Periodické body komplexních kvadratických zobrazení - Periodic points of complex quadratic mappings - Wikipedia

Tento článek popisuje periodické body některých složité kvadratické mapy. A mapa je vzorec pro výpočet hodnoty proměnné na základě její vlastní předchozí hodnoty nebo hodnot; A kvadratický mapa je ta, která zahrnuje předchozí hodnotu zvýšenou na mocniny jedna a dvě; a a komplex mapa je ta, ve které jsou proměnná a parametry komplexní čísla. A periodický bod mapy je hodnota proměnné, která se vyskytuje opakovaně po intervalech pevné délky.

Tyto periodické body hrají roli v teoriích Fatou a Julia zapadá.

Definice

Nechat

${ displaystyle f_ {c} (z) = z ^ {2} + c ,}$

být komplexní kvadrické mapování, kde ${ displaystyle z}$ a ${ displaystyle c}$ jsou komplexní.

Notačně ${ displaystyle f_ {c} ^ {(k)} (z)}$ je ${ displaystyle k}$ -složit složení z ${ displaystyle f_ {c} ,}$ sama se sebou - tedy hodnota po k-th iterace funkce ${ displaystyle f_ {c}. ,}$ Tím pádem

${ displaystyle f_ {c} ^ {(k)} (z) = f_ {c} (f_ {c} ^ {(k-1)} (z)).}$

Periodické body komplexního kvadratického mapování doba${ displaystyle p}$ jsou body${ displaystyle z}$ z dynamická rovina takhle

${ displaystyle f_ {c} ^ {(p)} (z) = z,}$

kde${ displaystyle p}$ je nejmenší kladné celé číslo, pro které rovnice platí z.

Můžeme zavést novou funkci:

${ displaystyle F_ {p} (z, f) = f_ {c} ^ {(p)} (z) -z,}$

takže periodické body jsou nuly funkce ${ displaystyle F_ {p} (z, f)}$: body z uspokojující

${ displaystyle F_ {p} (z, f) = 0,}$

což je polynom z stupeň ${ displaystyle 2 ^ {p}.}$

Počet periodických bodů

Stupeň polynomu ${ displaystyle F_ {p} (z, f)}$ popisující periodické body je ${ displaystyle d = 2 ^ {p}}$ tak má to přesně ${ displaystyle d = 2 ^ {p}}$ komplexní kořeny (= periodické body), počítáno s multiplicita,

Stabilita periodických bodů (oběžné dráhy) - multiplikátor

Index stability periodických bodů podél vodorovné osy

hranice oblastí parametrické roviny s přitažlivou oběžnou dráhou období 1-6

Kritická dráha diskrétního dynamického systému založená na komplexní kvadratický polynom. Má tendenci slabě přitahovat pevný bod s abs (multiplikátor) = 0,99993612384259

The násobitel (nebo vlastní číslo, derivát) ${ displaystyle m (f ^ {p}, z_ {0}) = lambda ,}$ racionální mapy ${ displaystyle f ,}$ iterováno ${ displaystyle p}$ krát v cyklickém bodě ${ displaystyle z_ {0} ,}$je definován jako:

${ displaystyle m (f ^ {p}, z_ {0}) = lambda = { begin {cases} f ^ {p prime} (z_ {0}), & { mbox {if}} z_ { 0} neq infty { frac {1} {f ^ {p prime} (z_ {0})}}, a { mbox {if}} z_ {0} = infty end {případy }}}$

kde ${ displaystyle f ^ {p prime} (z_ {0})}$ je první derivace z${ displaystyle f ^ {p}}$ s ohledem na ${ displaystyle z ,}$ na ${ displaystyle z_ {0}}$.

Protože multiplikátor je stejný ve všech periodických bodech na dané oběžné dráze, nazývá se multiplikátor periodické obíhat.

Multiplikátor je:

• A komplexní číslo;
• invariantní pod konjugací jakékoli racionální mapy v jejím pevném bodě;^[1]
• slouží ke kontrole stability periodických (také pevných) bodů pomocí index stability ${ displaystyle abs ( lambda). ,}$

Periodický bod je^[2]

• přilákat, když ${ displaystyle abs ( lambda) <1; ,}$
  • super přitahující, když ${ displaystyle abs ( lambda) = 0; ,}$
  • přitahovat, ale ne přitahovat, když ${ displaystyle 0$
• lhostejný, když ${ displaystyle abs ( lambda) = 1; ,}$
  • racionálně lhostejný nebo parabolický, pokud ${ displaystyle lambda ,}$ je kořen jednoty;
  • iracionálně lhostejný -li ${ displaystyle abs ( lambda) = 1 ,}$ ale multiplikátor není kořenem jednoty;
• odpuzující, když ${ displaystyle abs ( lambda)> 1. ,}$

Periodické body

• které přitahují, jsou vždy v Fatou set;
• odpuzující jsou v sadě Julia;
• které jsou lhostejnými pevnými body, mohou být v jednom nebo druhém.^[3] Parabolický periodický bod je v sadě Julia.

Období-1 body (pevné body)

Konečné pevné body

Začněme hledáním všech konečný body ponechány beze změny jednou aplikací ${ displaystyle f}$. To jsou body, které uspokojují ${ displaystyle f_ {c} (z) = z}$. To znamená, že bychom chtěli vyřešit

${ displaystyle z ^ {2} + c = z, ,}$

které lze přepsat jako

${ displaystyle z ^ {2} -z + c = 0.}$

Jelikož se jedná o běžnou kvadratickou rovnici v jedné neznámé, můžeme použít standardní vzorec kvadratického řešení:

${ displaystyle alpha _ {1} = { frac {1 - { sqrt {1-4c}}} {2}}}$ a ${ displaystyle alpha _ {2} = { frac {1 + { sqrt {1-4c}}} {2}}.}$

Tak pro ${ displaystyle c in { mathbb {C}} setminus {1/4 }}$ máme dva konečný pevné body ${ displaystyle alpha _ {1} ,}$ a ${ displaystyle alpha _ {2} ,}$.

Od té doby

${ displaystyle alpha _ {1} = { frac {1} {2}} - m}$ a ${ displaystyle alpha _ {2} = { frac {1} {2}} + m}$ kde ${ displaystyle m = { frac { sqrt {1-4c}} {2}}}$

pak ${ displaystyle alpha _ {1} + alpha _ {2} = 1}$.

Pevné body jsou tedy kolem symetrické ${ displaystyle z = 1/2}$.

Tento obrázek ukazuje pevné body (oba odpuzují)

Komplexní dynamika

Pevné body pro c podél vodorovné osy

Fatou set pro F (z) = z * z s vyznačeným pevným bodem

Zde se běžně používá jiná notace:^[4]

${ displaystyle alpha _ {c} = { frac {1 - { sqrt {1-4c}}} {2}}}$ s multiplikátorem ${ displaystyle lambda _ { alpha _ {c}} = 1 - { sqrt {1-4c}} ,}$

a

${ displaystyle beta _ {c} = { frac {1 + { sqrt {1-4c}}} {2}}}$ s multiplikátorem ${ displaystyle lambda _ { beta _ {c}} = 1 + { sqrt {1-4c}}. ,}$

Použitím Vièteovy vzorce lze ukázat, že:

${ displaystyle alpha _ {c} + beta _ {c} = 1.}$

Od té doby derivace vzhledem k z je

${ displaystyle P_ {c} '(z) = { frac {d} {dz}} P_ {c} (z) = 2z,}$

pak

${ displaystyle P_ {c} '( alpha _ {c}) + P_ {c}' ( beta _ {c}) = 2 alpha _ {c} +2 beta _ {c} = 2 ( alpha _ {c} + beta _ {c}) = 2. ,}$

To z toho vyplývá ${ displaystyle P_ {c} ,}$ může mít maximálně jeden atraktivní pevný bod.

Tyto body se vyznačují skutečnostmi, že:

• ${ displaystyle beta _ {c} ,}$ je:
  • místo přistání vnější paprsek pro úhel = 0 pro ${ displaystyle c v M setminus vlevo {{ frac {1} {4}} vpravo }}$
  • nejodpudivější pevný bod sady Julia
  • ten vpravo (kdykoli pevný bod není symetrický kolem skutečné osy), je to krajní pravý bod pro připojené sady Julia (kromě květáku).^[5]
• ${ displaystyle alpha _ {c} ,}$ je:
  • přistávací bod několika paprsků
  • přilákat, když ${ displaystyle c}$ je v hlavní kardioidní sadě Mandelbrot, v takovém případě je uvnitř vyplněné sady Julia, a proto patří do sady Fatou (přísně do nádrže přitahování konečného pevného bodu)
  • parabolický v kořenovém bodě končetiny Mandelbrotovy sady
  • odpuzující jiné hodnoty ${ displaystyle c}$

Speciální případy

Důležitým případem kvadratického mapování je ${ displaystyle c = 0}$. V tomto případě dostaneme ${ displaystyle alpha _ {1} = 0}$ a ${ displaystyle alpha _ {2} = 1}$. V tomto případě je 0 superatraktivní pevný bod a 1 patří do Julia set.

Pouze jeden pevný bod

My máme ${ displaystyle alpha _ {1} = alpha _ {2}}$ přesně kdy ${ displaystyle 1-4c = 0.}$ Tato rovnice má jedno řešení, ${ displaystyle c = 1/4,}$ v jakém případě ${ displaystyle alpha _ {1} = alpha _ {2} = 1/2}$. Ve skutečnosti ${ displaystyle c = 1/4}$ je největší kladná, čistě skutečná hodnota, pro kterou existuje konečný atraktor.

Nekonečný pevný bod

Můžeme rozšířit složité letadlo ${ displaystyle mathbb {C}}$ do Riemannova koule (rozšířená komplexní rovina) ${ displaystyle mathbb { hat {C}}}$ přidáváním nekonečno  :

${ displaystyle mathbb { hat {C}} = mathbb {C} pohár { infty }}$

a prodlužování polynomiální ${ displaystyle f_ {c} ,}$takhle ${ displaystyle f_ {c} ( infty) = infty. ,}$

Pak nekonečno je :

• superatrakce
• pevný bod polynomiální ${ displaystyle f_ {c}: ,}$^[6]

${ displaystyle f_ {c} ( infty) = infty = f_ {c} ^ {- 1} ( infty). ,}$

Období - 2 cykly

Bifurkace z období 1 až 2 pro komplexní kvadratická mapa

Cykly období 2 jsou dva odlišné body ${ displaystyle beta _ {1}}$ a ${ displaystyle beta _ {2}}$ takhle ${ displaystyle f_ {c} ( beta _ {1}) = beta _ {2}}$ a ${ displaystyle f_ {c} ( beta _ {2}) = beta _ {1}}$.

Píšeme ${ displaystyle f_ {c} (f_ {c} ( beta _ {n})) = beta _ {n}:}$

${ displaystyle f_ {c} (f_ {c} (z)) = (z ^ {2} + c) ^ {2} + c = z ^ {4} + 2cz ^ {2} + c ^ {2} + c. ,}$

Přirovnávat to k z, získáváme

${ displaystyle z ^ {4} + 2cz ^ {2} -z + c ^ {2} + c = 0.}$

Tato rovnice je polynom stupně 4 a má tedy čtyři (možná neodlišná) řešení. Dvě z řešení však již známe. Oni jsou ${ displaystyle alpha _ {1}}$ a ${ displaystyle alpha _ {2}}$, počítáno výše, protože pokud jsou tyto body ponechány beze změny jednou aplikací ${ displaystyle f}$, pak budou jasně nezměněny více než jednou aplikací ${ displaystyle f}$.

Náš polynom 4. řádu lze proto zapracovat dvěma způsoby:

První metoda faktorizace

${ displaystyle (z- alpha _ {1}) (z- alpha _ {2}) (z- beta _ {1}) (z- beta _ {2}) = 0. ,}$

To se rozšiřuje přímo jako ${ displaystyle x ^ {4} -Ax ^ {3} + Bx ^ {2} -Cx + D = 0}$ (všimněte si střídavých znaků), kde

${ displaystyle D = alpha _ {1} alpha _ {2} beta _ {1} beta _ {2}, ,}$

${ displaystyle C = alpha _ {1} alpha _ {2} beta _ {1} + alpha _ {1} alpha _ {2} beta _ {2} + alpha _ {1} beta _ {1} beta _ {2} + alpha _ {2} beta _ {1} beta _ {2}, ,}$

${ displaystyle B = alpha _ {1} alpha _ {2} + alpha _ {1} beta _ {1} + alpha _ {1} beta _ {2} + alpha _ {2} beta _ {1} + alpha _ {2} beta _ {2} + beta _ {1} beta _ {2}, ,}$

${ displaystyle A = alpha _ {1} + alpha _ {2} + beta _ {1} + beta _ {2}. ,}$

Již máme dvě řešení a potřebujeme pouze další dvě. Proto je problém ekvivalentní řešení kvadratického polynomu. Zejména si všimněte, že

${ displaystyle alpha _ {1} + alpha _ {2} = { frac {1 - { sqrt {1-4c}}} {2}} + { frac {1 + { sqrt {1- 4c}}} {2}} = { frac {1 + 1} {2}} = 1}$

a

${ displaystyle alpha _ {1} alpha _ {2} = { frac {(1 - { sqrt {1-4c}}) (1 + { sqrt {1-4c}})}} {4} } = { frac {1 ^ {2} - ({ sqrt {1-4c}}) ^ {2}} {4}} = { frac {1-1 + 4c} {4}} = { frac {4c} {4}} = c.}$

Přidáním těchto k výše uvedenému dostaneme ${ displaystyle D = c beta _ {1} beta _ {2}}$ a ${ displaystyle A = 1 + beta _ {1} + beta _ {2}}$. Porovnání s koeficienty z rozšiřování ${ displaystyle f}$, dostaneme

${ displaystyle D = c beta _ {1} beta _ {2} = c ^ {2} + c}$ a ${ displaystyle A = 1 + beta _ {1} + beta _ {2} = 0.}$

Z toho snadno dostaneme

${ displaystyle beta _ {1} beta _ {2} = c + 1}$ a ${ displaystyle beta _ {1} + beta _ {2} = - 1}$.

Odtud sestavíme kvadratickou rovnici s ${ displaystyle A '= 1, B = 1, C = c + 1}$ a použijte vzorec standardního řešení

${ displaystyle beta _ {1} = { frac {-1 - { sqrt {-3-4c}}} {2}}}$ a ${ displaystyle beta _ {2} = { frac {-1 + { sqrt {-3-4c}}} {2}}.}$

Bližší zkouška ukazuje, že:

${ displaystyle f_ {c} ( beta _ {1}) = beta _ {2}}$ a ${ displaystyle f_ {c} ( beta _ {2}) = beta _ {1},}$

což znamená, že tyto dva body jsou dva body v jednom cyklu období 2.

Druhá metoda faktorizace

Můžeme faktorovat kvartiku pomocí polynomiální dlouhé dělení rozdělit faktory ${ displaystyle (z- alpha _ {1})}$ a ${ displaystyle (z- alpha _ {2}),}$ které zohledňují dva pevné body ${ displaystyle alpha _ {1}}$ a ${ displaystyle alpha _ {2}}$ (jehož hodnoty byly uvedeny dříve a které po dvou iteracích stále zůstávají na pevném bodě):

${ displaystyle (z ^ {2} + c) ^ {2} + c-z = (z ^ {2} + c-z) (z ^ {2} + z + c + 1). ,}$

Kořeny prvního faktoru jsou dva pevné body. Odpuzují mimo hlavní kardioidy.

Druhý faktor má dva kořeny

${ displaystyle { frac {-1 pm { sqrt {-3-4c}}} {2}}. ,}$

Tyto dva kořeny, které jsou stejné jako kořeny nalezené první metodou, tvoří oběžnou dráhu období 2.^[7]

Speciální případy

Podívejme se znovu ${ displaystyle c = 0}$. Pak

${ displaystyle beta _ {1} = { frac {-1-i { sqrt {3}}} {2}}}$ a ${ displaystyle beta _ {2} = { frac {-1 + i { sqrt {3}}} {2}},}$

oba jsou komplexní čísla. My máme ${ displaystyle | beta _ {1} | = | beta _ {2} | = 1}$. Oba tyto body se tedy „skrývají“ v sadě Julia. Dalším zvláštním případem je ${ displaystyle c = -1}$, což dává ${ displaystyle beta _ {1} = 0}$ a ${ displaystyle beta _ {2} = - 1}$. To dává známý superatraktivní cyklus nalezený v největším laloku periody 2 kvadratické sady Mandelbrot.

Cykly pro období delší než 2

Stupeň rovnice ${ displaystyle f ^ {(n)} (z) = z}$ je 2ⁿ; například pro nalezení bodů ve 3 cyklu bychom museli vyřešit rovnici stupně 8. Po vyřazení faktorů poskytujících dva pevné body bychom měli rovnici šestého stupně.

Neexistuje žádné obecné řešení v radikály k polynomiálním rovnicím stupně pět nebo vyšším, takže body cyklu více než 2 musí být obecně počítány pomocí numerické metody. Ve specifickém případě období 4 však mají cyklické body dlouhé radikály.^[8]

V případě C = –2, trigonometrický řešení existují pro periodické body všech období. Pouzdro ${ displaystyle z_ {n + 1} = z_ {n} ^ {2} -2}$ je ekvivalentní s logistická mapa případ r = 4: ${ displaystyle x_ {n + 1} = 4x_ {n} (1-x_ {n}).}$ Zde je ekvivalence dána vztahem ${ displaystyle z = 2-4x.}$ Jeden z k-cykly logistické proměnné X (všechny cykly odpuzují) je

${ displaystyle sin ^ {2} left ({ frac {2 pi} {2 ^ {k} -1}} right), , sin ^ {2} left (2 cdot { frac {2 pi} {2 ^ {k} -1}} vpravo), , sin ^ {2} vlevo (2 ^ {2} cdot { frac {2 pi} {2 ^ { k} -1}} vpravo), , sin ^ {2} vlevo (2 ^ {3} cdot { frac {2 pi} {2 ^ {k} -1}} vpravo), dots, sin ^ {2} left (2 ^ {k-1} { frac {2 pi} {2 ^ {k} -1}} right).}$

Reference

Další čtení

• Geometrické vlastnosti kořenů polynomů
• Alan F. Beardon, Iterace racionálních funkcí, Springer 1991, ISBN  0-387-95151-2
• Michael F. Barnsley (autor), Stephen G. Demko (redaktor), Chaotic Dynamics and Fractals (Notes and Reports in Mathematics in Science and Engineering Series) Academic Pr (duben 1986), ISBN  0-12-079060-2
• Wolf Jung: Homeomorphisms on Edges of the Mandelbrot Set. Ph.D. práce z roku 2002
• Permutace periodických bodů v kvadratických polynominiálech J. Leahy

externí odkazy

• Algebraické řešení Mandelbrotových orbitálních hranic Donald D. Cross
• Hnědá metoda Robert P. Munafo
• arXiv: hep-th / 0501235v2 V. Dolotin, A. Morozov: Algebraická geometrie diskrétní dynamiky. Případ jedné proměnné.