Feigenbaumovy konstanty - Feigenbaum constants

Feigenbaumova konstanta δ vyjadřuje hranici poměru vzdáleností mezi po sobě jdoucím bifurkačním diagramem L_i / L_i + 1

v matematika konkrétně teorie bifurkace, Feigenbaumovy konstanty jsou dva matematické konstanty které oba vyjadřují poměry v a bifurkační diagram pro nelineární mapu. Jsou pojmenovány po fyzikovi Mitchell J. Feigenbaum.

Dějiny

Feigenbaum původně spojoval první konstantu s bifurkace zdvojnásobující období v logistická mapa, ale také ukázal, že platí pro všechny jednorozměrné mapy s jediným kvadratický maximum. V důsledku této obecnosti každý chaotický systém který odpovídá tomuto popisu, se bude rozdvojovat stejnou rychlostí. Bylo objeveno v roce 1975.^[1]^[2]

První konstanta

První Feigenbaumova konstanta je omezující poměr každého bifurkačního intervalu na další mezi každým zdvojnásobení období, z jednoho-parametr mapa

{ displaystyle x_ {i + 1} = f (x_ {i}),}

kde $F (X)$ je funkce parametrizovaná parametrem bifurkace $A$ .

Je to dáno omezit^[3]

{ displaystyle delta = lim _ {n to infty} { frac {a_ {n-1} -a_ {n-2}} {a_ {n} -a_ {n-1}}} = 4 669 , 201 , 609 , ldots,}

kde $A n$ jsou diskrétní hodnoty $A$ na $n$ -th období zdvojnásobení.

Jména

Feifenbaumova rychlost bifurkace
delta

Hodnota

30 desetinných míst: $δ$ = 4.669201609102990671853203820466…
(sekvence A006890 v OEIS )
Jednoduchá racionální aproximace je 4 * 307/263

Ilustrace

Nelineární mapy

Chcete-li zjistit, jak toto číslo vzniká, zvažte skutečnou jednoparametrovou mapu

{ displaystyle f (x) = a-x ^ {2}.}

Tady $A$ je parametr bifurkace, $X$ je proměnná. Hodnoty $A$ pro které se období zdvojnásobuje (např. největší hodnota pro $A$ bez oběžné dráhy období 2 nebo největší $A$ bez oběžné dráhy období 4), jsou $A 1$ , $A 2$ atd. Níže jsou uvedeny v tabulce:^[4]

$n$	Doba	Parametr bifurkace ( $A n$ )	Poměr $A n -1 - A n -2 / A n - A n -1$
1	2	0.75	—
2	4	1.25	—
3	8	1.3680989	4.2337
4	16	1.3940462	4.5515
5	32	1.3996312	4.6458
6	64	1.4008286	4.6639
7	128	1.4010853	4.6682
8	256	1.4011402	4.6689

Poměr v posledním sloupci konverguje k první Feigenbaumově konstantě. Stejné číslo platí pro logistická mapa

{ displaystyle f (x) = sekera (1-x)}

se skutečným parametrem $A$ a variabilní $X$ . Opětovné tabelování hodnot bifurkace:^[5]

$n$	Doba	Parametr bifurkace ( $A n$ )	Poměr $A n -1 - A n -2 / A n - A n -1$
1	2	3	—
2	4	3.4494897	—
3	8	3.5440903	4.7514
4	16	3.5644073	4.6562
5	32	3.5687594	4.6683
6	64	3.5696916	4.6686
7	128	3.5698913	4.6692
8	256	3.5699340	4.6694

Fraktály

Self-podobnost v Mandelbrotova sada zobrazeno přiblížením kulatého prvku při posouvání v záporném

X

směr. Střed displeje se posouvá od (−1, 0) do (−1,31, 0), zatímco zobrazení se zvětšuje od 0,5 × 0,5 do 0,12 × 0,12, aby se přiblížil poměru Feigenbaum.

V případě Mandelbrotova sada pro komplexní kvadratický polynom

{ displaystyle f (z) = z ^ {2} + c}

Feigenbaumova konstanta je poměr mezi průměry po sobě jdoucích kruhů na skutečná osa v složité letadlo (viz animace vpravo).

$n$	Období = $2 n$	Parametr bifurkace ( $C n$ )	Poměr ${ displaystyle = { dfrac {c_ {n-1} -c_ {n-2}} {c_ {n} -c_ {n-1}}}}$
1	2	−0.75	—
2	4	−1.25	—
3	8	−1.3680989	4.2337
4	16	−1.3940462	4.5515
5	32	−1.3996312	4.6458
6	64	−1.4008287	4.6639
7	128	−1.4010853	4.6682
8	256	−1.4011402	4.6689
9	512	−1.401151982029
10	1024	−1.401154502237
$\infty$		−1.4011551890…

Parametr bifurkace je kořenovým bodem období - $2 n$ součástka. Tato řada konverguje k bodu Feigenbaum $C$ = −1,401155 ...... Poměr v posledním sloupci konverguje k první Feigenbaumově konstantě.

Jiné mapy také reprodukují tento poměr, v tomto smyslu je Feigenbaumova konstanta v teorii bifurkace analogická $π$ v geometrie a $E$ v počet.

Druhá konstanta

Druhá Feigenbaumova konstanta nebo Feigenbaumova alfa konstanta (sekvence A006891 v OEIS ),

α

= 2.502907875095892822283902873218…,

je poměr mezi šířkou a hrot a šířka jedné z jejích dvou subtines (kromě hrotu nejblíže k záhybu). Záporné znaménko je aplikováno na $α$ když se měří poměr mezi spodním dílčím prstem a šířkou hrotu.^[6]

Tato čísla platí pro velkou třídu dynamické systémy (například kapající faucety k růstu populace).^[6]

Jednoduchá racionální aproximace je (13/11) * (17/11) * (37/27).

Vlastnosti

Předpokládá se, že obě čísla jsou transcendentální, i když se neprokázalo, že tomu tak je.^[7] Rovněž není znám žádný důkaz, že by konstanta byla iracionální.

První důkaz o univerzálnost Feigenbaumových konstant provedených Oscar Lanford v roce 1982^[8] (s malou opravou do Jean-Pierre Eckmann a Peter Wittwer z University of Geneva v roce 1987^[9]) byl podporován počítačem. V průběhu let byly pro různé části důkazu objeveny nečíselné metody, které pomáhají Michail Lyubich při výrobě prvního úplného nečíselného důkazu.^[10]

Viz také

Poznámky

^ Feigenbaum, M. J. (1976) „Univerzálnost ve složité diskrétní dynamice“, Výroční zpráva Teoretické divize Los Alamos 1975-1976
^ Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, K.T. Alligood, T.D. Sauer, J.A. Yorke, Springer, 1996, ISBN 978-0-38794-677-1
^ Nelineární obyčejné diferenciální rovnice: Úvod pro vědce a inženýry (4. vydání), D. W. Jordan, P. Smith, Oxford University Press, 2007, ISBN 978-0-19-920825-8.
^ Alligood, str. 503.
^ Alligood, str. 504.
^ ^A ^b Nelineární dynamika a chaos, Steven H. Strogatz, Studies in Nonlinearity, Perseus Books Publishing, 1994, ISBN 978-0-7382-0453-6
^ Briggs, Keith (1997). Škálování Feigenbaum v diskrétních dynamických systémech (PDF) (Disertační práce). University of Melbourne.
^ Lanford III, Oscar (1982). „Počítačem podporovaný důkaz domněnek Feigenbaum“. Býk. Amer. Matematika. Soc. 6 (3): 427–434. doi:10.1090 / S0273-0979-1982-15008-X.
^ Eckmann, J. P .; Wittwer, P. (1987). „Úplný důkaz domněnek Feigenbaum“. Žurnál statistické fyziky. 46 (3–4): 455. Bibcode:1987JSP .... 46..455E. doi:10.1007 / BF01013368. S2CID 121353606.
^ Lyubich, Michail (1999). „Feigenbaum-Coullet-Tresserova univerzalita a Milnorova domněnka o chlupatosti“. Annals of Mathematics. 149 (2): 319–420. arXiv:matematika / 9903201. Bibcode:1999math ...... 3201L. doi:10.2307/120968. JSTOR 120968. S2CID 119594350.

Reference

Alligood, Kathleen T., Tim D. Sauer, James A. Yorke, Chaos: Úvod do dynamických systémů, učebnice matematických věd Springer, 1996, ISBN 978-0-38794-677-1
Briggs, Keith (červenec 1991). "Přesný výpočet Feigenbaumových konstant" (PDF). Matematika výpočtu. 57 (195): 435–439. Bibcode:1991MaCom..57..435B. doi:10.1090 / S0025-5718-1991-1079009-6.
Briggs, Keith (1997). Škálování Feigenbaum v diskrétních dynamických systémech (PDF) (Disertační práce). University of Melbourne.
Broadhurst, David (22. března 1999). „Feigenbaumovy konstanty na 1018 desetinných míst“.