Polynomiální lemniscate - Polynomial lemniscate

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Prosinec 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

${displaystyle | z ^ {6} + z ^ {5} + z ^ {4} + z ^ {3} +}$ ${displaystyle z ^ {2} + z + 1 | = 1}$

V matematice, a polynomiální lemniscate nebo křivka úrovně polynomu je rovinová algebraická křivka stupně 2n, sestrojené z polynomu p se složitými koeficienty stupně n.

Pro každý takový polynom p a kladné reálné číslo C, můžeme definovat množinu komplexních čísel ${displaystyle | p (z) | = c.}$ Tato sada čísel může být přirovnávána k bodům ve skutečné karteziánské rovině, což vede k algebraické křivce ƒ(X, y) = C² stupně 2n, který je výsledkem expanze ${displaystyle p (z) {ar ​​{p}} ({ar {z}})}$ ve smyslu z = X + iy.

Když p je polynom stupně 1, pak výsledná křivka je jednoduše kruh, jehož střed je nula p. Když p je polynom stupně 2, pak je křivka a Cassini ovál.

Erdős lemniscate

Erdős lemniscate stupně deset a rodu šest

Domněnka o Erdős která vzbudila značný zájem, se týká maximální délky polynomiálního lemniscate ƒ(X, y) = 1 stupně 2n když p je monic, o kterém se Erdős domníval, bylo dosaženo, když p(z) = zⁿ - 1.To stále není prokázáno, ale Fryntov a Nazarov dokázal to p dává alocal maximum.^[1] V případě, kdy n = 2, Erdőův lemniscate je Lemniscate z Bernoulli

${displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = 2 (x ^ {2} -y ^ {2}),}$

a bylo prokázáno, že se skutečně jedná o maximální délku ve stupni čtyři. Erdőův lemniscate má tři obyčejné n-skládací body, z nichž jeden je na počátku, a a rod z (n − 1)(n - 2) / 2. Podle převrácení Erdőův lemniscate v jednotkovém kruhu, získá se nesonsulární křivka stupněn.

Obecný polynomiální lemniscate

Obecně se polynomiální lemniscate nedotkne počátku a bude mít pouze dva obyčejné n-násobné singularity, a tedy rod (n − 1)². Jako skutečná křivka může mít řadu odpojených komponent. Proto to nebude vypadat jako lemniscate, čímž se jméno stalo nesprávným pojmenováním.

Mandelbrotova křivka M₂ stupně osm a rodu devět

Zajímavým příkladem takových polynomiálních lemniscatů jsou Mandelbrotovy křivky p₀ = z, a p_n = p_n−1² + z, pak odpovídající polynomiální lemniskáty M_n definováno |p_n(z) | = 2 konvergují k hranici Mandelbrotova sada Křivky Mandelbrot jsou stupně 2^{n + 1}.^[2]

Poznámky

Reference

• Alexandre Eremenko a Walter Hayman, Na délku lemniscates, Michigan Math. J., (1999), 46, Ne. 2, 409–415 [1]
• O. S. Kusnetzova a V. G. Tkachev, Délkové funkce lemniscatů, Manuscripta Math., (2003), 112, 519–538 [2]