Morriesův zákon - Morries law - Wikipedia

Morrieho zákon je speciální trigonometrická identita. Jeho jméno je způsobeno fyzikem Richard Feynman, který pod tímto jménem odkazoval na identitu. Feynman si vybral toto jméno, protože se ho naučil v dětství od chlapce jménem Morrie Jacobs a poté si ho pamatoval po celý svůj život.^[1]

Identita a zobecnění

${ displaystyle cos (20 ^ { circ}) cdot cos (40 ^ { circ}) cdot cos (80 ^ { circ}) = { frac {1} {8}}.}$

Je to speciální případ obecnější identity

${ displaystyle 2 ^ {n} cdot prod _ {k = 0} ^ {n-1} cos (2 ^ {k} alpha) = { frac { sin (2 ^ {n} alfa )} { sin ( alpha)}}}$

s n = 3 a α = 20 ° a skutečnost, že

${ displaystyle { frac { sin (160 ^ { circ})} { sin (20 ^ { circ})}} = { frac { sin (180 ^ { circ} -20 ^ { cirkus})} { sin (20 ^ { circ})}} = 1,}$

od té doby

${ displaystyle sin (180 ^ { circ} -x) = sin (x).}$

Podobné identity

Podobná identita pro funkci sine také platí:

${ displaystyle sin (20 ^ { circ}) cdot sin (40 ^ { circ}) cdot sin (80 ^ { circ}) = { frac { sqrt {3}} {8 }}.}$

Kromě toho, vydělením druhé identity první, je zřejmá následující identita:

${ displaystyle tan (20 ^ { circ}) cdot tan (40 ^ { circ}) cdot tan (80 ^ { circ}) = { sqrt {3}} = tan (60 ^ { circ}).}$

Důkaz

Geometrický důkaz Morrieho zákona

běžný nonagon ${ displaystyle ABCDEFGHI}$ s ${ displaystyle O}$ být jeho centrem obvod. Výpočet úhlů:
${ displaystyle { begin {aligned} 40 ^ { circ} & = { frac {360 ^ { circ}} {9}} 70 ^ { circ} & = { frac {180 ^ { cirkus} -40 ^ { circ}} {2}} alfa & = 180 ^ { circ} -90 ^ { circ} -70 ^ { circ} = 20 ^ { circ} beta & = 180 ^ { circ} -90 ^ { circ} - (70 ^ { circ} - alpha) = 40 ^ { circ} gamma & = 140 ^ { circ} - beta - alpha = 80 ^ { circ} end {zarovnáno}}}$

Zvažte pravidelné nonagon ${ displaystyle ABCDEFGHI}$ s délkou strany ${ displaystyle 1}$ a nechte ${ displaystyle M}$ být středem ${ displaystyle AB}$, ${ displaystyle L}$ střed ${ displaystyle BF}$ a ${ displaystyle J}$ střed ${ displaystyle BD}$. Vnitřní úhly neagonů jsou stejné ${ displaystyle 140 ^ { circ}}$ a navíc ${ displaystyle gamma = úhel FBM = 80 ^ { circ}}$, ${ displaystyle beta = úhel DBF = 40 ^ { circ}}$ a ${ displaystyle alpha = úhel CBD = 20 ^ { circ}}$ (viz obrázek). Uplatnění Kosinová definice v pravoúhlé trojúhelníky ${ displaystyle trojúhelník BFM}$, ${ displaystyle trojúhelník BDL}$ a ${ displaystyle trojúhelník BCJ}$ pak poskytuje důkaz pro Morrieho zákon:^[2]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 1 & = | AB | & = 2 cdot | MB | & = 2 cdot | BF | cdot cos ( gamma) & = 2 ^ {2 } | BL | cos ( gamma) & = 2 ^ {2} cdot | BD | cdot cos ( gamma) cdot cos ( beta) & = 2 ^ {3} cdot | BJ | cdot cos ( gamma) cdot cos ( beta) & = 2 ^ {3} cdot | BC | cdot cos ( gamma) cdot cos ( beta) cdot cos ( alpha) & = 2 ^ {3} cdot 1 cdot cos ( gamma) cdot cos ( beta) cdot cos ( alpha) & = 8 cdot cos (80 ^ { circ}) cdot cos (40 ^ { circ}) cdot cos (20 ^ { circ}) end {zarovnáno}}}$

Algebraický důkaz zobecněné identity

Připomeňme vzorec dvojitého úhlu pro funkci sine

${ displaystyle sin (2 alpha) = 2 sin ( alpha) cos ( alpha).}$

Vyřešit pro ${ displaystyle cos ( alpha)}$

${ displaystyle cos ( alpha) = { frac { sin (2 alpha)} {2 sin ( alpha)}}.}$

Z toho vyplývá, že:

${ displaystyle { begin {zarovnaný} cos (2 alpha) & = { frac { sin (4 alpha)} {2 sin (2 alpha)}} [6pt] cos (4 alpha) & = { frac { sin (8 alpha)} {2 sin (4 alpha)}} & {} , , , vdots cos (2 ^ {n -1} alpha) & = { frac { sin (2 ^ {n} alpha)} {2 sin (2 ^ {n-1} alpha)}}. End {zarovnáno}}}$

Vynásobením všech těchto výrazů získáte výnosy:

${ displaystyle cos ( alpha) cos (2 alpha) cos (4 alpha) cdots cos (2 ^ {n-1} alpha) = { frac { sin (2 alpha) } {2 sin ( alpha)}} cdot { frac { sin (4 alpha)} {2 sin (2 alpha)}} cdot { frac { sin (8 alpha)} {2 sin (4 alpha)}} cdots { frac { sin (2 ^ {n} alpha)} {2 sin (2 ^ {n-1} alpha)}}}$

Mezilehlé čitatele a jmenovatele zruší a ponechá pouze prvního jmenovatele, mocninu 2 a konečného čitatele. Všimněte si, že existují n výrazy na obou stranách výrazu. Tím pádem,

${ displaystyle prod _ {k = 0} ^ {n-1} cos (2 ^ {k} alpha) = { frac { sin (2 ^ {n} alpha)} {2 ^ {n } sin ( alpha)}},}$

což odpovídá zobecnění Morrieho zákona.

Reference

Další čtení

• Glen Van Brummelen: Trigonometrie: velmi krátký úvod. Oxford University Press, 2020, ISBN  9780192545466, str. 79-83
• Ernest C. Anderson: Morrieův zákon a experimentální matematika. V: Časopis rekreační matematiky, 1998

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Morrieho zákon“. MathWorld.