kardioidní generovaný válcovacím kruhem na kruhu se stejným poloměrem
A kardioidní (z řecký καρδία "srdce") je a rovinná křivka sledován bodem na obvodu kruhu, který se valí kolem pevné kružnice se stejným poloměrem. Lze jej také definovat jako epicykloid mít singl hrot . Je to také typ sinusová spirála a inverzní křivka z parabola s ohniskem jako středem inverze.[1]
Název vytvořil de Castillon v roce 1741[2] ale byl předmětem studia už desítky let předem.[3] Pojmenován pro svou podobu ve tvaru srdce, je tvarován spíše jako obrys průřezu kola jablko bez stopky.
A kardioidní mikrofon vystavuje a akustický snímací vzor, který při grafu ve dvou rozměrech připomíná kardioidní (jakákoli 2D rovina obsahující 3d přímku těla mikrofonu). Ve třech rozměrech má kardioid tvar jablka soustředěného kolem mikrofonu, který je „stopkou“ jablka.
Rovnice Generování kardioidů a použitý souřadnicový systém
Nechat A { displaystyle a} být společný poloměr dvou generujících kruhů se středy ( − A , 0 ) , ( A , 0 ) { displaystyle (-a, 0), (a, 0)} , φ { displaystyle varphi} úhel odvalování a počátek počátečního bodu (viz obrázek). Jeden dostane
X ( φ ) = 2 A ( 1 − cos φ ) ⋅ cos φ , { displaystyle x ( varphi) = 2a (1- cos varphi) cdot cos varphi ,} y ( φ ) = 2 A ( 1 − cos φ ) ⋅ hřích φ , 0 ≤ φ < 2 π { Displaystyle y ( varphi) = 2a (1- cos varphi) cdot sin varphi , qquad 0 leq varphi <2 pi} a z toho zastoupení v
r ( φ ) = 2 A ( 1 − cos φ ) { displaystyle r ( varphi) = 2a (1- cos varphi)} .Představujeme substituce cos φ = X / r { displaystyle cos varphi = x / r} a r = X 2 + y 2 { displaystyle r = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} jeden dostane po odstranění druhé odmocniny implicitní reprezentaci
( X 2 + y 2 ) 2 + 4 A X ( X 2 + y 2 ) − 4 A 2 y 2 = 0 { displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} + 4ax (x ^ {2} + y ^ {2}) - 4a ^ {2} y ^ {2} , = , 0} .Důkaz parametrické reprezentace Důkaz lze prokázat pomocí komplexních čísel a jejich společného popisu jako složité letadlo . Válečný pohyb černého kruhu na modrém lze rozdělit na dvě rotace. V komplexní rovině rotace kolem bodu 0 { displaystyle 0} (počátek) o úhel φ { displaystyle varphi} lze provést vynásobením bodu z { displaystyle z} (komplexní číslo) o E i φ { displaystyle e ^ {i varphi}} . Proto
otáčení Φ + { displaystyle Phi _ {+}} kolem bodu A { displaystyle a} je : z ↦ A + ( z − A ) E i φ { displaystyle: quad z mapsto quad a + (z-a) e ^ {i varphi}} , otáčení Φ − { displaystyle Phi _ {-}} kolem bodu − A { displaystyle -a} je: z ↦ − A + ( z + A ) E i φ { displaystyle z mapsto -a + (z + a) e ^ {i varphi}} . Bod str ( φ ) { displaystyle p ( varphi)} kardioidů se generuje otáčením počátku kolem bodu A { displaystyle a} a následné otáčení kolem − A { displaystyle -a} o stejný úhel φ { displaystyle varphi} :
str ( φ ) = Φ − ( Φ + ( 0 ) ) = Φ − ( A − A E i φ ) = − A + ( A − A E i φ + A ) E i φ = A ( − E i 2 φ + 2 E i φ − 1 ) { displaystyle p ( varphi) = Phi _ {-} ( Phi _ {+} (0)) = Phi _ {-} (a-ae ^ {i varphi}) = - a + (a- ae ^ {i varphi} + a) e ^ {i varphi} = a ; (- e ^ {i2 varphi} + 2e ^ {i varphi} -1)} .Odtud jeden získá parametrické vyjádření výše:
X ( φ ) = A ( − cos ( 2 φ ) + 2 cos φ − 1 ) = 2 A ( 1 − cos φ ) ⋅ cos φ y ( φ ) = A ( − hřích ( 2 φ ) + 2 hřích φ ) = 2 A ( 1 − cos φ ) ⋅ hřích φ . { displaystyle { begin {pole} {cclcccc} x ( varphi) & = & a ; (- cos (2 varphi) +2 cos varphi -1) & = & 2a (1- cos varphi ) cdot cos varphi && y ( varphi) & = & a ; (- sin (2 varphi) +2 sin varphi) & = & 2a (1- cos varphi) cdot sin varphi &. & end {pole}}} (Následující vzorce E i φ = cos φ + i hřích φ , ( cos φ ) 2 + ( hřích φ ) 2 = 1 , cos 2 φ = ( cos φ ) 2 − ( hřích φ ) 2 , hřích 2 φ = 2 hřích φ cos φ { Displaystyle e ^ {i varphi} = cos varphi + i sin varphi, ( cos varphi) ^ {2} + ( sin varphi) ^ {2} = 1, cos 2 varphi = ( cos varphi) ^ {2} - ( sin varphi) ^ {2}, ; sin 2 varphi = 2 sin varphi cos varphi} byly použity. Vidět trigonometrické funkce .)
Metrické vlastnosti Pro kardioidy definované výše platí následující vzorce:
plocha A = 6 π A 2 { displaystyle A = 6 pi a ^ {2}} ,délka oblouku L = 16 A { displaystyle L = 16a} apoloměr zakřivení ρ ( φ ) = 8 3 A hřích φ 2 . { displaystyle rho ( varphi) = { tfrac {8} {3}} a sin { tfrac { varphi} {2}} .} Důkazy tohoto tvrzení používají v obou případech polární zastoupení kardioidu. Vhodné vzorce viz polární souřadnicový systém (délka oblouku) a polární souřadnicový systém (oblast)
důkaz vzorce plochy A = 2 ⋅ 1 2 ∫ 0 π ( r ( φ ) ) 2 d φ = ∫ 0 π 4 A 2 ( 1 − cos φ ) 2 d φ = ⋯ = 4 A 2 ⋅ 3 2 π = 6 π A 2 { displaystyle A = 2 cdot { tfrac {1} {2}} int _ {0} ^ { pi} {(r ( varphi)) ^ {2}} ; d varphi = int _ {0} ^ { pi} {4a ^ {2} (1- cos varphi) ^ {2}} ; d varphi = cdots = 4a ^ {2} cdot { tfrac {3} {2}} pi = 6 pi a ^ {2}} .důkaz vzorce délky oblouku L = 2 ∫ 0 π r ( φ ) 2 + ( r ′ ( φ ) ) 2 d φ = ⋯ = 8 A ∫ 0 π 1 2 ( 1 − cos φ ) d φ = 8 A ∫ 0 π hřích ( φ 2 ) d φ = 16 A { displaystyle L = 2 int _ {0} ^ { pi} { sqrt {r ( varphi) ^ {2} + (r '( varphi)) ^ {2}}} ; d varphi = cdots = 8a int _ {0} ^ { pi} { sqrt {{ tfrac {1} {2}} (1- cos varphi)}} ; d varphi = 8a int _ {0} ^ { pi} sin ({ tfrac { varphi} {2}}) d varphi = 16a} .důkaz poloměru zakřivení Poloměr zakřivení ρ { displaystyle rho} křivky v polárních souřadnicích s rovnicí r = r ( φ ) { displaystyle r = r ( varphi)} je (s. zakřivení )
ρ ( φ ) = [ r ( φ ) 2 + r ˙ ( φ ) 2 ] 3 / 2 r ( φ ) 2 + 2 r ˙ ( φ ) 2 − r ( φ ) r ¨ ( φ ) . { displaystyle rho ( varphi) = { frac { doleva [r ( varphi) ^ {2} + { dot {r}} ( varphi) ^ {2} doprava] ^ {3/2 }} {r ( varphi) ^ {2} +2 { dot {r}} ( varphi) ^ {2} -r ( varphi) { ddot {r}} ( varphi)}} . } Pro kardioidy r ( φ ) = 2 A ( 1 − cos φ ) = 4 A hřích 2 φ 2 { displaystyle r ( varphi) = 2a (1- cos varphi) = 4a sin ^ {2} { tfrac { varphi} {2}}} jeden dostane
ρ ( φ ) = ⋯ = [ 16 A 2 hřích 2 φ 2 ] 3 2 24 A 2 hřích 2 φ 2 = 8 3 A hřích φ 2 . { displaystyle rho ( varphi) = cdots = { frac {[16a ^ {2} sin ^ {2} { frac { varphi} {2}}] ^ { frac {3} {2 }}} {24a ^ {2} sin ^ {2} { frac { varphi} {2}}}} = { frac {8} {3}} a sin { frac { varphi} { 2}} .} Vlastnosti Akordy kardioidní
Akordy přes hrot C1: akordy skrz hrot kardioidů mají stejnou délku 4 A { displaystyle 4a} .C2: The střední body z akordy přes hrot leží na obvodu pevné kružnice generátoru (viz obrázek).důkaz pro C1 Body P : str ( φ ) , Q : str ( φ + π ) { displaystyle P: p ( varphi), ; Q: p ( varphi + pi)} jsou na akord přes vrchol (= původ). Proto
| P Q | = r ( φ ) + r ( φ + π ) { displaystyle | PQ | = r ( varphi) + r ( varphi + pi)} = 2 A ( 1 − cos φ ) + 2 A ( 1 − cos ( φ + π ) ) = ⋯ = 4 A { displaystyle = 2a (1- cos varphi) + 2a (1- cos ( varphi + pi)) = cdots = 4a} .důkaz pro C2 Pro důkaz se používá reprezentace v komplexní rovině (viz výše). Za body
P : str ( φ ) = A ( − E i 2 φ + 2 E i φ − 1 ) { Displaystyle P: p ( varphi) = a ; (- e ^ {i2 varphi} + 2e ^ {i varphi} -1)} Q : str ( φ + π ) = A ( − E i 2 ( φ + π ) + 2 E i ( φ + π ) − 1 ) = A ( − E i 2 φ − 2 E i φ − 1 ) { displaystyle Q: p ( varphi + pi) = a ; (- e ^ {i2 ( varphi + pi)} + 2e ^ {i ( varphi + pi)} - 1) = a ; (- e ^ {i2 varphi} -2e ^ {i varphi} -1)} ,střed akordu P Q { displaystyle PQ} je
M : 1 2 ( str ( φ ) + str ( φ + π ) ) = ⋯ = − A − A E i 2 φ { displaystyle M: { tfrac {1} {2}} (p ( varphi) + p ( varphi + pi)) = cdots = -a-ae ^ {i2 varphi}} který leží na obvodu kruhu se středem − A { displaystyle -a} a poloměr A { displaystyle a} (viz obrázek).
Kardioidní jako inverzní křivka paraboly kardioidní generovaný inverzí paraboly přes kruh jednotky (čárkovaný)
Kardioid je inverzní křivka paraboly se zaměřením na střed inverze (viz graf) V příkladu zobrazeném v grafu mají kruhy generátoru poloměr A = 1 2 { displaystyle a = { tfrac {1} {2}}} . Kardioid má tedy polární zastoupení
r ( φ ) = 1 − cos φ { displaystyle r ( varphi) = 1- cos varphi} a jeho inverzní křivka
r ( φ ) = 1 1 − cos φ { displaystyle r ( varphi) = { frac {1} {1- cos varphi}}} ,což je parabola (s. parabola v polárních souřadnicích ) s rovnicí X = 1 2 ( y 2 − 1 ) { displaystyle x = { tfrac {1} {2}} (y ^ {2} -1)} ve kartézských souřadnicích.
Poznámka: Ne každá inverzní křivka paraboly je kardioidní. Například pokud je parabola obrácena přes kruh, jehož střed leží na vrchol paraboly, pak je výsledek a cissoid Diocles .
Kardioidní jako obálka tužky kruhů kardioidní jako obálka tužky kruhů
Pokud v předchozí části převrátíme navíc tečny paraboly, dostaneme středem inverze (počátek) tužku kruhů. Podrobná úvaha ukazuje: Středové body kruhů leží na obvodu pevné kružnice generátoru. (Kružnice generátoru je inverzní křivka parabolasovy přímky.)
Tato vlastnost dává vzniknout následující jednoduché metodě kreslit kardioidní:
1) Vyberte kruh C { displaystyle c} a bod Ó { displaystyle O} na jeho obvodu, 2) nakreslete kruhy obsahující Ó { displaystyle O} s centry na C { displaystyle c} , a 3) nakreslete obálku těchto kruhů. důkaz s podmínkou obálky Obálka tužky implicitně daných křivek
F ( X , y , t ) = 0 { displaystyle F (x, y, t) = 0} s parametrem t { displaystyle t} se skládá z takových bodů ( X , y ) { displaystyle (x, y)} což jsou řešení nelineárního systému
F ( X , y , t ) = 0 , F t ( X , y , t ) = 0 { displaystyle F (x, y, t) = 0, quad F_ {t} (x, y, t) = 0 ;} (stav obálky ).( F t { displaystyle F_ {t}} znamená parciální derivace pro parametr t { displaystyle t} .
Nechat C { displaystyle c} být kruh se středem ( − 1 , 0 ) { displaystyle (-1,0)} a poloměr 1 { displaystyle 1} . Pak C { displaystyle c} má parametrické vyjádření ( − 1 + cos t , hřích t ) { displaystyle (-1+ cos t, sin t)} . Tužka kruhů se středy na C { displaystyle c} obsahující bod Ó = ( 0 , 0 ) { displaystyle O = (0,0)} mohou být implicitně reprezentovány
F ( X , y , t ) = ( X + 1 − cos t ) 2 + ( y − hřích t ) 2 − ( 2 − 2 cos t ) = 0 { displaystyle F (x, y, t) = (x + 1- cos t) ^ {2} + (y- sin t) ^ {2} - (2-2 cos t) = 0} ,což odpovídá
F ( X , y , t ) = X 2 + y 2 + 2 X ( 1 − cos t ) − 2 y hřích t = 0 . { displaystyle F (x, y, t) = x ^ {2} + y ^ {2} + 2x ; (1- cos t) -2y ; sin t = 0 ;.} Podmínka druhé obálky je
F t ( X , y , t ) = 2 X hřích t − 2 y cos t = 0 { displaystyle F_ {t} (x, y, t) = 2x ; sin t-2y ; cos t = 0} .Jeden snadno ověří, že body kardioidu s parametrickým vyjádřením
X ( t ) = 2 ( 1 − cos t ) cos t , y ( t ) = 2 ( 1 − cos t ) hřích t { Displaystyle x (t) = 2 (1- cos t) cos t, quad y (t) = 2 (1- cos t) sin t} splnit výše uvedený nelineární systém. Parametr t { displaystyle t} je shodný s parametrem úhlu kardioidu.
Kardioidní jako obálka tužky čar Kardioidní jako obálka tužky čar
Podobná a jednoduchá metoda pro kreslení kardioidů používá tužku řádky . Je to kvůli L. Cremona :
Nakreslete kruh a rozdělte jeho obvod na stejně vzdálené části pomocí 2 N { displaystyle 2N} body (s. obrázek) a očíslovat je postupně. Nakreslete akordy: ( 1 , 2 ) , ( 2 , 4 ) , . . . . , ( n , 2 n ) , . . . . , ( N , 2 N ) , ( N + 1 , 2 ) , ( N + 2 , 4 ) , . . . . , { displaystyle (1,2), (2,4), ...., (n, 2n), ...., (N, 2N), (N + 1,2), (N + 2, 4), ....,} . (tj .: Druhý bod se pohybuje dvojnásobnou rychlostí.) The obálka těchto akordů je kardioidní. Cremonova generace kardioidů
důkaz Následující úvaha používá trigonometrické vzorce pro cos α + cos β , hřích α + hřích β , 1 + cos 2 α , cos 2 α , hřích 2 α { Displaystyle cos alpha + cos beta, sin alpha + sin beta, 1+ cos 2 alpha, cos 2 alfa, sin 2 alfa} Abychom výpočty zjednodušili, poskytuje se důkaz pro kardioidy s polárním vyjádřením r = 2 ( 1 + cos φ ) { displaystyle r = 2 (1 { color {red} +} cos varphi)} (viz část Kardioidy v různých polohách ).
rovnice tečny z kardioidní s polárním vyjádřením r = 2 ( 1 + cos φ ) { displaystyle r = 2 (1+ cos varphi)} :
Z parametrické reprezentace X ( φ ) = 2 ( 1 + cos φ ) cos φ , { displaystyle x ( varphi) = 2 (1+ cos varphi) cos varphi,} y ( φ ) = 2 ( 1 + cos φ ) hřích φ { displaystyle y ( varphi) = 2 (1+ cos varphi) sin varphi} jeden dostane normální vektor n → = ( y ˙ , − X ˙ ) T { displaystyle { vec {n}} = ({ dot {y}}, - { dot {x}}) ^ {T}} . Rovnice tečny y ˙ ( φ ) ⋅ ( X − X ( φ ) ) − X ˙ ( φ ) ⋅ ( y − y ( φ ) ) = 0 { displaystyle { dot {y}} ( varphi) cdot (x-x ( varphi)) - { dot {x}} ( varphi) cdot (y-y ( varphi)) = 0} je:
( cos 2 φ + cos φ ) ⋅ X + ( hřích 2 φ + hřích φ ) ⋅ y = 2 ( 1 + cos φ ) 2 . { displaystyle ( cos 2 varphi + cos varphi) cdot x + ( sin 2 varphi + sin varphi) cdot y = 2 (1+ cos varphi) ^ {2} .} Pomocí trigonometrických vzorců a následného dělení cos 1 2 φ { displaystyle cos { tfrac {1} {2}} varphi} , rovnici tečny lze přepsat jako:
cos ( 3 2 φ ) ⋅ X + hřích ( 3 2 φ ) ⋅ y = 4 ( cos 1 2 φ ) 3 0 < φ < 2 π , φ ≠ π . { displaystyle cos ({ tfrac {3} {2}} varphi) cdot x + sin ({ tfrac {3} {2}} varphi) cdot y = 4 ( cos { tfrac { 1} {2}} varphi) ^ {3} quad 0 < varphi <2 pi, varphi neq pi.} rovnice akordu z kruh se středem ( 1 , 0 ) { displaystyle (1,0)} a poloměr 3 { displaystyle 3} : Pro rovnici sekanční linie procházející dvěma body ( 1 + 3 cos θ , 3 hřích θ ) , ( 1 + 3 cos 2 θ , 3 hřích 2 θ ) ) { displaystyle (1 + 3 cos theta, 3 sin theta), (1 + 3 cos { color {red} 2} theta, 3 sin { color {red} 2} theta ))} jeden dostane:
( hřích θ − hřích 2 θ ) ⋅ X + ( cos 2 θ − hřích θ ) ⋅ y = − 2 cos θ − hřích 2 θ . { Displaystyle ( sin theta - sin 2 theta) cdot x + ( cos 2 theta - sin theta) cdot y = -2 cos theta - sin 2 theta .} Pomocí trigonometrických vzorců a následného dělení hřích 1 2 θ { displaystyle sin { tfrac {1} {2}} theta} rovnici sečnického řádku lze přepsat:
cos ( 3 2 θ ) ⋅ X + hřích ( 3 2 θ ) ⋅ y = 4 ( cos 1 2 θ ) 3 0 < θ < 2 π . { displaystyle cos ({ tfrac {3} {2}} theta) cdot x + sin ({ tfrac {3} {2}} theta) cdot y = 4 ( cos { tfrac { 1} {2}} theta) ^ {3} quad 0 < theta <2 pi.} Přes dva úhly φ , θ { displaystyle varphi, theta} mít různé významy (obrázek), za které člověk dostane φ = θ { displaystyle varphi = theta} stejný řádek. Proto je jakákoli sečna přímky kruhu, definovaná výše, také tečna kardioidu:
Kardioidní je obálka akordů kruhu. Poznámka: Důkaz lze provést pomocí podmínky obálky (viz předchozí část) implicitní tužky křivek:
F ( X , y , t ) = cos 3 2 t ⋅ X + hřích 3 2 t ⋅ y − 4 ( cos 1 2 t ) 3 = 0 { displaystyle F (x, y, t) = cos { tfrac {3} {2}} t cdot x + sin { tfrac {3} {2}} t cdot y-4 ( cos { tfrac {1} {2}} t) ^ {3} = 0 } je tužka sečnaných čar kruhu (s. výše) a F t ( X , y , t ) = − 3 2 hřích 3 2 t ⋅ X + 3 2 cos 3 2 t ⋅ y + 3 cos 1 2 t hřích t = 0 . { displaystyle F_ {t} (x, y, t) = - { tfrac {3} {2}} sin { tfrac {3} {2}} t cdot x + { tfrac {3 } {2}} cos { tfrac {3} {2}} t cdot y + 3 cos { tfrac {1} {2}} t sin t = 0 .} U pevného parametru t obě rovnice představují čáry. Jejich průsečík je
X ( t ) = 2 ( 1 + cos t ) cos t , y ( t ) = 2 ( 1 + cos t ) hřích t { Displaystyle x (t) = 2 (1+ cos t) cos t, quad y (t) = 2 (1+ cos t) sin t} ,což je bod kardioidu s polární rovnicí r = 2 ( 1 + cos t ) . { displaystyle r = 2 (1+ cos t).}
Kardioidní jako
žíravý : zdroj světla
Z { displaystyle Z} , světelný paprsek
s → { displaystyle { vec {s}}} , odražený paprsek
r → { displaystyle { vec {r}}} Kardioidní jako žíravina kruhu se zdrojem světla (vpravo) na obvodu
Kardioidní jako žíravina kruhu Úvahy uvedené v předchozí části dokazují skutečnost, že žíravý kruhu se světelným zdrojem na obvodu kruhu je kardioidní.
Pokud je v rovině zdroj světla v bodě Z { displaystyle Z} na obvodu kruhu, který odráží jakýkoli paprsek, jsou odražené paprsky uvnitř kruhu tečnami kardioidu. důkaz Stejně jako v předchozí části může mít kruh střed ( 1 , 0 ) { displaystyle (1,0)} a poloměr 3 { displaystyle 3} . Jeho parametrické vyjádření je
C ( φ ) = ( 1 + 3 cos φ , 3 hřích φ ) . { displaystyle c ( varphi) = (1 + 3 cos varphi, 3 sin varphi) .} Tečna v bodě kruhu C : k ( φ ) { displaystyle C: k ( varphi)} má normální vektor n → t = ( cos φ , hřích φ ) T { displaystyle { vec {n}} _ {t} = ( cos varphi, sin varphi) ^ {T}} . Odražený paprsek má tedy normální vektor n → r = ( cos 3 2 φ , hřích 3 2 φ ) T { displaystyle { vec {n}} _ {r} = ( cos { color {red} { tfrac {3} {2}}} varphi, sin { color {red} { tfrac { 3} {2}}} varphi) ^ {T}} (viz graf) a obsahuje bod C : ( 1 + 3 cos φ , 3 hřích φ ) { displaystyle C: (1 + 3 cos varphi, 3 sin varphi)} . Odražený paprsek je součástí přímky s rovnicí (viz předchozí část)
cos 3 2 φ ⋅ X + hřích 3 2 φ ⋅ y = 4 ( cos 1 2 φ ) 3 , { displaystyle cos { tfrac {3} {2}} varphi cdot x + sin { tfrac {3} {2}} varphi cdot y = 4 ( cos { tfrac {1 } {2}} varphi) ^ {3} ,} což je tečna kardioidu s polární rovnicí
r = 2 ( 1 + cos φ ) { displaystyle r = 2 (1+ cos varphi)} z předchozí části.
Poznámka: Z těchto důvodů jsou obvykle více odrazy v kruhu zanedbávány.
Kardioidní jako pedálová křivka kruhu Kardioidní bod je noha klesla kolmo na tečnu kružnice
Cremona generace kardioidů by neměla být zaměňována s následující generací:
Nech být k { displaystyle k} kruh a Ó { displaystyle O} bod na obvodu této kružnice. Platí následující:
Nohy svislic od bodu Ó { displaystyle O} na tečnách kruhu k { displaystyle k} jsou body kardioidu. Kardioid je tedy zvláštní křivka pedálu kruhu.
důkaz V kruhu kartézského souřadného systému k { displaystyle k} může mít střed ( 2 A , 0 ) { displaystyle (2a, 0)} a poloměr 2 A { displaystyle 2a} . Tečna v bodě kruhu ( 2 A + 2 A cos φ , 2 A hřích φ ) { displaystyle (2a + 2a cos varphi, 2a sin varphi)} má rovnici
( X − 2 A ) ⋅ cos φ + y ⋅ hřích φ = 2 A . { displaystyle (x-2a) cdot cos varphi + y cdot sin varphi = 2a .} Patka kolmice od bodu Ó { displaystyle O} na tečně je bod ( r cos φ , r hřích φ ) { displaystyle (r cos varphi, r sin varphi)} se stále neznámou vzdáleností r { displaystyle r} k původu Ó { displaystyle O} . Vložení bodu do rovnice tečných výnosů
( r cos φ − 2 A ) cos φ + r hřích 2 φ = 2 A → r = 2 A ( 1 + cos φ ) { Displaystyle (r cos varphi -2a) cos varphi + r sin ^ {2} varphi = 2a quad rightarrow quad r = 2a (1+ cos varphi)} což je polární rovnice kardioidu.
Poznámka: Pokud bod Ó { displaystyle O} není na obvodu kruhu k { displaystyle k} , jeden dostane Limaçon Pascal .
Evoluce kardioidů vývoj kardioidů purpurová: jeden bod P, jeho střed zakřivení M a jeho oscilační kružnice
The evoluce křivky je místo středů zakřivení. Podrobněji: Pro křivku X → ( s ) = C → ( s ) { displaystyle { vec {x}} (s) = { vec {c}} (s)} s poloměrem zakřivení ρ ( s ) { Displaystyle rho (y)} evoluce má zastoupení
X → ( s ) = C → ( s ) + ρ ( s ) n → ( s ) . { displaystyle { vec {X}} (s) = { vec {c}} (s) + rho (s) { vec {n}} (s).} s n → ( s ) { displaystyle { vec {n}} (y)} vhodně orientovaná jednotka normální.
Za kardioidní dostane:
The evoluce kardioidu je další kardioid o jednu třetinu větší (viz obrázek). důkaz Pro kardioidy s parametrickým vyjádřením
X ( φ ) = 2 A ( 1 − cos φ ) cos φ = 4 A hřích 2 φ 2 cos φ , { displaystyle x ( varphi) = 2a (1- cos varphi) cos varphi = 4a sin ^ {2} { tfrac { varphi} {2}} cos varphi ,} y ( φ ) = 2 A ( 1 − cos φ ) hřích φ = 4 A hřích 2 φ 2 hřích φ { displaystyle y ( varphi) = 2a (1- cos varphi) sin varphi = 4a sin ^ {2} { tfrac { varphi} {2}} sin varphi} normální jednotka je
n → ( φ ) = ( − hřích 3 2 φ , cos 3 2 φ ) { displaystyle { vec {n}} ( varphi) = (- sin { tfrac {3} {2}} varphi, cos { tfrac {3} {2}} varphi)} a poloměr zakřivení
ρ ( φ ) = 8 3 A hřích φ 2 . { displaystyle rho ( varphi) = { tfrac {8} {3}} a sin { tfrac { varphi} {2}} .} Proto jsou parametrické rovnice evoluce
X ( φ ) = 4 A hřích 2 φ 2 cos φ − 8 3 A hřích φ 2 ⋅ hřích 3 2 φ = ⋯ = 4 3 A cos 2 φ 2 cos φ − 4 3 A , { displaystyle X ( varphi) = 4a sin ^ {2} { tfrac { varphi} {2}} cos varphi - { tfrac {8} {3}} a sin { tfrac { varphi} {2}} cdot sin { tfrac {3} {2}} varphi = cdots = { tfrac {4} {3}} a cos ^ {2} { tfrac { varphi} {2}} cos varphi - { tfrac {4} {3}} a ,} Y ( φ ) = 4 A hřích 2 φ 2 hřích φ + 8 3 A hřích φ 2 ⋅ cos 3 2 φ = ⋯ = 4 3 A cos 2 φ 2 hřích φ . { displaystyle Y ( varphi) = 4a sin ^ {2} { tfrac { varphi} {2}} sin varphi + { tfrac {8} {3}} a sin { tfrac { varphi} {2}} cdot cos { tfrac {3} {2}} varphi = cdots = { tfrac {4} {3}} a cos ^ {2} { tfrac { varphi } {2}} sin varphi .} Tyto rovnice popisují kardioid o třetinu větší, otočený o 180 stupňů a posunutý podél osy x o − 4 3 A { displaystyle - { tfrac {4} {3}} a} .
(Byly použity trigonometrické vzorce: hřích 3 2 φ = hřích φ 2 cos φ + cos φ 2 hřích φ , cos 3 2 φ = ⋯ , hřích φ = 2 hřích φ 2 cos φ 2 , cos φ = ⋯ . { displaystyle sin { tfrac {3} {2}} varphi = sin { tfrac { varphi} {2}} cos varphi + cos { tfrac { varphi} {2}} sin varphi , cos { tfrac {3} {2}} varphi = cdots, sin varphi = 2 sin { tfrac { varphi} {2}} cos { tfrac { varphi} {2}} , cos varphi = cdots .} )
Ortogonální trajektorie ortogonální kardioidy
An ortogonální trajektorie tužky křivek je křivka, která protíná jakoukoli křivku tužky kolmo. U kardioidů platí toto:
Ortogonální trajektorie tužky kardioidů s rovnicemi r = 2 A ( 1 − cos φ ) , A > 0 , { displaystyle r = 2a (1- cos varphi) , ; a> 0 , } jsou kardioidy s rovnicemi r = 2 b ( 1 + cos φ ) , b > 0 . { displaystyle r = 2b (1+ cos varphi) , ; b> 0 .} (Druhá tužka může být považována za odrazy na ose y první. Viz schéma.)
Důkaz: Pro křivku uvedenou v polární souřadnice funkcí r ( φ ) { displaystyle r ( varphi)} následující spojení s kartézskými souřadnicemi platí:
X ( φ ) = r ( φ ) cos φ , { displaystyle x ( varphi) = r ( varphi) cos varphi , qquad} y ( φ ) = r ( φ ) hřích φ { displaystyle y ( varphi) = r ( varphi) sin varphi qquad} a pro deriváty
d X d φ = r ′ ( φ ) cos φ − r ( φ ) hřích φ , { displaystyle { frac {dx} {d varphi}} = r '( varphi) cos varphi -r ( varphi) sin varphi , qquad} d y d φ = r ′ ( φ ) hřích φ + r ( φ ) cos φ . { displaystyle { frac {dy} {d varphi}} = r '( varphi) sin varphi + r ( varphi) cos varphi .} Vydělením druhé rovnice první získáme karteziánský sklon tečny ke křivce v bodě ( r ( φ ) , φ ) { displaystyle (r ( varphi), varphi)} :
d y d X = r ′ ( φ ) hřích φ + r ( φ ) cos φ r ′ ( φ ) cos φ − r ( φ ) hřích φ . { displaystyle { frac {dy} {dx}} = { frac {r '( varphi) sin varphi + r ( varphi) cos varphi} {r' ( varphi) cos varphi -r ( varphi) sin varphi}}.} Pro kardioidy s rovnicemi r = 2 A ( 1 − cos φ ) { displaystyle r = 2a (1- cos varphi) ;} a r = 2 b ( 1 + cos φ ) { displaystyle r = 2b (1+ cos varphi) } respektive jeden dostane:
d y A d X = cos φ − cos 2 φ hřích 2 φ − hřích φ { displaystyle { frac {dy_ {a}} {dx}} = { frac { cos varphi - cos 2 varphi} { sin 2 varphi - sin varphi}} quad} a d y b d X = − cos φ + cos 2 φ hřích 2 φ + hřích φ . { displaystyle quad { frac {dy_ {b}} {dx}} = - { frac { cos varphi + cos 2 varphi} { sin 2 varphi + sin varphi}} . } (Sklon libovolné křivky závisí na φ { displaystyle varphi} pouze, a ne z parametrů A , b { displaystyle a, b} !) Proto
d y A d X ⋅ d y b d X = ⋯ = − cos 2 φ − cos 2 2 φ hřích 2 2 φ − hřích 2 φ = − − 1 + cos 2 φ + 1 − cos 2 2 φ hřích 2 2 φ − hřích 2 φ = − 1 . { displaystyle { frac {dy_ {a}} {dx}} cdot { frac {dy_ {b}} {dx}} = cdots = - { frac { cos ^ {2} varphi - cos ^ {2} 2 varphi} { sin ^ {2} 2 varphi - sin ^ {2} varphi}} = - { frac {-1+ cos ^ {2} varphi + 1- cos ^ {2} 2 varphi} { sin ^ {2} 2 varphi - sin ^ {2} varphi}} = - 1 .} To znamená: Jakákoli křivka první tužky protíná jakoukoli křivku druhé tužky ortogonálně.
4 kardioidy v polárním vyjádření a jejich poloha v souřadnicovém systému
V různých pozicích Volba dalších poloh kardioidů v souřadnicovém systému vede k různým rovnicím. Obrázek ukazuje 4 nejběžnější polohy kardioidu a jejich polární rovnice.
Ve složité analýze v komplexní analýza , obraz libovolného kruhu přes počátek pod mapou z → z 2 { displaystyle z až z ^ {2}} je kardioidní. Jednou z aplikací tohoto výsledku je, že hranice centrální složky období 1 v Mandelbrotova sada je kardioidní daný rovnice
C = 1 − ( E i t − 1 ) 2 4 . { displaystyle c , = , { frac {1- vlevo (e ^ {it} -1 vpravo) ^ {2}} {4}}. ,} Sada Mandelbrot obsahuje nekonečné množství mírně zkreslených kopií sebe sama a centrální žárovka kterékoli z těchto menších kopií je přibližná kardioidní.
The
žíravý objevující se na povrchu tohoto šálku kávy je kardioidní.
Kaustika Určitý žíravost může mít tvar kardioidů. Katakakustika kruhu vzhledem k bodu na obvodu je kardioidní. Také katakustika kužele s ohledem na paprsky rovnoběžné s generující linií je povrch, jehož průřez je kardioidní. To lze vidět, jako na fotografii vpravo, v kónické nádobce částečně naplněné kapalinou, když světlo svítí z dálky a pod úhlem rovným úhlu kužele.[4] Tvar křivky ve spodní části válcového pohárku je polovina a nefroidní , který vypadá docela podobně.
Generování kardioidu jako pedálové křivky kruhu
Viz také Poznámky Reference externí odkazy "Kardioidní" , Encyclopedia of Mathematics , Stiskněte EMS , 2001 [1994]O'Connor, John J. ; Robertson, Edmund F. , "Kardioidní" , MacTutor Historie archivu matematiky , University of St Andrews .Vydatné žvýkání na kardioidech na cut-the-uzel Weisstein, Eric W. "Kardioidní" . MathWorld .Weisstein, Eric W. „Epicycloid - 1-Cusped“ . MathWorld .Weisstein, Eric W. "Heart Curve" . MathWorld .Xah Lee, Kardioidní (1998) (Tento web poskytuje řadu alternativních konstrukcí) . Jan Wassenaar, Kardioidní , (2005)