Sada Multibrot - Multibrot set
V matematice, a multibrot set je sada hodnot v složité letadlo jehož absolutní hodnota zůstává v iteracích člena generála pod určitou konečnou hodnotou monický jednorozměrný polynom rodina rekurze.[1][2][3] Jméno je a portmanteau více a Mandelbrotova sada. Totéž lze použít pro Julia set, toto se volá multi-Julia set.
kde d ≥ 2. Exponent d lze dále zobecnit na záporné a zlomkové hodnoty.[4]
Příklady[5][6]
Případ
je klasika Mandelbrotova sada od kterého je název odvozen.
Sady pro další hodnoty d také zobrazit fraktální obrázky[7] když jsou zakresleny do komplexní roviny.
Každý z příkladů různých pravomocí d zobrazené níže je vyneseno ve stejném měřítku. Hodnoty C patřící do sady jsou černé. Hodnoty C které mají neomezenou hodnotu při rekurzi, a proto nepatří do množiny, jsou vykresleny v různých barvách, které se zobrazují jako obrysy, v závislosti na počtu rekurzí, které způsobily, že hodnota překročila pevnou velikost v algoritmu Escape Time.
Pozitivní síly
Příklad d = 2 je původní sada Mandelbrot. Příklady pro d > 2 jsou často nazývány sady multibrot. Tyto sady zahrnují počátek a mají fraktální obvody s (d - 1) -krát rotační symetrie.
![]() z ↦ z2 + C | ![]() z ↦ z3 + C | ![]() z ↦ z4 + C |
![]() z ↦ z5 + C | ![]() z ↦ z6 + C | ![]() z ↦ z96 + C |
![]() z ↦ z96 + C detail x40 |
Negativní síly
Když d je záporná množina obklopuje, ale nezahrnuje počátek. V konturách mezi množinou a počátkem je zajímavé komplexní chování v oblasti ve tvaru hvězdy s (1 − d)-složit rotační symetrie. Zdá se, že sady mají kruhový obvod, ale toto je jen artefakt pevného maximálního poloměru povoleného algoritmem Escape Time a není limitem sad, které se ve všech směrech rozšiřují do nekonečna.
![]() z ↦ z−2 + C | ![]() z ↦ z−3 + C | ![]() z ↦ z−4 + C | ![]() z ↦ z−5 + C | ![]() z ↦ z−6 + C |
Frakční síly
Vykreslování podél exponentu
Alternativní metodou je vykreslení exponentu podél svislé osy. To vyžaduje buď fixaci skutečné nebo imaginární hodnoty a vykreslení zbývající hodnoty podél vodorovné osy. Výsledná sada stoupá svisle od počátku v úzkém sloupci do nekonečna. Zvětšení odhaluje rostoucí složitost. První prominentní hrbolek nebo hrot je vidět na exponentu 2, což je umístění tradičního Mandelbrota nastaveného na jeho průřez. Třetí obrázek se zde vykresluje v rovině, která je upevněna v úhlu 45 stupňů mezi skutečnou a imaginární osou.[8]
![]() Multibrot vykreslený se skutečnou hodnotou podél vodorovné osy a exponentem podél svislé osy, imaginární hodnota fixovaná na nulu | ![]() Multibrot vykreslený s imaginární hodnotou na vodorovné ose a exponentem na svislé ose, skutečná hodnota fixována na nulu | ![]() Multibrot vykreslený s exponentem na svislé ose podél roviny pod úhlem 45 stupňů mezi skutečnou a imaginární osou. |
Vykreslování obrázků
Všechny výše uvedené obrázky se vykreslují pomocí algoritmu Escape Time, který jednoduchým způsobem identifikuje body mimo sadu. Mnohem větší fraktální detaily se odhalí vykreslením Lyapunovův exponent,[9] jak ukazuje následující příklad. Lyapunovův exponent je míra růstu chyb dané sekvence. Nejprve vypočítejte iterační sekvenci pomocí N iterace, poté vypočítejte exponent jako
a pokud je exponent záporný, sekvence je stabilní. Parametry jsou bílé pixely na obrázku C pro které je exponent pozitivní aka nestabilní. Barvy ukazují období cyklů, ke kterým jsou orbity přitahovány. Všechny body zbarvené tmavě modře (venku) jsou přitahovány pevným bodem, všechny body uprostřed (světlejší modrá) jsou přitahovány cyklem období 2 atd.


Pseudo kód
ÚNIKOVÝ ČASOVÝ ALGORITmus ======================pro každého pixel na obrazovce dělat x = x0 = x souřadnice pixelu y = y0 = y souřadnice souřadnice iterace pixelů: = 0 max_iteration: = 1000 zatímco (x * x + y * y ≤ (2 * 2) a iteracedělat / * VLOŽTE KÓD (Y) PRO Z ^ d Z TABULKY NÍŽE * / iterace: = iterace + 1 -li iterace = max_iterace pak barva: = černá jiný color: = iterační graf (x0, y0, barva)
Složitá hodnota z má souřadnice (X,y) na komplexní rovině a je zvýšen na různé síly uvnitř iterační smyčky kódy uvedenými v této tabulce. Síly, které nejsou uvedeny v tabulce, lze získat zřetězením zobrazených kódů.
z−2 | z−1 | z2 (pro sadu Mandelbrot) | z3 | z5 | zn |
---|---|---|---|---|---|
d = x ^ 4 + 2 * x ^ 2 * y ^ 2 + y ^ 4if d = 0 pak ESCAPExtmp = (x ^ 2-y ^ 2) / d + ay = -2 * x * y / d + bx = xtmp | d = x ^ 2 + y ^ 2 pokud d = 0 pak ESCAPEx = x / d + ay = -y / d + b | xtmp = x ^ 2-y ^ 2 + ay = 2 * x * y + bx = xtmp | xtmp = x ^ 3-3 * x * y ^ 2 + ay = 3 * x ^ 2 * y-y ^ 3 + bx = xtmp | xtmp = x ^ 5-10 * x ^ 3 * y ^ 2 + 5 * x * y ^ 4 + ay = 5 * x ^ 4 * y-10 * x ^ 2 * y ^ 3 + y ^ 5 + bx = xtmp | xtmp = (x * x + y * y) ^ (n / 2) * cos (n * atan2 (y, x)) + ay = (x * x + y * y) ^ (n / 2) * sin ( n * atan2 (y, x)) + bx = xtmp |
Reference
- ^ „Definice multibrots“. Citováno 2008-09-28.
- ^ „Multibrots“. Citováno 2008-09-28.
- ^ Vlk Jung. „Homeomorphisms on Edges of the Mandelbrot Set“ (PDF). p. 23.
Sada Multibrot Md je lokusem propojenosti rodiny nekritických polynomů zd + C, d ≥ 2
- ^ „WolframAlpha Computation Knowledge Engine“.
- ^ „23 hezkých fraktálů JavaScriptu“. 23. října 2008. Archivovány od originál dne 11. 8. 2014.
- ^ „Fraktály Javascript“. Archivovány od originál dne 19. 8. 2014.
- ^ "Animovaný morph multibrotů d = −7 až 7 ". Citováno 2008-09-28.
- ^ Fraktální generátor „Multibrot Slice“
- ^ Ken Shirriff (září 1993). "Vyšetřování fraktálů generovaných z → 1/zn + C". Počítače a grafika. 17 (5): 603–607. doi:10.1016 / 0097-8493 (93) 90012-x. Citováno 2008-09-28.