Sférický zákon kosinů - Spherical law of cosines - Wikipedia

v sférická trigonometrie, zákon kosinů (nazývané také kosinové pravidlo pro strany^[1]) je věta týkající se stran a úhlů sférických trojúhelníků, analogická s obyčejnými zákon kosinů z letadla trigonometrie.

Sférický trojúhelník vyřešený zákonem kosinů.

Vzhledem k jednotkové kouli je „sférický trojúhelník“ na povrchu koule definován pomocí velké kruhy spojující tři body $u, proti$ , a $w$ na kouli (zobrazeno vpravo). Pokud jsou délky těchto tří stran $A$ (z $u$ na $proti), b$ (z $u$ na $w$ ), a $C$ (z $proti$ na $w$ ) a úhel rohu naproti $C$ je $C$ , pak (první) sférický zákon kosinů říká:^[2]^[1]

{ displaystyle cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C ,}

Jelikož se jedná o jednotkovou kouli, délky $A, b$ , a $C$ jsou prostě rovné úhlům (v radiány ) podřízené těmito stranami od středu koule. (U neunitních koulí jsou délky podřízené úhly krát poloměr a vzorec stále platí, pokud $A, b$ a $C$ jsou interpretovány jako podřízené úhly). Jako zvláštní případ pro $C = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} π / 2$ , pak $cos C = 0$ a získá se sférický analog Pythagorova věta:

{ displaystyle cos c = cos a cos b ,}

Pokud se pro řešení použije zákon kosinů $C$ nutnost převrácení kosinu zvětšuje chyby zaokrouhlování když $C$ je malý. V tomto případě alternativní formulace zákon haversinů je vhodnější.^[3]

Variace zákona kosinů, druhý sférický zákon kosinů,^[4] (nazývané také kosinové pravidlo pro úhly^[1]) uvádí:

{ displaystyle cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c ,}

kde $A$ a $B$ jsou úhly rohů naproti stranám $A$ a $b$ , resp. Lze jej získat na základě zvážení a sférický trojúhelník dvojí k danému.

Důkazy

První důkaz

Nechat $u, proti$ , a $w$ označit jednotkové vektory od středu koule k těm rohům trojúhelníku. Úhly a vzdálenosti se nemění, pokud je souřadný systém otočen, takže můžeme souřadný systém otočit tak, aby ${ displaystyle mathbf {u}}$ je na Severní pól a ${ displaystyle mathbf {v}}$ je někde na nultý poledník (zeměpisná délka 0). S touto rotací se sférické souřadnice pro ${ displaystyle mathbf {v}}$ jsou ${ displaystyle (r, theta, phi) = (1, a, 0)}$ , kde θ je úhel měřený od severního pólu, nikoli od rovníku, a sférické souřadnice pro ${ displaystyle mathbf {w}}$ jsou ${ displaystyle (r, theta, phi) = (1, b, C)}$ . Kartézské souřadnice pro ${ displaystyle mathbf {v}}$ jsou ${ displaystyle (x, y, z) = ( sin a, 0, cos a)}$ a kartézské souřadnice pro ${ displaystyle mathbf {w}}$ jsou ${ displaystyle (x, y, z) = ( sin b cos C, sin b sin C, cos b)}$ . Hodnota ${ displaystyle cos c}$ je bodový produkt dvou kartézských vektorů, což je ${ displaystyle sin a sin b cos C + cos a cos b}$ .

Druhý důkaz

Nechat $u, proti$ , a $w$ označit jednotkové vektory od středu koule k těm rohům trojúhelníku. My máme $u \cdot u = 1$ , $proti \cdot w = cos C$ , $u \cdot proti = cos A$ , a $u \cdot w = cos b$ . Vektory $u \times proti$ a $u \times w$ mít délky $hřích A$ a $hřích b$ respektive úhel mezi nimi je $C$ , tak

hřích A hřích b cos C = (u \times proti) \cdot (u \times w) = (u \cdot u)(proti \cdot w) - (u \cdot proti)(u \cdot w) = cos C - protože A cos b

,

použitím křížové výrobky, tečkované výrobky a Binet – Cauchyova identita $(str \times q) \cdot (r \times s) = (str \cdot r)(q \cdot s) - (str \cdot s)(q \cdot r)$ .

Přeskupení

První a druhý sférický zákon kosinů lze přeskupit tak, aby dal strany ( $A, b, C$ ) a úhly ( $A, B, C$ ) na opačných stranách rovnic:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} cos C & = { frac { cos c- cos a cos b} { sin a sin b}} \ cos c & = { frac { cos C + cos A cos B} { sin A sin B}} end {zarovnáno}}}

Rovinný limit: malé úhly

Pro malý sférické trojúhelníky, tj. pro malé $A, b$ , a $C$ , sférický zákon kosinů je přibližně stejný jako běžný rovinný zákon kosinů,

{ displaystyle c ^ {2} cca a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos C ,.}

Abychom to dokázali, použijeme aproximace v malém úhlu získané z Řada Maclaurin pro kosinus a sinusové funkce:

{ displaystyle cos a = 1 - { frac {a ^ {2}} {2}} + O left (a ^ {4} right), , sin a = a + O left (a ^ {3} vpravo)}

Dosazením těchto výrazů do sférického zákona kosinových sítí:

{ displaystyle 1 - { frac {c ^ {2}} {2}} + O left (c ^ {4} right) = 1 - { frac {a ^ {2}} {2}} - { frac {b ^ {2}} {2}} + { frac {a ^ {2} b ^ {2}} {4}} + O vlevo (a ^ {4} vpravo) + O left (b ^ {4} right) + cos (C) left (ab + O left (a ^ {3} b right) + O left (ab ^ {3} right) + O vlevo (a ^ {3} b ^ {3} vpravo) vpravo)}

nebo po zjednodušení:

{ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos C + O left (c ^ {4} right) + O left (a ^ {4} right ) + O left (b ^ {4} right) + O left (a ^ {2} b ^ {2} right) + O left (a ^ {3} b right) + O left (ab ^ {3} right) + O left (a ^ {3} b ^ {3} right).}

The velký O podmínky pro $A$ a $b$ dominují $Ó (A 4) + Ó (b 4)$ tak jako $A$ a $b$ zvětšit, takže můžeme tento poslední výraz napsat jako:

{ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos C + O left (a ^ {4} right) + O left (b ^ {4} right ) + O vlevo (c ^ {4} vpravo).}

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b ^C W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner a H. Küstner, Stručná encyklopedie matematiky VNR, 2. vyd., Kap. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).
^ Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Sférická trigonometrie, Trigonometrie elementární geometrie webové stránky (1997).
^ R. W. Sinnott, „Virtues of the Haversine“, Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
^ Reiman, István (1999). Geometria és határterületei. Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft. str. 83.

[VNR-1] A ^b ^C W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner a H. Küstner, Stručná encyklopedie matematiky VNR, 2. vyd., Kap. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).

[Ireneus-2] Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Sférická trigonometrie, Trigonometrie elementární geometrie webové stránky (1997).

[3] R. W. Sinnott, „Virtues of the Haversine“, Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).

[4] Reiman, István (1999). Geometria és határterületei. Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft. str. 83.

[1]

[2]

[3]

[4]