Důkazy trigonometrických identit - Proofs of trigonometric identities

Hlavní trigonometrické identity mezi trigonometrickými funkcemi jsou prokázány zejména s využitím geometrie pravoúhlý trojuhelník. Pro větší a záporné úhly viz Trigonometrické funkce.

Základní trigonometrické identity

Definice

Trigonometrické funkce určují vztahy mezi délkami stran a vnitřními úhly pravoúhlého trojúhelníku. Například sinus úhlu θ je definován jako délka protilehlé strany dělená délkou přepony.

Pro každou je definováno šest trigonometrických funkcí reálné číslo, s výjimkou některých z nich pro úhly, které se liší od 0 o násobek pravého úhlu (90 °). S odkazem na diagram vpravo je šest trigonometrických funkcí θ pro úhly menší než pravý úhel:

${ displaystyle sin theta = { frac { mathrm {naproti}} { mathrm {hypotenuse}}} = { frac {a} {h}}}$

${ displaystyle cos theta = { frac { mathrm {sousední}} { mathrm {hypotenuse}}} = { frac {b} {h}}}$

${ displaystyle tan theta = { frac { mathrm {naproti}} { mathrm {sousední}}} = { frac {a} {b}}}$

${ displaystyle cot theta = { frac { mathrm {sousední}} { mathrm {naproti}}} = { frac {b} {a}}}$

${ displaystyle sec theta = { frac { mathrm {hypotenuse}} { mathrm {sousední}}} = { frac {h} {b}}}$

${ displaystyle csc theta = { frac { mathrm {hypotenuse}} { mathrm {naproti}}} = { frac {h} {a}}}$

Poměrové identity

V případě úhlů menších než pravý úhel jsou následující identity přímým důsledkem výše uvedených definic prostřednictvím dělení identity

${ displaystyle { frac {a} {b}} = { frac { left ({ frac {a} {h}} right)} { left ({ frac {b} {h}} že jo)}}.}$

Zůstávají platné pro úhly větší než 90 ° a pro záporné úhly.

${ displaystyle tan theta = { frac { mathrm {naproti}} { mathrm {sousední}}} = { frac { vlevo ({ frac { mathrm {naproti}} { mathrm {hypotenuse} }} right)} { left ({ frac { mathrm {sousední}} { mathrm {hypotenuse}}} right)}} = { frac { sin theta} { cos theta}} }$

${ displaystyle cot theta = { frac { mathrm {sousední}} { mathrm {naproti}}} = { frac { vlevo ({ frac { mathrm {sousední}} { mathrm {sousední} }} right)} { left ({ frac { mathrm {naproti}} { mathrm {sousední}}} right)}} = { frac {1} { tan theta}} = { frac { cos theta} { sin theta}}}$

${ displaystyle sec theta = { frac {1} { cos theta}} = { frac { mathrm {hypotenuse}} { mathrm {sousední}}}}$

${ displaystyle csc theta = { frac {1} { sin theta}} = { frac { mathrm {hypotenuse}} { mathrm {naproti}}}}$

${ displaystyle tan theta = { frac { mathrm {naproti}} { mathrm {sousední}}} = { frac { vlevo ({ frac { mathrm {naproti} krát mathrm {hypotenuse} } { mathrm {naproti} times mathrm {sousední}}} vpravo)} { vlevo ({ frac { mathrm {sousední} times mathrm {hypotenuse}} { mathrm {naproti} časy mathrm {přilehlé}}} pravé)}} = { frac { levé ({ frac { mathrm {hypotenuse}} { mathrm {přilehlé}}} pravé)} { levé ({ frac { mathrm {hypotenuse}} { mathrm {naproti}}} vpravo)}} = { frac { sec theta} { csc theta}}}$

Nebo

${ displaystyle tan theta = { frac { sin theta} { cos theta}} = { frac { vlevo ({ frac {1} { csc theta}} vpravo)} { left ({ frac {1} { sec theta}} right)}} = { frac { left ({ frac { csc theta sec theta} { csc theta}} right)} { left ({ frac { csc theta sec theta} { sec theta}} right)}} = { frac { sec theta} { csc theta}}}$

${ displaystyle cot theta = { frac { csc theta} { sec theta}}}$

Doplňkové úhlové identity

Dva úhly, jejichž součet je π / 2 radiány (90 stupňů), jsou komplementární. V diagramu jsou úhly na vrcholech A a B komplementární, takže si můžeme vyměnit a a b a změnit θ na π / 2 - θ a získat:

${ displaystyle sin left ( pi / 2- theta right) = cos theta}$

${ displaystyle cos left ( pi / 2- theta right) = sin theta}$

${ Displaystyle tan left ( pi / 2- theta right) = cot theta}$

${ Displaystyle cot left ( pi / 2- theta right) = tan theta}$

${ displaystyle sec left ( pi / 2- theta right) = csc theta}$

${ displaystyle csc left ( pi / 2- theta right) = sec theta}$

Pythagorovy identity

Totožnost 1:

${ displaystyle sin ^ {2} (x) + cos ^ {2} (x) = 1}$

Následující dva výsledky vyplývají z tohoto a identit poměru. Chcete-li získat první, rozdělte obě strany ${ displaystyle sin ^ {2} (x) + cos ^ {2} (x) = 1}$ podle ${ displaystyle cos ^ {2} (x)}$; za druhé vydělit ${ displaystyle sin ^ {2} (x)}$.

${ displaystyle tan ^ {2} (x) +1 = sec ^ {2} (x)}$

${ displaystyle 1 + cot ^ {2} (x) = csc ^ {2} (x)}$

Podobně

${ displaystyle 1 + cot ^ {2} (x) = csc ^ {2} (x)}$

${ displaystyle csc ^ {2} (x) - cot ^ {2} (x) = 1}$

Totožnost 2:

Následující seznam zahrnuje všechny tři vzájemné funkce.

${ displaystyle csc ^ {2} (x) + sec ^ {2} (x) - cot ^ {2} (x) = 2 + tan ^ {2} (x)}$

Důkaz 2:

Viz výše uvedený trojúhelníkový diagram. Všimněte si, že ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = h ^ {2}}$ podle Pythagorova věta.

${ displaystyle csc ^ {2} (x) + sec ^ {2} (x) = { frac {h ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {h ^ {2 }} {b ^ {2}}} = { frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {a ^ {2} + b ^ {2 }} {b ^ {2}}} = 2 + { frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {a ^ {2}} {b ^ {2}} }}$

Nahrazení příslušnými funkcemi -

${ displaystyle 2 + { frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} = 2 + tan ^ {2} (x) + cot ^ {2} (x)}$

Přeskupení dává:

${ displaystyle csc ^ {2} (x) + sec ^ {2} (x) - cot ^ {2} (x) = 2 + tan ^ {2} (x)}$

Totožnost úhlového součtu

Sinus

Ilustrace vzorce součtu.

Nakreslete vodorovnou čáru ( X-osa); označte počátek O. Nakreslete čáru z O pod úhlem ${ displaystyle alpha}$ nad vodorovnou čarou a druhou čarou pod úhlem ${ displaystyle beta}$ nad tím; úhel mezi druhou čarou a X-os je ${ displaystyle alpha + beta}$.

Umístěte P na čáru definovanou ${ displaystyle alpha + beta}$ v jednotkové vzdálenosti od počátku.

Nechť PQ je přímka kolmá na přímku OQ definovanou úhlem ${ displaystyle alpha}$, nakreslené z bodu Q na této přímce do bodu P. ${ displaystyle proto}$ OQP je pravý úhel.

Nechť QA je kolmá z bodu A na X- osa Q a PB je kolmá z bodu B na X- osa P. ${ displaystyle proto}$ OAQ a OBP jsou pravé úhly.

Nakreslete R na PB tak, aby QR bylo rovnoběžné s X-osa.

Nyní úhel ${ displaystyle RPQ = alpha}$ (protože ${ displaystyle OQA = { frac { pi} {2}} - alpha}$,tvorba ${ displaystyle RQO = alfa, RQP = { frac { pi} {2}} - alpha}$, a nakonec ${ displaystyle RPQ = alpha}$)

${ displaystyle RPQ = { tfrac { pi} {2}} - RQP = { tfrac { pi} {2}} - ({ tfrac { pi} {2}} - RQO) = RQO = alfa}$

${ displaystyle OP = 1}$

${ displaystyle PQ = sin beta}$

${ displaystyle OQ = cos beta}$

${ displaystyle { frac {AQ} {OQ}} = sin alfa}$, tak ${ displaystyle AQ = sin alpha cos beta}$

${ displaystyle { frac {PR} {PQ}} = cos alfa}$, tak ${ displaystyle PR = cos alpha sin beta}$

${ displaystyle sin ( alpha + beta) = PB = RB + PR = AQ + PR = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta}$

Nahrazením ${ displaystyle - beta}$ pro ${ displaystyle beta}$ a pomocí Symetrie, dostaneme také:

${ displaystyle sin ( alpha - beta) = sin alpha cos (- beta) + cos alpha sin (- beta)}$

${ displaystyle sin ( alpha - beta) = sin alpha cos beta - cos alfa sin beta}$

Další přísný důkaz, a mnohem jednodušší, lze poskytnout použitím Eulerův vzorec, známý ze složité analýzy. Eulerův vzorec je:

${ displaystyle e ^ {i varphi} = cos varphi + i sin varphi}$

Z toho vyplývá, že pro úhly ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ my máme:

${ displaystyle e ^ {i ( alpha + beta)} = cos ( alpha + beta) + i sin ( alpha + beta)}$

Také pomocí následujících vlastností exponenciálních funkcí:

${ Displaystyle e ^ {i ( alpha + beta)} = e ^ {i alpha} e ^ {i beta} = ( cos alpha + i sin alpha) ( cos beta + i sin beta)}$

Hodnocení produktu:

${ Displaystyle e ^ {i ( alpha + beta)} = ( cos alpha cos beta - sin alpha sin beta) + i ( sin alpha cos beta + sin beta cos alpha)}$

Rovnání skutečných a imaginárních částí:

${ displaystyle cos ( alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alfa sin beta}$

${ displaystyle sin ( alpha + beta) = sin alpha cos beta + sin beta cos alfa}$

Kosinus

Pomocí výše uvedeného obrázku

${ displaystyle OP = 1}$

${ displaystyle PQ = sin beta}$

${ displaystyle OQ = cos beta}$

${ displaystyle { frac {OA} {OQ}} = cos alfa}$, tak ${ displaystyle OA = cos alfa cos beta}$

${ displaystyle { frac {RQ} {PQ}} = sin alfa}$, tak ${ displaystyle RQ = sin alpha sin beta}$

${ displaystyle cos ( alpha + beta) = OB = OA-BA = OA-RQ = cos alfa cos beta - sin alfa sin beta}$

Nahrazením ${ displaystyle - beta}$ pro ${ displaystyle beta}$ a pomocí Symetrie, dostaneme také:

${ displaystyle cos ( alpha - beta) = cos alpha cos (- beta) - sin alpha sin (- beta),}$

${ displaystyle cos ( alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alfa sin beta}$

Také pomocí doplňkových vzorců úhlů

${ displaystyle { begin {zarovnáno} cos ( alpha + beta) & = sin left ( pi / 2 - ( alpha + beta) right) & = sin left (( pi / 2- alpha) - beta right) & = sin left ( pi / 2- alpha right) cos beta - cos left ( pi / 2- alpha right) sin beta & = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta end {zarovnáno}}}$

Tečna a kotangens

Ze sinusového a kosinusového vzorce dostaneme

${ displaystyle tan ( alpha + beta) = { frac { sin ( alpha + beta)} { cos ( alpha + beta)}} = { frac { sin alfa cos beta + cos alpha sin beta} { cos alpha cos beta - sin alpha sin beta}}}$

Vydělením čitatele i jmenovatele ${ displaystyle cos alfa cos beta}$, dostaneme

${ displaystyle tan ( alpha + beta) = { frac { tan alpha + tan beta} {1- tan alpha tan beta}}}$

Odečítání ${ displaystyle beta}$ z ${ displaystyle alpha}$, použitím ${ displaystyle tan (- beta) = - tan beta}$,

${ displaystyle tan ( alpha - beta) = { frac { tan alpha + tan (- beta)} {1- tan alpha tan (- beta)}} = { frac { tan alpha - tan beta} {1+ tan alpha tan beta}}}$

Podobně ze vzorců sinu a kosinu dostáváme

${ displaystyle cot ( alpha + beta) = { frac { cos ( alpha + beta)} { sin ( alpha + beta)}} = { frac { cos alfa cos beta - sin alpha sin beta} { sin alpha cos beta + cos alpha sin beta}}}$

Pak vydělením čitatele i jmenovatele ${ displaystyle sin alpha sin beta}$, dostaneme

${ displaystyle cot ( alpha + beta) = { frac { cot alpha cot beta -1} { cot alpha + cot beta}}}$

Nebo pomocí ${ displaystyle cot theta = { frac {1} { tan theta}}}$,

${ displaystyle cot ( alpha + beta) = { frac {1- tan alpha tan beta} { tan alpha + tan beta}} = { frac {{ frac {1 } { tan alpha tan beta}} - 1} {{ frac {1} { tan alpha}} + { frac {1} { tan beta}}}} = { frac { cot alpha cot beta -1} { cot alpha + cot beta}}}$

Použitím ${ displaystyle postýlka (- beta) = - postýlka beta}$,

${ displaystyle cot ( alpha - beta) = { frac { cot alpha cot (- beta) -1} { cot alpha + cot (- beta)}} = { frac { cot alpha cot beta +1} { cot beta - cot alpha}}}$

Dvojité úhlové identity

Z identifikace úhlového součtu dostaneme

${ displaystyle sin (2 theta) = 2 sin theta cos theta}$

a

${ displaystyle cos (2 theta) = cos ^ {2} theta - sin ^ {2} theta}$

Pythagorovy identity dávají dvě alternativní formy pro druhou z nich:

${ displaystyle cos (2 theta) = 2 cos ^ {2} theta -1}$

${ displaystyle cos (2 theta) = 1-2 sin ^ {2} theta}$

Totožnost součtu úhlu také dává

${ displaystyle tan (2 theta) = { frac {2 tan theta} {1- tan ^ {2} theta}} = { frac {2} { cot theta - tan theta}}}$

${ displaystyle cot (2 theta) = { frac { cot ^ {2} theta -1} {2 cot theta}} = { frac { cot theta - tan theta} { 2}}}$

Lze to také prokázat pomocí Eulerův vzorec

${ displaystyle e ^ {i varphi} = cos varphi + i sin varphi}$

Srovnání obou stran výnosy

${ displaystyle e ^ {i2 varphi} = ( cos varphi + i sin varphi) ^ {2}}$

Nahrazení úhlu jeho zdvojenou verzí, která dosahuje stejného výsledku na levé straně rovnice, se však získá

${ displaystyle e ^ {i2 varphi} = cos 2 varphi + i sin 2 varphi}$

Z toho vyplývá, že

${ displaystyle ( cos varphi + i sin varphi) ^ {2} = cos 2 varphi + i sin 2 varphi}$.

Rozšíření čtverce a zjednodušení na levé straně rovnice dává

${ displaystyle i (2 sin varphi cos varphi) + cos ^ {2} varphi - sin ^ {2} varphi = cos 2 varphi + i sin 2 varphi}$.

Protože imaginární a reálné části musí být stejné, zůstávají nám původní identity

${ displaystyle cos ^ {2} varphi - sin ^ {2} varphi = cos 2 varphi}$,

a také

${ displaystyle 2 sin varphi cos varphi = sin 2 varphi}$.

Identity polovičního úhlu

Dvě identity dávající alternativní formy pro cos 2θ vedou k následujícím rovnicím:

${ displaystyle cos { frac { theta} {2}} = pm , { sqrt { frac {1+ cos theta} {2}}},}$

${ displaystyle sin { frac { theta} {2}} = pm , { sqrt { frac {1- cos theta} {2}}}.}$

Znaménko druhé odmocniny je třeba zvolit správně - všimněte si, že pokud 2π je přidáno k θ, veličiny uvnitř odmocnin se nezmění, ale levá strana rovnic změní znaménko. Správné znaménko, které se má použít, proto závisí na hodnotě θ.

Pro funkci opálení platí rovnice:

${ displaystyle tan { frac { theta} {2}} = pm , { sqrt { frac {1- cos theta} {1+ cos theta}}}.}$

Pak vynásobení čitatele a jmenovatele uvnitř druhé odmocniny (1 + cos θ) a použití Pythagorovy identity vede k:

${ displaystyle tan { frac { theta} {2}} = { frac { sin theta} {1+ cos theta}}.}$

Také pokud jsou čitatel i jmenovatel vynásobeny (1 - cos θ), bude výsledek:

${ displaystyle tan { frac { theta} {2}} = { frac {1- cos theta} { sin theta}}.}$

To také dává:

${ displaystyle tan { frac { theta} {2}} = csc theta - cot theta.}$

Podobné manipulace pro funkci postýlky dávají:

${ displaystyle cot { frac { theta} {2}} = pm , { sqrt { frac {1+ cos theta} {1- cos theta}}} = { frac { 1+ cos theta} { sin theta}} = { frac { sin theta} {1- cos theta}} = csc theta + cot theta.}$

Různé - trojitá tečná identita

Li ${ displaystyle psi + theta + phi = pi =}$ půlkruh (například ${ displaystyle psi}$, ${ displaystyle theta}$ a ${ displaystyle phi}$ jsou úhly trojúhelníku),

${ Displaystyle tan ( psi) + tan ( theta) + tan ( phi) = tan ( psi) tan ( theta) tan ( phi).}$

Důkaz:^[1]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} psi & = pi - theta - phi tan ( psi) & = tan ( pi - theta - phi) & = - tan ( theta + phi) & = { frac {- tan theta - tan phi} {1- tan theta tan phi}} & = { frac { tan theta + tan phi} { tan theta tan phi -1}} ( tan theta tan phi -1) tan psi & = tan theta + tan phi tan psi tan theta tan phi - tan psi & = tan theta + tan phi tan psi tan theta tan phi & = tan psi + tan theta + tan phi end {zarovnáno}}}$

Různé - trojitá kotangensní identita

Li ${ displaystyle psi + theta + phi = { tfrac { pi} {2}} =}$ čtvrtkruh,

${ Displaystyle postýlka ( psi) + postýlka ( theta) + postýlka ( phi) = postýlka ( psi) postýlka ( theta) postýlka ( phi)}$.

Důkaz:

Vyměňte každý z nich ${ displaystyle psi}$, ${ displaystyle theta}$, a ${ displaystyle phi}$ s jejich doplňkovými úhly, takže kotangenty se změní na tečny a naopak.

Dáno

${ displaystyle psi + theta + phi = { tfrac { pi} {2}}}$

${ displaystyle proto ({ tfrac { pi} {2}} - psi) + ({ tfrac { pi} {2}} - theta) + ({ tfrac { pi} {2} } - phi) = { tfrac {3 pi} {2}} - ( psi + theta + phi) = { tfrac {3 pi} {2}} - { tfrac { pi} {2}} = pi}$

výsledek tedy vyplývá z trojité tangenty identity.

Součet identit produktu

• ${ displaystyle sin theta pm sin phi = 2 sin left ({ frac { theta pm phi} {2}} right) cos left ({ frac { theta mp phi} {2}} vpravo)}$
• ${ displaystyle cos theta + cos phi = 2 cos vlevo ({ frac { theta + phi} {2}} vpravo) cos vlevo ({ frac { theta - phi } {2}} vpravo)}$
• ${ displaystyle cos theta - cos phi = -2 sin vlevo ({ frac { theta + phi} {2}} vpravo) sin vlevo ({ frac { theta - phi} {2}} vpravo)}$

Důkaz sinusových identit

Nejprve začněte identitami součtu úhlů:

${ displaystyle sin ( alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta}$

${ displaystyle sin ( alpha - beta) = sin alpha cos beta - cos alfa sin beta}$

Jejich přidáním dohromady

${ Displaystyle sin ( alpha + beta) + sin ( alpha - beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta + sin alfa cos beta - cos alpha sin beta = 2 sin alpha cos beta}$

Podobně odečtením dvou identit součtu úhlů,

${ Displaystyle sin ( alpha + beta) - sin ( alpha - beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta - sin alpha cos beta + cos alpha sin beta = 2 cos alpha sin beta}$

Nechat ${ displaystyle alpha + beta = theta}$ a ${ displaystyle alpha - beta = phi}$,

${ displaystyle proto alpha = { frac { theta + phi} {2}}}$ a ${ displaystyle beta = { frac { theta - phi} {2}}}$

Náhradní ${ displaystyle theta}$ a ${ displaystyle phi}$

${ displaystyle sin theta + sin phi = 2 sin left ({ frac { theta + phi} {2}} right) cos left ({ frac { theta - phi } {2}} vpravo)}$

${ displaystyle sin theta - sin phi = 2 cos left ({ frac { theta + phi} {2}} right) sin left ({ frac { theta - phi } {2}} vpravo) = 2 sin vlevo ({ frac { theta - phi} {2}} vpravo) cos vlevo ({ frac { theta + phi} {2} }že jo)}$

Proto,

${ displaystyle sin theta pm sin phi = 2 sin left ({ frac { theta pm phi} {2}} right) cos left ({ frac { theta mp phi} {2}} vpravo)}$

Důkaz kosinových identit

Podobně pro kosinus začněte identitami součtu úhlů:

${ displaystyle cos ( alpha + beta) = cos alfa cos beta - sin alfa sin beta}$

${ displaystyle cos ( alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alfa sin beta}$

Opět přidáním a odečtením

${ Displaystyle cos ( alpha + beta) + cos ( alpha - beta) = cos alpha cos beta - sin alfa sin beta + cos alfa cos beta + sin alpha sin beta = 2 cos alpha cos beta}$

${ Displaystyle cos ( alpha + beta) - cos ( alpha - beta) = cos alfa cos beta - sin alfa sin beta - cos alfa cos beta - sin alpha sin beta = -2 sin alpha sin beta}$

Náhradní ${ displaystyle theta}$ a ${ displaystyle phi}$ jako dříve,

${ displaystyle cos theta + cos phi = 2 cos vlevo ({ frac { theta + phi} {2}} vpravo) cos vlevo ({ frac { theta - phi } {2}} vpravo)}$

${ displaystyle cos theta - cos phi = -2 sin vlevo ({ frac { theta + phi} {2}} vpravo) sin vlevo ({ frac { theta - phi} {2}} vpravo)}$

Nerovnosti

Ilustrace sinusových a tečných nerovností.

Obrázek vpravo ukazuje sektor kruhu s poloměrem 1. Sektor je θ/(2π) celého kruhu, takže jeho plocha je θ/2. Zde předpokládáme, že θ < π/2.

${ displaystyle OA = OD = 1}$

${ displaystyle AB = sin theta}$

${ displaystyle CD = tan theta}$

Plocha trojúhelníku OAD je AB/2nebo hřích(θ)/2. Plocha trojúhelníku OCD je CD/2nebo opálení(θ)/2.

Protože trojúhelník OAD leží úplně uvnitř sektoru, který zase leží úplně uvnitř trojúhelníku OCD, my máme

${ displaystyle sin theta < theta < tan theta.}$

Tento geometrický argument se opírá o definice délka oblouku aplocha, které fungují jako předpoklady, jedná se tedy spíše o podmínku uloženou při konstrukci trigonometrické funkce než prokazatelný majetek.^[2] U funkce sine můžeme zpracovat další hodnoty. Li θ > π/2, pak θ > 1. Ale hřích θ ≤ 1 (kvůli Pythagorově identitě), tak hřích θ < θ. Takže máme

${ displaystyle { frac { sin theta} { theta}} <1 mathrm {if} 0 < theta.}$

Pro záporné hodnoty θ máme, podle symetrie sinusové funkce

${ displaystyle { frac { sin theta} { theta}} = { frac { sin (- theta)} {- theta}} <1.}$

Proto

${ displaystyle { frac { sin theta} { theta}} <1 quad { text {if}} quad theta neq 0,}$

a

${ displaystyle { frac { tan theta} { theta}}> 1 quad { text {if}} quad 0 < theta <{ frac { pi} {2}}.}$

Identity zahrnující kalkul

Předkola

${ displaystyle lim _ { theta to 0} { sin theta} = 0}$

${ displaystyle lim _ { theta až 0} { cos theta} = 1}$

Identita sinusového a úhlového poměru

${ displaystyle lim _ { theta až 0} { frac { sin theta} { theta}} = 1}$

Jinými slovy, funkce sine je rozlišitelný na 0 a jeho derivát je 1.

Důkaz: Z předchozích nerovností máme pro malé úhly

${ displaystyle sin theta < theta < tan theta}$,

Proto,

${ displaystyle { frac { sin theta} { theta}} <1 <{ frac { tan theta} { theta}}}$,

Zvažte pravou nerovnost. Od té doby

${ displaystyle tan theta = { frac { sin theta} { cos theta}}}$

${ displaystyle proto 1 <{ frac { sin theta} { theta cos theta}}}$

Znásobte pomocí ${ displaystyle cos theta}$

${ displaystyle cos theta <{ frac { sin theta} { theta}}}$

V kombinaci s levostrannou nerovností:

${ displaystyle cos theta <{ frac { sin theta} { theta}} <1}$

Brát ${ displaystyle cos theta}$ do limitu jako ${ displaystyle theta až 0}$

${ displaystyle lim _ { theta až 0} { cos theta} = 1}$

Proto,

${ displaystyle lim _ { theta až 0} { frac { sin theta} { theta}} = 1}$

Kosinová a úhlová identita

${ displaystyle lim _ { theta až 0} { frac {1- cos theta} { theta}} = 0}$

Důkaz:

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {1- cos theta} { theta}} & = { frac {1- cos ^ {2} theta} { theta (1+ cos theta)}} & = { frac { sin ^ {2} theta} { theta (1+ cos theta)}} & = left ({ frac { sin theta } { theta}} right) times sin theta times left ({ frac {1} {1+ cos theta}} right) end {aligned}}}$

Limity těchto tří veličin jsou 1, 0 a 1/2, takže výsledný limit je nula.

Kosinová identita a poměr čtverců úhlu

${ displaystyle lim _ { theta až 0} { frac {1- cos theta} { theta ^ {2}}} = { frac {1} {2}}}$

Důkaz:

Stejně jako v předchozím důkazu,

${ displaystyle { frac {1- cos theta} { theta ^ {2}}} = { frac { sin theta} { theta}} krát { frac { sin theta} { theta}} times { frac {1} {1+ cos theta}}.}$

Limity těchto tří veličin jsou 1, 1 a 1/2, takže výsledný limit je 1/2.

Důkaz o složení trigových a inverzních trigových funkcí

Všechny tyto funkce vyplývají z Pythagorovy trigonometrické identity. Můžeme dokázat například funkci

${ displaystyle sin [ arctan (x)] = { frac {x} { sqrt {1 + x ^ {2}}}}}$

Důkaz:

Vycházíme z

${ displaystyle sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1}$

Potom tuto rovnici vydělíme ${ displaystyle cos ^ {2} theta}$

${ displaystyle cos ^ {2} theta = { frac {1} { tan ^ {2} theta +1}}}$

Poté použijte substituci ${ displaystyle theta = arctan (x)}$, také použijte Pythagorovu trigonometrickou identitu:

${ displaystyle 1- sin ^ {2} [ arctan (x)] = { frac {1} { tan ^ {2} [ arctan (x)] + 1}}}$

Pak použijeme identitu ${ displaystyle tan [ arctan (x)] equiv x}$

${ displaystyle sin [ arctan (x)] = { frac {x} { sqrt {x ^ {2} +1}}}}$

Viz také

Poznámky

Reference