {n} | leq 2}$ pro všechny ${ displaystyle n geq 0}$. Jinými slovy absolutní hodnota z ${ displaystyle z_ {n}}$ musí zůstat na nebo pod 2 pro ${ displaystyle c}$ být v sadě Mandelbrot, ${ displaystyle M}$, jako kdyby tato absolutní hodnota přesáhla 2, sekvence unikne do nekonečna.

Korespondence mezi sadou Mandelbrot a bifurkační diagram z logistická mapa

S ${ displaystyle z_ {n}}$ iterace vynesené na svislou osu, Mandelbrotova množina může být viděna, že se rozdvojuje tam, kde je množina konečná

The průsečík z ${ displaystyle M}$ se skutečnou osou je přesně interval [−2, 1/4]. Parametry podél tohoto intervalu lze dát do vzájemné korespondence s parametry skutečných logistická rodina,

${ displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} (1-x_ {n}), quad r v [1,4].}$

Korespondence je dána

${ displaystyle z = r left ({ frac {1} {2}} - x right), quad c = { frac {r} {2}} left (1 - { frac {r} {2}} vpravo).}$

Ve skutečnosti to dává korespondenci mezi celým prostor parametrů logistické rodiny a rodiny Mandelbrot.

Douady a Hubbard ukázali, že sada Mandelbrot je připojeno. Ve skutečnosti vytvořili explicitní konformní izomorfismus mezi doplňkem sady Mandelbrot a doplňkem sady uzavřený disk jednotky. Mandelbrot původně předpokládal, že Mandelbrotova množina je odpojen. Tato domněnka byla založena na počítačových obrázcích generovaných programy, které nejsou schopny detekovat tenká vlákna spojující různé části ${ displaystyle M}$. Po dalších experimentech revidoval své domněnky a rozhodl o tom ${ displaystyle M}$ by měl být připojen. Existuje také a topologické důkaz propojenosti, kterou v roce 2001 objevil Jeremy Kahn.^[14]

Vnější paprsky probuzení poblíž kontinentu období 1 v sadě Mandelbrot

Dynamický vzorec pro uniformizace doplňku sady Mandelbrot, vyplývající z důkazů Douadyho a Hubbarda o propojenosti ${ displaystyle M}$, vede k vnější paprsky sady Mandelbrot. Tyto paprsky lze použít ke kombinování kombinací Mandelbrotovy množiny a vytvoření páteře Yoccoz parapuzzle.^[15]

The hranice sady Mandelbrot je přesně bifurkační lokus kvadratické rodiny; tj. soubor parametrů ${ displaystyle c}$ pro které se dynamika při malých změnách náhle změní ${ displaystyle c.}$ Lze jej zkonstruovat jako limitní množinu posloupnosti rovinné algebraické křivky, Mandelbrotovy křivky, obecného typu známého jako polynomiální lemniskáty. Křivky Mandelbrot jsou definovány nastavením str₀ = z, str_n+1 = str_n² + za poté interpretovat množinu bodů |str_n(z)| = 2 v komplexní rovině jako skutečná křivka Kartézské letadlo stupně 2ⁿ⁺¹ v X a y. Tyto algebraické křivky se objevují na obrázcích Mandelbrotovy množiny vypočítaných pomocí níže uvedeného „algoritmu únikového času“.

Další vlastnosti

Hlavní kardioidní a dobové žárovky

Období hyperbolických složek

Při pohledu na obrázek sady Mandelbrot si člověk okamžitě všimne velké kardioidní -formovaná oblast uprostřed. Tento hlavní kardioidníje oblast parametrů ${ displaystyle c}$ pro které je mapa

${ displaystyle f_ {c} (z) = z ^ {2} + c}$

má přilákání pevného bodu. Skládá se ze všech parametrů formuláře

${ displaystyle c = { frac { mu} {2}} vlevo (1 - { frac { mu} {2}} vpravo)}$

pro některé ${ displaystyle mu}$ v otevřený disk jednotky.

Nalevo od hlavní kardioidy, připojené k ní v bodě ${ displaystyle c = -3 / 4}$, kruhového tvaru žárovka je viditelný. Tato žárovka se skládá z těchto parametrů ${ displaystyle c}$ pro který ${ displaystyle f_ {c}}$ má přitahující cyklus období 2. Tato sada parametrů je skutečný kruh, konkrétně kruh o poloměru 1/4 kolem -1.

Existuje nekonečně mnoho dalších žárovek dotýkajících se hlavního kardioidu: pro každé racionální číslo ${ displaystyle { tfrac {p} {q}}}$, s str a q coprime, existuje taková žárovka, která je tečná k parametru

${ displaystyle c _ { frac {p} {q}} = { frac {e ^ {2 pi i { frac {p} {q}}}} {2}} vlevo (1 - { frac {e ^ {2 pi i { frac {p} {q}}}} {2}} vpravo) = { frac {(e ^ {i pi}) ^ {2 { frac {p} {q}}}} {2}} vlevo (1 - { frac {(e ^ {i pi}) ^ {2 { frac {p} {q}}}} {2}} vpravo) = { frac {1 ^ { frac {p} {q}}} {2}} vlevo (1 - { frac {1 ^ { frac {p} {q}}} {2}} vpravo ) = { frac {1} {2}} vlevo (1 - { frac {1} {2}} vpravo) = { frac {1} {2}} krát { frac {1} { 2}} = { frac {1} {4}}.}$

Přitahovací cyklus ve 2/5 žárovce vykreslen Julia set (animace)

Tato žárovka se nazývá ${ displaystyle { tfrac {p} {q}}}$-žárovka sady Mandelbrot. Skládá se z parametrů, které mají přitažlivý cyklus období ${ displaystyle q}$ a kombinační rotační číslo ${ displaystyle { tfrac {p} {q}}}$. Přesněji řečeno ${ displaystyle q}$ periodicky Fatou komponenty obsahující přitahovací cyklus, všechny dotyky ve společném bodě (běžně nazývané ${ displaystyle alpha}$-pevný bod). Pokud tyto komponenty označíme ${ displaystyle U_ {0}, tečky, U_ {q-1}}$ tedy v orientaci proti směru hodinových ručiček ${ displaystyle f_ {c}}$ mapuje komponentu ${ displaystyle U_ {j}}$ ke komponentě ${ displaystyle U_ {j + p , ( operatorname {mod} q)}}$.

Přilákání cyklů a Julia zapadá pro parametry v žárovkách 1/2, 3/7, 2/5, 1/3, 1/4 a 1/5

Změna chování, ke které dochází v ${ displaystyle c _ { frac {p} {q}}}$ je známý jako rozdvojení: přitahující pevný bod „koliduje“ s odpuzujícím obdobím q-cyklus. Když procházíme parametrem bifurkace do ${ displaystyle { tfrac {p} {q}}}$- žárovka, přitahující se pevný bod se změní na odpuzující pevný bod ( ${ displaystyle alpha}$-fixed point) a tečka q-cyklus přitahuje.

Hyperbolické komponenty

Všechny žárovky, se kterými jsme se setkali v předchozí části, byly interiérovými součástmi sady Mandelbrot, ve které byly mapy ${ displaystyle f_ {c}}$ mají přitažlivý periodický cyklus. Takové komponenty se nazývají hyperbolické komponenty.

Předpokládá se, že se jedná o pouze vnitřní oblasti ${ displaystyle M}$. Tento problém, známý jako hustota hyperbolicity, může být nejdůležitějším otevřeným problémem v oblasti komplexní dynamiky. Hypotetické nehyperbolické komponenty sady Mandelbrot se často označují jako „queer“ nebo duchové komponenty.^[16][17]Pro nemovitý kvadratické polynomy, na tuto otázku kladně odpověděli v 90. letech nezávisle Lyubich a Graczyk a Świątek. (Všimněte si, že hyperbolické komponenty protínající skutečnou osu přesně odpovídají periodickým oknům v Feigenbaumův diagram. Tento výsledek tedy uvádí, že taková okna existují poblíž všech parametrů v diagramu.)

Ne každé hyperbolické složky lze dosáhnout posloupností přímých bifurkací z hlavní kardioidy sady Mandelbrot. Avšak taková součást umět být dosažen posloupností přímých bifurkací z hlavní kardioidy malé kopie Mandelbrot (viz níže).

Každá z hyperbolických komponent má a centrum, což je bod C tak, že vnitřní Fatou doména pro ${ displaystyle f_ {c} (z)}$ má super přitažlivý cyklus - to znamená, že přitažlivost je nekonečná (viz obrázek tady ). To znamená, že cyklus obsahuje kritický bod 0, takže 0 je po několika iteracích iterován zpět k sobě. To tedy máme ${ displaystyle f_ {c} ^ {n} (0) = 0}$ pro některé n. Pokud tomu říkáme polynom ${ displaystyle Q ^ {n} (c)}$ (necháme to záviset na C namísto z), máme to ${ displaystyle Q ^ {n + 1} (c) = Q ^ {n} (c) ^ {2} + c}$ a že stupeň ${ displaystyle Q ^ {n} (c)}$ je ${ displaystyle 2 ^ {n-1}}$. Můžeme tedy postavit středy hyperbolických komponent postupným řešením rovnic ${ displaystyle Q ^ {n} (c) = 0, n = 1,2,3, ...}$. Počet nových center vyrobených v každém kroku je dán společností Sloane's OEIS: A000740.

Místní připojení

Předpokládá se, že Mandelbrotova množina je místně připojen. Tato slavná domněnka je známá jako MLC (pro Mandelbrot místně připojen). Podle práce Adrien Douady a John H. Hubbard, tato domněnka by vyústila v jednoduchý abstraktní model „pinched disk“ sady Mandelbrot. Zejména by to znamenalo důležité domněnka hyperbolicity zmíněno výše.

Práce Jean-Christophe Yoccoz ustavená místní konektivita sady Mandelbrot vůbec konečně obnovitelné parametry; to znamená zhruba řečeno ty obsažené pouze v konečně mnoha malých Mandelbrotových kopiích.^[18] Od té doby byla místní konektivita prokázána v mnoha dalších bodech ${ displaystyle M}$, ale úplná domněnka je stále otevřená.

Self-podobnost

Self-podobnost v sadě Mandelbrot zobrazené zvětšením kulatého prvku při posouvání v zápornémX směr. Střed displeje se posouvá od (−1, 0) do (−1,31, 0), zatímco zobrazení se zvětšuje od 0,5 × 0,5 do 0,12 × 0,12, aby se přiblížilo Poměr Feigenbaum ${ displaystyle delta}$.

Sada Mandelbrot je podobný pod zvětšením v sousedství Misiurewicz body. Rovněž se předpokládá, že jsou si podobné jako generalizované Feigenbaumovy body (např. -1,401155 nebo -0,1528 + 1,0397i), ve smyslu konvergence k stanovenému limitu.^[19][20]Mandelbrotova množina obecně není striktně sebepodobná, ale je kvazi-podobná, protože její malé mírně odlišné verze lze nalézt v libovolně malých měřítcích. Všechny tyto malé kopie sady Mandelbrot se mírně liší, hlavně kvůli tenkým vláknům, která je spojují s hlavním tělem sady.

Další výsledky

The Hausdorffova dimenze z hranice sady Mandelbrot se rovná 2, jak je určeno výsledkem Mitsuhiro Shishikura.^[21] Není známo, zda má hranice Mandelbrotovy množiny kladnou rovinu Lebesgueovo opatření.

V Blum – Shub – Smale model skutečný výpočet, Mandelbrotova sada není vypočítatelná, ale její doplněk ano vypočítatelně vyčíslitelné. Mnoho jednoduchých objektů (např., graf umocňování) také nelze v modelu BSS vypočítat. V současné době není známo, zda je Mandelbrotova množina vypočítatelná v modelech skutečného výpočtu založeného na vypočítatelná analýza, které více odpovídají intuitivnímu pojmu „vykreslení množiny počítačem“. Hertling ukázal, že Mandelbrotova množina je v tomto modelu vypočítatelná, pokud je domněnka hyperbolicity pravdivá.

Vztah s Julií

V důsledku definice Mandelbrotovy množiny existuje úzká korespondence mezi geometrií Mandelbrotovy množiny v daném bodě a strukturou odpovídající Julia set. Například bod je v sadě Mandelbrot přesně, když je připojena odpovídající sada Julia.

Tento princip je využíván prakticky ve všech hlubokých výsledcích sady Mandelbrot. Shishikura například dokázal, že pro hustou sadu parametrů na hranici Mandelbrotovy množiny má Julia Hausdorffova dimenze dva, a poté tyto informace přenese do roviny parametrů.^[21] Podobně Yoccoz nejprve prokázal lokální konektivitu sad Julia, než ji vytvořil pro sadu Mandelbrot s odpovídajícími parametry.^[18] Adrien Douady formuluje tento princip jako:

Pluhujte v dynamické rovině a sklízejte v prostoru parametrů.

Geometrie

Za každé racionální číslo ${ displaystyle { tfrac {p} {q}}}$, kde str a q jsou relativně prime, hyperbolická složka období q bifurkáty z hlavního kardioidu. Část sady Mandelbrot připojená k hlavnímu kardioidu v tomto bifurkačním bodě se nazývá str/qkončetina. Počítačové experimenty naznačují, že průměr končetiny má sklon k nule ${ displaystyle { tfrac {1} {q ^ {2}}}}$. Nejlepší známý současný odhad je Yoccoz-nerovnost, který uvádí, že velikost má sklon k nule ${ displaystyle { tfrac {1} {q}}}$.

Období-q končetina bude mít q - 1 „antény“ v horní části končetiny. Můžeme tedy určit periodu dané žárovky spočítáním těchto antén. Můžeme také najít čitatele rotačního čísla, strčíslováním každé antény proti směru hodinových ručiček od končetiny od 1 do q - 1 a zjištění, která anténa je nejkratší.^[22]

Pi v sadě Mandelbrot

Ve snaze prokázat, že tloušťka str/q-limb je nula, David Boll provedl počítačový experiment v roce 1991, kde vypočítal počet iterací potřebných k tomu, aby se série rozcházela z = −3/4 + tj (−3/4 jejich umístění). Vzhledem k tomu, že se řada neodchyluje na přesnou hodnotu z = −3/4, počet požadovaných iterací se zvyšuje s malou ε. Ukazuje se, že vynásobením hodnoty ε počtem požadovaných iterací se získá aproximace π, která se stává lepší pro menší ε. Například pro ε = 0,0000001 počet iterací je 31415928 a produkt je 3.1415928.^[23]

Fibonacciho sekvence v sadě Mandelbrot

Je možné ukázat, že Fibonacciho sekvence se nachází v sadě Mandelbrot a že existuje vztah mezi hlavním kardioidem a Fareyův diagram. Při mapování hlavní kardioidy na disk je možné si všimnout, že množství antén, které sahá od další největší hyperbolické komponenty a která je umístěna mezi dvěma dříve vybranými komponentami, odpovídá Fibonacciho posloupnosti. Množství antén také koreluje s Fareyovým diagramem a hodnoty jmenovatele v odpovídajících zlomkových hodnotách, které se vztahují ke vzdálenosti kolem disku. Samotné obě části těchto zlomkových hodnot lze sečíst dohromady ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$ k vytvoření umístění další hyperbolické komponenty v sekvenci. Fibonacciho sekvenci 1, 2, 3, 5, 8, 13 a 21 lze tedy nalézt v sadě Mandelbrot.

Galerie obrázků sekvence přiblížení

Sada Mandelbrot ukazuje složitější detaily, čím blíže vypadá nebo zvětšuje obrázek, obvykle zvaný „přiblížení“. Následující příklad sekvence obrazu, která se přiblíží k vybranému C value vytváří dojem nekonečného bohatství různých geometrických struktur a vysvětluje některá jejich typická pravidla.

Zvětšení posledního obrázku vzhledem k prvnímu je asi 10¹⁰ až 1. Ve vztahu k běžnému monitoru představuje část sady Mandelbrot o průměru 4 miliony kilometrů. Jeho hranice by ukazovala astronomické množství různých fraktálových struktur.

• 

  Start. Sada Mandelbrot s kontinuálně barevným prostředím.

• 

  Mezera mezi „hlavou“ a „tělem“, nazývaná také „údolí mořského koníka“

• 

  Vlevo dvojité spirály, vpravo „mořští koníci“

• 

  „Seahorse“ vzhůru nohama

„Tělo“ mořského koníka se skládá z 25 „paprsků“ skládajících se ze dvou skupin po 12 „paprskech“ a jednom „paprsku“ připojeném k hlavní kardioidě. Tyto dvě skupiny lze určitým druhem metamorfózy připsat dvěma „prstům“ „horní ruky“ Mandelbrotovy množiny; proto se počet „paprsků“ zvyšuje z jednoho „mořského koníka“ na druhého o 2; „rozbočovač“ je tzv Misiurewicz bod. Mezi „horní částí těla“ a „ocasem“ lze rozpoznat zkreslenou malou kopii Mandelbrotovy sady zvanou satelit.

• 

  Centrální koncový bod „ocasu mořského koníka“ je také a Misiurewicz bod.

• 

  Část „ocasu“ - existuje pouze jedna cesta sestávající z tenkých struktur, které vedou celým „ocasem“. Tato klikatá cesta prochází „náboji“ velkých objektů s 25 „paprsky“ na vnitřní a vnější hranici „ocasu“; tedy Mandelbrotova množina je a jednoduše připojeno set, což znamená, že kolem díry nejsou žádné ostrovy ani smyčky.

• 

  Satelit. Dva „ocasy mořského koníka“ jsou začátkem řady soustředných korun se satelitem uprostřed. Otevřete toto místo v interaktivním prohlížeči.

• 

  Každá z těchto korun se skládá z podobných „mořských koníků“; jejich počet se zvyšuje s výkonem 2, což je typický jev v prostředí satelitů. Jedinečná cesta do středu spirály prochází satelitem z drážky kardioidu do horní části „antény“ na „hlavě“.

• 

  „Anténa“ satelitu. Lze rozpoznat několik satelitů druhého řádu.

• 

  „Údolí mořského koníka“ satelitu. Všechny struktury od začátku přiblížení se znovu zobrazí.

• 

  Dvojité spirály a „mořští koníci“ - na rozdíl od druhého obrázku od začátku mají přílohy obsahující struktury jako „ocasy mořského koníka“; to ukazuje typické propojení n + 1 různých struktur v prostředí satelitů řádu n, zde pro nejjednodušší případ n = 1.

• 

  Dvojité spirály se satelity druhého řádu - analogicky k „mořským koníkům“ lze dvojité spirály interpretovat jako metamorfózu „antény“

• 

  Ve vnější části příloh lze rozpoznat ostrovy struktur; mají tvar jako Julia zapadá J_C; největší z nich najdete uprostřed „dvojitého háku“ na pravé straně

• 

  Část „dvojitého háku“

• 

  Ostrovy

• 

  Detail jednoho ostrova

• 

  Detail spirály. Otevřete toto místo v interaktivním prohlížeči.

Zdá se, že ostrovy ve třetím až posledním kroku se skládají z nekonečně mnoha částí Cantorovy sady, jak je^{[je zapotřebí objasnění ]} ve skutečnosti případ pro odpovídající sadu Julia J_C. Jsou však spojeny malými strukturami, takže celek představuje jednoduše spojenou množinu. Drobné struktury se setkávají na satelitu ve středu, který je příliš malý na to, aby ho bylo možné při tomto zvětšení rozpoznat. Hodnota C pro odpovídající J_C není středem obrazu, ale vzhledem k hlavnímu tělesu sady Mandelbrot má stejnou polohu jako střed tohoto snímku vzhledem k satelitu zobrazenému v 6. kroku zoomu.

Zobecnění

Přehrát média

Animace sady Multibrot pro d od 0 do 5 (vlevo) a od 0,05 do 2 (vpravo).

Sada 4D Julia může být promítnuta nebo průřezem do 3D, a proto je také možný 4D Mandelbrot.

Sady Multibrot

Sady Multibrot jsou ohraničené množiny nalezené v komplexní rovině pro členy obecné monické univariate polynomiální rodina rekurzí

${ displaystyle z mapsto z ^ {d} + c. }$

Pro celé číslo d jsou tyto množiny lokusy propojenosti pro množiny Julia postavené ze stejného vzorce. Rovněž byl studován lokus úplné kubické propojenosti; zde se uvažuje rekurze dvou parametrů ${ displaystyle z mapsto z ^ {3} + 3kz + c}$, jehož dva kritické body jsou komplexní odmocniny parametru k. Pokud jsou oba kritické body stabilní, je v lokaci kubické propojenosti parametr.^[24] Pro obecné rodiny holomorfní funkce, hranice sady Mandelbrot zobecňuje na bifurkační lokus, což je přirozený předmět ke studiu, i když lokus propojenosti není užitečný.

The Sada Multibrot se získá změnou hodnoty exponentu d. The článek má video, které ukazuje vývoj od d = 0 až 7, kdy je jich 6, tj. (d - 1) laloky po obvodu. Podobný vývoj se zápornými exponenty vede k (1 - d) rozštěpy na vnitřní straně prstenu.

Vyšší rozměry

Neexistuje dokonalé rozšíření sady Mandelbrot do 3D. Důvodem je, že neexistuje žádný 3D analog komplexních čísel, aby mohl iterovat. Existuje však rozšíření komplexních čísel do 4 dimenzí, tzv čtveřice, který vytváří dokonalé rozšíření sady Mandelbrot a sady Julia do 4 dimenzí.^[25] Ty pak mohou být buď průřez nebo předpokládané do 3D struktury.

Jiné, neanalytické mapování

Obrázek fraktálu Tricorn / Mandelbar

Zvláště zajímavý je tricorn fraktál, lokus propojenosti anti-holomorfní rodiny

${ displaystyle z mapsto { bar {z}} ^ {2} + c.}$

Tricorn (také někdy nazývaný Mandelbar) narazil na Milnor ve své studii parametrových řezů reálných kubické polynomy. to je ne místně připojen. Tato vlastnost je zděděna lokusem propojenosti skutečných kubických polynomů.

Další neanalytickou generalizací je Hořící loď fraktál, který se získá iterací následujícího:

${ displaystyle z mapsto (| Re left (z right) | + i | Im left (z right) |) ^ {2} + c.}$

Počítačové kresby

Existuje velké množství různých algoritmů pro vykreslování sady Mandelbrot prostřednictvím výpočetního zařízení. Zde bude předveden nejpoužívanější a nejjednodušší algoritmus, a to naivní „algoritmus únikového času“. V algoritmu doby úniku se pro každý provede opakující se výpočet X, y bodu v ploše a na základě chování tohoto výpočtu je vybrána barva pro tento pixel.

The X a y umístění každého bodu se používají jako počáteční hodnoty při opakujícím se nebo iteračním výpočtu (podrobně popsáno níže). Výsledek každé iterace se použije jako počáteční hodnoty pro další. Hodnoty se kontrolují během každé iterace, aby se zjistilo, zda dosáhly kritické podmínky „úniku“ nebo „výpomoci“. Pokud je této podmínky dosaženo, výpočet se zastaví, pixel se nakreslí a další X, y bod je zkoumán.

Barva každého bodu představuje, jak rychle se hodnoty dostaly do únikového bodu. Černá se často používá k zobrazení hodnot, které se nepodaří uniknout před limitem iterace, a pro body, které uniknou, se postupně použijí jasnější barvy. To poskytuje vizuální představu o tom, kolik cyklů bylo požadováno před dosažením únikové podmínky.

Pro vykreslení takového obrazu je oblast komplexní roviny, kterou uvažujeme, rozdělena na určitý počet pixelů. Chcete-li vybarvit jakýkoli takový pixel, nechte ${ displaystyle c}$ být středem tohoto pixelu. Nyní iterujeme kritický bod 0 pod ${ displaystyle f_ {c}}$, v každém kroku kontrolujeme, zda má orbitální bod modul větší než 2. Když je tomu tak, víme to ${ displaystyle c}$ nepatří do sady Mandelbrot a náš pixel obarvujeme podle počtu iterací použitých ke zjištění. V opačném případě pokračujeme v iteraci až na pevný počet kroků, po kterých se rozhodneme, že náš parametr je „pravděpodobně“ v sadě Mandelbrot, nebo je alespoň velmi blízko, a vybarvujeme pixel na černou.

v pseudo kód by tento algoritmus vypadal následovně. Algoritmus nepoužívá komplexní čísla a ručně simuluje operace s komplexními čísly pomocí dvou reálných čísel pro ty, kteří nemají komplexní datový typ. Program lze zjednodušit, pokud programovací jazyk zahrnuje operace komplexního datového typu.

pro každého pixel (Px, Py) na obrazovce dělat    x0: = měřítko x souřadnice pixelu (měřítko leží v měřítku Mandelbrot X (-2,5, 1)) y0: = měřítko souřadnice y pixelu (měřítko leží v měřítku Mandelbrot Y (-1, 1)) x: = 0,0 y: = 0,0 iterace: = 0 max_iteration: = 1000 zatímco (x * x + y * y ≤ 2 * 2 AND iterace dělat        xtemp: = x * x - y * y + x0 y: = 2 * x * y + y0 x: = xtemp iterace: = iterace + 1

    color: = paleta [iterace] plot (Px, Py, color)

Zde vztahující se k pseudokódu ${ displaystyle c}$, ${ displaystyle z}$ a ${ displaystyle f_ {c}}$:

• ${ displaystyle z = x + iy }$
• ${ displaystyle z ^ {2} = x ^ {2} + i2xy-y ^ {2} }$
• ${ displaystyle c = x_ {0} + iy_ {0} }$

a tak, jak je vidět na pseudokódu při výpočtu X a y:

• ${ displaystyle x = mathop { mathrm {Re}} (z ^ {2} + c) = x ^ {2} -y ^ {2} + x_ {0}}$ a ${ displaystyle y = mathop { mathrm {Im}} (z ^ {2} + c) = 2xy + y_ {0}. }$

Chcete-li získat barevné obrázky sady, lze přiřadit barvu každé hodnotě počtu provedených iterací pomocí jedné z různých funkcí (lineární, exponenciální atd.).

Odkazy v populární kultuře

Mandelbrotovu sadu považuje mnoho nejpopulárnějších fraktálů,^[26][27] a byl několikrát odkazován v populární kultuře.

• The Jonathan Coulton píseň „Mandelbrot Set“ je poctou jak samotnému fraktálu, tak jeho objeviteli Benoitovi Mandelbrotovi.^[28]
• Druhá kniha Řada režimů podle Piers Anthony, Fraktální režim, popisuje svět, který je dokonalým 3D modelem sady.^[29]
• The Arthur C. Clarke román Duch z velkých bank je vybaven umělým jezerem vyrobeným k replikaci tvaru sady Mandelbrot.^[30]
• Benoit Mandelbrot a stejnojmenná sada byly předmětem Google Doodle 20. listopadu 2020 (96. narozeniny zesnulého Benoita Mandelbrota).
• Americká rocková kapela Heart má obraz Mandelbrot Set na obálce jejich alba z roku 2004, Jupiter's Darling.

Viz také

• Buddhabrot
• Collatzův fraktál
• Fractint
• Gilbreathova permutace
• Mandelbox
• Mandelbulb
• Menger Sponge
• Newtonův fraktál
• Orbitní portrét
• Orbitová past
• Pickover stopka

Reference

Další čtení

• John W. Milnor, Dynamika v jedné komplexní proměnné (Třetí vydání), Annals of Mathematics Studies 160, (Princeton University Press, 2006), ISBN  0-691-12488-4
  (Poprvé se objevil v roce 1990 jako Předtisk IMS Stony Brook, k dispozici jako arXiV: math.DS / 9201272 )
• Nigel Lesmoir-Gordon, Barvy nekonečna: Krása, síla a smysl fraktálů, ISBN  1-904555-05-5
  (zahrnuje DVD představovat Arthur C. Clarke a David Gilmour )
• Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe, Chaos a fraktály: Nové hranice vědy (Springer, New York, 1992, 2004), ISBN  0-387-20229-3

externí odkazy

• Chaos a fraktály na Curlie
• Sady Mandelbrot a Julia od Michael Frame, Benoit Mandelbrot a Nial Neger
• Video: Mandelbrotův fraktální zoom na 6 066 e228
• Relativně jednoduché vysvětlení matematického procesu tím, že Dr. Holly Krieger, MIT
• Mandelbrot nastavuje online vykreslování obrázků
• Různé algoritmy pro výpočet sady Mandelbrot (na Rosettský kód )
• Fraktální kalkulačka napsaná v Lua Deyan Dobromiroiv, Sofie, Bulharsko