Maurer – Cartanova forma - Maurer–Cartan form
v matematika, Maurer – Cartanova forma pro Lež skupina G je význačný diferenciální jedna forma na G který nese základní nekonečně malé informace o struktuře G. To bylo hodně využíváno Élie Cartan jako jeho základní přísada způsob přesunu snímků, a nese jeho jméno spolu se jménem Ludwig Maurer.
Jako jedna forma je forma Maurer – Cartan zvláštní tím, že bere své hodnoty v Lež algebra přidružený ke skupině Lie G. Lieova algebra je identifikována s tečný prostor z G u identity, označeno TEG. Formulář Maurer – Cartan ω je tedy globálně definovaná jedna forma G což je lineární mapování tečného prostoru TGG u každého G ∈ G do TEG. Udává se jako tlačit kupředu vektoru v TGG podél levého překladu ve skupině:
Motivace a interpretace
Ležová skupina na sebe působí namnožením pod mapováním
Otázkou důležitou pro Cartana a jeho současníky bylo, jak identifikovat a hlavní homogenní prostor z G. To znamená, že potrubí P identické se skupinou G, ale bez pevné volby jednotkového prvku. Tato motivace pocházela částečně z Felix Klein je Program Erlangen kde člověka zajímala představa symetrie na prostoru, kde byla symetrie prostoru transformace tvořící Lieovu skupinu. Zajímavé geometrie byly homogenní prostory G/H, ale obvykle bez pevné volby původu odpovídající coset eH.
Hlavní homogenní prostor G je potrubí P abstraktně charakterizovaný tím, že má a bezplatná a přechodná akce z G na P. The Maurer – Cartanova forma[1] dává odpovídající infinitezimální charakterizace hlavního homogenního prostoru. Je to jedna forma definovaná na P uspokojení stav integrability známá jako Maurer-Cartanova rovnice. Pomocí této podmínky integrovatelnosti je možné definovat exponenciální mapa lži algebry a tímto způsobem získat lokálně skupinovou akci na P.
Konstrukce
Vnitřní konstrukce
Nechat G ≅ TEG být tečným prostorem Lieovy skupiny G na identitu (její Lež algebra ). G jedná na sebe levým překladem
takové, že pro daný G ∈ G my máme
a to vyvolá mapu tečný svazek pro sebe:Levý invariant vektorové pole je sekce X z TG takhle [2]
The Maurer – Cartanova forma ω je G-hodnota jednoho formuláře na G definované na vektorech proti ∈ TGG podle vzorce
Vnější konstrukce
Li G je vložen do GL (n) pomocí maticového mapování G =(Gij), pak lze psát ω výslovně jako
V tomto smyslu je forma Maurer – Cartan vždy vlevo logaritmická derivace mapy totožnosti G.
Charakterizace jako spojení
Pokud vezmeme v úvahu Lieovu skupinu G jako hlavní balíček přes potrubí skládající se z jediného bodu lze formu Maurer – Cartan také abstraktně charakterizovat jako jedinečnou hlavní připojení na hlavním svazku G. Ve skutečnosti je to jedinečný G = TEG oceňují 1-formovat dál G uspokojující
kde Rh* je zarazit formulářů podél pravého překladu ve skupině a Inzerát(h) je adjunkční akce na algebře Lie.
Vlastnosti
Li X je levé invariantní vektorové pole G, pak ω(X) je trvale zapnuto G. Kromě toho, pokud X a Y jsou tedy oba invariantní vlevo
kde závorka na levé straně je Ležácká závorka vektorových polí a závorka na pravé straně je závorka na Lieově algebře G. (To lze použít jako definici závorky na G.) Tato fakta mohou být použita ke stanovení izomorfismu Lieových algeber
Podle definice vnější derivace, pokud X a Y jsou libovolná vektorová pole
Tady ω(Y) je G-hodnotová funkce získaná dualitou ze spárování jednoho formuláře ω s vektorovým polem Y, a X(ω(Y)) je Derivát lži této funkce X. Podobně Y(ω(X)) je Lieův derivát Y z G-hodnotená funkce ω(X).
Zejména pokud X a Y jsou tedy invariantní vlevo
tak
ale pole invariantní vlevo překlenují tečný prostor v kterémkoli bodě (posunutí základny v TEG pod difeomorfismem je stále základem), takže rovnice platí pro jakoukoli dvojici vektorových polí X a Y. Toto je známé jako Maurer-Cartanova rovnice. Často se píše jako
Tady [ω, ω] označuje závorka forem s algebrou v hodnotě Lie.
Maurer – Cartanův rám
Lze si také prohlédnout formu Maurer – Cartan jako vytvořenou z a Maurer – Cartanův rám. Nechat Ei být základ částí TG skládající se z levého invariantního vektorového pole a θj být dvojí základ částí T*G takhle θj(Ei) = δij, Kroneckerova delta. Pak Ei je rám Maurer – Cartan a θi je Kostra Maurer – Cartan.
Od té doby Ei je invariantní vlevo, použití formuláře Maurer – Cartan jednoduše vrátí hodnotu Ei na identitu. Tím pádem ω(Ei) = Ei(E) ∈ G. Lze tedy psát formulář Maurer – Cartan
(1)
Předpokládejme, že Lieovy závorky vektorových polí Ei jsou dány
Množství Cijk jsou strukturní konstanty lži algebry (vzhledem k základu Ei). Jednoduchý výpočet pomocí definice vnější derivace d, výnosy
tak, že dualitou
(2)
Tato rovnice se také často nazývá Maurer-Cartanova rovnice. Souvisí to s předchozí definicí, která zahrnovala pouze formulář Maurer – Cartan ω, vezměte vnější derivaci (1):
Komponenty rámu jsou dány vztahem
který stanoví ekvivalenci dvou forem Maurer-Cartanovy rovnice.
Na homogenním prostoru
Formy Maurer – Cartan hrají v Cartanovi důležitou roli způsob přesunu snímků. V této souvislosti je možné zobrazit formulář Maurer – Cartan jako a 1-formulář definované na tautologickém hlavní balíček spojené s a homogenní prostor. Li H je uzavřená podskupina z G, pak G/H je plynulé potrubí dimenze ztlumit G - dim H. Mapa kvocientu G → G/H indukuje strukturu H- hlavní balíček přes G/H. Forma Maurer-Cartan ve skupině Lie G dává byt Kartanové připojení pro tento hlavní balíček. Zejména pokud H = {E}, pak je toto spojení Cartan běžné formulář připojení a máme
což je podmínka pro zmizení zakřivení.
U metody přesunu snímků se někdy uvažuje o místní části tautologického svazku s : G/H → G. (Pokud pracujete na podmanifold homogenního prostoru s musí být pouze místní část přes dílčí potrubí.) zarazit formuláře Maurer – Cartan s definuje nedegenerovaného G-hodnota 1-formulář θ = s*ω přes základnu. To naznačuje rovnice Maurer-Cartan
Navíc pokud sU a sPROTI jsou dvojice místních sekcí definovaných přes otevřené množiny U a PROTI, pak jsou příbuzné prvkem H v každém vláknu svazku:
Diferenciál h poskytuje podmínku kompatibility týkající se dvou částí v oblasti překrytí:
kde ωH je formulář Maurer – Cartan ve skupině H.
Systém nedegenerovaný G-hodnota 1-formuláře θU definované na otevřených množinách v potrubí M, uspokojení strukturních rovnic Maurer-Cartan a podmínek kompatibility poskytuje potrubí M lokálně se strukturou homogenního prostoru G/H. Jinými slovy, existuje lokálně a difeomorfismus z M do homogenního prostoru, takový θU je tažení formy Maurer – Cartan podél některé části tautologického svazku. Je to důsledek existence primitivů Derivát Darboux.
Poznámky
Reference
- Cartan, Élie (1904). „Sur la structure des groupses infinis de transformations“ (PDF). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 21: 153–206.
- R. W. Sharpe (1996). Diferenciální geometrie: Cartanovo zobecnění Kleinova programu Erlangen. Springer-Verlag, Berlín. ISBN 0-387-94732-9.
- Shlomo Sternberg (1964). „Kapitola V, Lieovy skupiny. Oddíl 2, Invariantní formy a Lieova algebra.“. Přednášky o diferenciální geometrii. Prentice-Hall. LCCN 64-7993.