Klasifikace složek Fatou - Classification of Fatou components - Wikipedia

v matematika, Fatou komponenty jsou komponenty z Fatou set. Byly pojmenovány po Pierre Fatou.

Racionální případ

Pokud f je a racionální funkce

${ displaystyle f = { frac {P (z)} {Q (z)}}}$

definované v rozšířená komplexní rovina, a pokud se jedná o nelineární funkci (stupeň> 1)

${ Displaystyle d (f) = max ( deg (P), , deg (Q)) geq 2,}$

pak periodicky součástka ${ displaystyle U}$ z Fatou set, přesně jedno z následujících pozic:

1. ${ displaystyle U}$ obsahuje přitahování periodického bodu
2. ${ displaystyle U}$ je parabolický^[1]
3. ${ displaystyle U}$ je Disk Siegel: jednoduše připojená komponenta Fatou, na které F(z) je analyticky konjugován na euklidovskou rotaci disku jednotky na sebe pomocí iracionálního úhlu rotace.
4. ${ displaystyle U}$ je Hermanův prsten: dvojitě připojená komponenta Fatou (an prstenec ) na kterých F(z) je analyticky konjugován na euklidovskou rotaci kulatého prstence, opět o iracionální úhel rotace.

• 

  Sada Julia (bílá) a sada Fatou (tmavě červená / zelená / modrá) pro ${ displaystyle f: z mapsto z - { frac {g} {g '}} (z)}$ s ${ displaystyle g: z mapsto z ^ {3} -1}$ v komplexní rovině.

• 

  Julia má superatraktivní cykly (hyperbolické) v interiéru i exteriéru

• 

  Vyrovnejte křivky a paprsky v superatraktivním případě

• 

  Julia s parabolickým cyklem

• 

  Sada Julia s diskem Siegel (eliptické pouzdro)

• 

  Julia set s Hermanovým prstenem

Přilákání periodického bodu

Součásti mapy ${ displaystyle f (z) = z- (z ^ {3} -1) / 3z ^ {2}}$ obsahují přitažlivé body, které jsou řešením ${ displaystyle z ^ {3} = 1}$. Důvodem je, že mapa je ta, která se použije pro hledání řešení rovnice ${ displaystyle z ^ {3} = 1}$ podle Newton-Raphson vzorec. Řešení musí přirozeně přitahovat pevné body.

Hermanův prsten

Mapa

${ displaystyle f (z) = e ^ {2 pi it} z ^ {2} (z-4) / (1-4z)}$

at = 0,6151732 ... vytvoří Hermanův prsten.^[2] Ukazuje to Shishikura že stupeň takové mapy musí být alespoň 3, jako v tomto příkladu.

Více než jeden typ součásti

Pokud je stupeň d větší než 2, pak existuje více než jeden kritický bod a může to být více než jeden typ složky

• 

  Herman + Parabolic

• 

  Období 3 a 105

• 

  přitahující a parabolický

• 

  období 1 a období 1

Transcendentální případ

Bakerova doména

V případě transcendentální funkce existuje další typ periodických komponent Fatou, tzv Bakerova doména: tyto jsou "domén na kterém iterace mají tendenci k zásadní singularita (není možné pro polynomy a racionální funkce) "^[3][4] Příklad funkce:^[5]

${ displaystyle f (z) = z-1 + (1-2z) e ^ {z}}$

Putující doména

Transcendentální mapy mohou mít putující domény: toto jsou komponenty Fatou, které nejsou periodické.

Viz také

• Žádná věta o putující doméně
• Montelova věta
• John Domény^[6]

Reference

• Lennart Carleson a Theodore W. Gamelin, Složitá dynamika, Springer 1993.
• Alan F. Beardon Iterace racionálních funkcíSpringer 1991.