Eulersova identita - Eulers identity - Wikipedia

V matematice Eulerova identita^{[n 1]} (také známý jako Eulerova rovnice ) je rovnost

{ displaystyle e ^ {i pi} + 1 = 0}

kde

E

je Eulerovo číslo, základna přirozené logaritmy,

i

je imaginární jednotka, což podle definice vyhovuje

i 2 = -1

, a

π

je pi, poměr obvodu a kruh na jeho průměr.

Eulerova identita je pojmenována po švýcarském matematikovi Leonhard Euler. Považuje se za příklad matematická krása protože ukazuje hlubokou souvislost mezi nejzákladnějšími čísly v matematice.

Matematická krása

Eulerova identita je často uváděna jako příklad hloubky matematická krása.^[3] Tři základní aritmetický operace se vyskytují přesně jednou každý: přidání, násobení, a umocňování. Identita také spojuje pět základních matematické konstanty:^[4]

The číslo 0, aditivní identita.
The číslo 1, multiplikativní identita.
The číslo $π$ ( $π$ = 3,141 ...), základní kruh konstantní.
The číslo $E$ ( $E$ = 2,718 ...), a.k.a. Eulerovo číslo, které se hojně vyskytuje v matematická analýza.
The číslo $i$ , imaginární jednotka komplexní čísla.

Rovnice je dále dána ve formě množiny výrazů rovných nule, což je běžná praxe v několika oblastech matematiky.

Stanfordská Univerzita profesor matematiky Keith Devlin řekl: „jako shakespearovský sonet která zachycuje samotnou podstatu lásky nebo obraz, který přináší krásu lidské podoby, která je mnohem víc než jen hluboká kůže, Eulerova rovnice sahá až do samotných hlubin existence “.^[5] A Paul Nahin, emeritní profesor na University of New Hampshire, který napsal knihu věnovanou Eulerův vzorec a jeho aplikace v Fourierova analýza, popisuje Eulerovu identitu jako „výjimečné krásy“.^[6]

Spisovatel matematiky Constance Reid se domníval, že Eulerova identita je „nejslavnějším vzorcem v celé matematice“.^[7] A Benjamin Peirce, Američan z 19. století filozof, matematik a profesor na Harvardská Univerzita, poté, co během přednášky prokázal Eulerovu identitu, uvedl, že identita „je naprosto paradoxní; nemůžeme jí porozumět a nevíme, co to znamená, ale dokázali jsme to, a proto víme, že to musí být pravda“.^[8]

Průzkum čtenářů provedl Matematický zpravodaj v roce 1990 označil Eulerovu identitu za „nejkrásnější teorém v matematice “.^[9] V další anketě čtenářů, kterou provedl Svět fyziky v roce 2004 byla Eulerova identita spojena Maxwellovy rovnice (z elektromagnetismus ) jako „největší rovnice vůbec“.^[10]

Studie mozků šestnácti matematiků zjistila, že „emocionální mozek“ (konkrétně mediální) orbitofrontální kůra, který se rozsvítí pro krásnou hudbu, poezii, obrázky atd.) svítí důsledněji pro Eulerovu identitu než pro jakýkoli jiný vzorec.^[11]

Nejméně tři knihy populární matematika byly zveřejněny o Eulerově identitě:

Báječný vzorec Dr. Eulera: Léčí mnoho matematických neduhůtím, že Paul Nahin (2011)^[12]
Nejelegantnější rovnice: Eulerův vzorec a krása matematikyautor: David Stipp (2017)^[13]
Eulerova průkopnická rovnice: Nejkrásnější věta v matematicetím, že Robin Wilson (2018).^[14]

Vysvětlení

Imaginární exponenti

V této animaci

N

bere různé rostoucí hodnoty od 1 do 100. Výpočet

(1 + .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} iπ / N) N

se zobrazí jako kombinovaný efekt

N

opakované množení v složité letadlo, přičemž konečný bod je skutečná hodnota

(1 + iπ / N) N

. Je to vidět jako

N

zvětší se

(1 + iπ / N) N

blíží se hranici -1.

V zásadě to tvrdí Eulerova identita ${ displaystyle e ^ {i pi}}$ se rovná -1. Výraz ${ displaystyle e ^ {i pi}}$ je zvláštní případ výrazu ${ displaystyle e ^ {z}}$ , kde $z$ je jakékoli komplexní číslo. Obecně, ${ displaystyle e ^ {z}}$ je definován pro komplex $z$ rozšířením jednoho z definice exponenciální funkce od skutečných exponentů po komplexní exponenty. Například jedna společná definice je:

{ displaystyle e ^ {z} = lim _ {n to infty} left (1 + { frac {z} {n}} right) ^ {n}.}

Eulerova identita tedy uvádí, že limit, as $n$ blíží se nekonečnu, z ${ displaystyle (1 + i pi / n) ^ {n}}$ se rovná -1. Tento limit je znázorněn na animaci vpravo.

Eulerův vzorec pro obecný úhel

Eulerova identita je a speciální případ z Eulerův vzorec, který uvádí, že pro všechny reálné číslo $X$ ,

{ displaystyle e ^ {ix} = cos x + i sin x}

kde vstupy z trigonometrické funkce sinus a kosinus jsou uvedeny v radiány.

Zejména když $X = π$ ,

{ displaystyle e ^ {i pi} = cos pi + i sin pi.}

Od té doby

{ displaystyle cos pi = -1}

a

{ displaystyle sin pi = 0,}

z toho vyplývá, že

{ displaystyle e ^ {i pi} = - 1 + 0i,}

což přináší Eulerovu identitu:

{ displaystyle e ^ {i pi} + 1 = 0.}

Geometrická interpretace

Jakékoli komplexní číslo ${ displaystyle z = x + iy}$ lze vyjádřit bodem ${ displaystyle (x, y)}$ na složité letadlo. Tento bod může být také zastoupen v polární souřadnice tak jako ${ displaystyle (r, theta)}$ , kde r je absolutní hodnota z (vzdálenost od počátku) a ${ displaystyle theta}$ je argumentem z (úhel proti směru hodinových ručiček od kladného X-osa). Podle definic sinu a kosinu má tento bod kartézské souřadnice ${ displaystyle (r cos theta, r sin theta)}$ z čehož vyplývá, že ${ displaystyle z = r ( cos theta + i sin theta)}$ . Podle Eulerova vzorce to odpovídá tvrzení ${ displaystyle z = re ^ {i theta}}$ .

Eulerova identita to říká ${ displaystyle -1 = e ^ {i pi}}$ . Od té doby ${ displaystyle e ^ {i pi}}$ je ${ displaystyle re ^ {i theta}}$ pro r = 1 a ${ displaystyle theta = pi}$ , lze to interpretovat jako fakt o čísle -1 na komplexní rovině: jeho vzdálenost od počátku je 1 a jeho úhel od kladné X-os je ${ displaystyle pi}$ radiány.

Navíc, když nějaké komplexní číslo z je znásobeno podle ${ displaystyle e ^ {i theta}}$ , má účinek rotace z proti směru hodinových ručiček o úhel ${ displaystyle theta}$ v komplexní rovině. Protože násobení −1 odráží bod napříč počátkem, lze Eulerovu identitu interpretovat tak, že říká, že rotace libovolného bodu ${ displaystyle pi}$ radiány kolem počátku mají stejný účinek jako odrážení bodu napříč počátkem.

Zobecnění

Eulerova identita je také zvláštním případem obecnější identity, kterou $n$ th kořeny jednoty, pro $n > 1$ , přidat až 0:

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n-1} e ^ {2 pi i { frac {k} {n}}} = 0.}

Eulerova identita je případ, kdy $n = 2$ .

V jiné oblasti matematiky pomocí čtveřice umíme ukázat, že podobná identita platí i pro čtveřice. Nechat ${i, j, k}$ být základními prvky; pak,

{ displaystyle e ^ {{ frac {1} { sqrt {3}}} (i pm j pm k) pi} + 1 = 0.}

Obecně řečeno nemovitý $A 1$ , $A 2$ , a $A 3$ takhle $A 12 + A 22 + A 32 = 1$ , pak,

{ displaystyle e ^ { left (a_ {1} i + a_ {2} j + a_ {3} k right) pi} + 1 = 0.}

Pro octonions, se skutečnými $A n$ takhle $A 12 + A 22 + ... + A 72 = 1$ , as základními prvky octonion ${i 1, i 2, ..., i 7}$ ,

{ displaystyle e ^ { left (a_ {1} i_ {1} + a_ {2} i_ {2} + dots + a_ {7} i_ {7} right) pi} + 1 = 0.}

Dějiny

Tvrdilo se, že Eulerova identita se objevuje v jeho monumentálním díle matematické analýzy publikovaném v roce 1748, Úvod do analysin infinitorum.^[15] Je však otázkou, zda tento konkrétní koncept lze přičíst samotnému Eulerovi, protože ho nikdy nevyslovil.^[16] Navíc, zatímco Euler psal do Úvod o tom, čemu dnes říkáme Eulerův vzorec,^[17] který souvisí $E$ s kosinusovými a sinusovými členy v oblasti komplexních čísel, anglický matematik Roger Cotes (který zemřel v roce 1716, kdy Eulerovi bylo pouhých 9 let) také věděl o tomto vzorci a Euler mohl tyto znalosti získat prostřednictvím svého švýcarského krajana Johann Bernoulli.^[16]

Robin Wilson uvádí následující.^[18]

Viděli jsme, jak [Eulerovu identitu] lze snadno odvodit z výsledků Johanna Bernoulliho a Rogera Cotese, ale zdá se, že ani jeden z nich tak neučinil. Zdá se, že ani Euler to výslovně nezapsal - a rozhodně se neobjevuje v žádné z jeho publikací - i když si jistě uvědomil, že to vyplývá okamžitě z jeho identity [tj. Eulerův vzorec ], E^ix = cos X + i hřích X. Navíc se zdá být neznámé, kdo jako první výslovně uvedl výsledek….

Viz také

Poznámky

^ Termín „Eulerova identita“ (nebo „Eulerova identita“) se také používá jinde k označení jiných konceptů, včetně souvisejícího obecného vzorce $E ix = cos X + i hřích X$ ,^[1] a Eulerův vzorec produktu.^[2]

Reference

^ Dunham, 1999, p. xxiv.
^ Stepanov, S.A. (7. února 2011). „Eulerova identita“. Encyclopedia of Mathematics. Citováno 7. září 2018.
^ Gallagher, James (13. února 2014). „Matematika: Proč mozek vidí matematiku jako krásu“. BBC News Online. Citováno 26. prosince 2017.
^ Paulos, 1992, str. 117.
^ Nahin, 2006, p. 1.
^ Nahin, 2006, str. xxxii.
^ Reid, kapitola E.
^ Maor, p. 160 a Kasner & Newman, p. 103–104.
^ Wells, 1990.
^ Crease, 2004.
^ Zeki a kol., 2014.
^ Nahin, Paul (2011). Pohádkový vzorec Dr. Eulera: léčí mnoho matematických neduhů. Princeton University Press. ISBN 978-0691118222.
^ Stipp, David (2017). Nejelegantnější rovnice: Eulerův vzorec a krása matematiky (První vydání). Základní knihy. ISBN 978-0465093779.
^ Wilson, Robin (2018). Eulerova průkopnická rovnice: nejkrásnější věta v matematice. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198794936.
^ Conway & Guy, str. 254–255.
^ ^A ^b Sandifer, str. 4.
^ Euler, str. 147.
^ Wilson, str. 151-152.

Zdroje

Conway, John H., a Guy, Richard K. (1996), Kniha čísel Springer ISBN 978-0-387-97993-9
Záhyb, Robert P. (10. května 2004), "Největší rovnice vůbec ", Svět fyziky [nutná registrace]
Dunham, William (1999), Euler: Pán nás všech, Mathematical Association of America ISBN 978-0-88385-328-3
Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Lipsko: B. G. Teubneri
Kasner, E., a Newman, J. (1940), Matematika a představivost, Simon & Schuster
Maor, Eli (1998), $E$ : Příběh čísla, Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7
Nahin, Paul J. (2006), Báječný vzorec Dr. Eulera: Léčí mnoho matematických neduhů, Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2
Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics, Knihy tučňáků ISBN 0-14-014574-5
Reid, Constance (různá vydání), Od nuly do nekonečna, Mathematical Association of America
Sandifer, C. Edward (2007), Eulerovy největší hity, Mathematical Association of America ISBN 978-0-88385-563-8
Stipp, David (2017), Nejelegantnější rovnice: Eulerův vzorec a krása matematiky, Základní knihy
Wells, David (1990). „Jsou ty nejkrásnější?“. Matematický zpravodaj. 12 (3): 37–41. doi:10.1007 / BF03024015.
Wilson, Robin (2018), Eulerova průkopnická rovnice: Nejkrásnější věta v matematice, Oxford University Press
Zeki, S.; Romaya, J. P .; Benincasa, D. M. T .; Atiyah, M. F. (2014), „Zkušenost matematické krásy a její neurální koreláty“, Frontiers in Human Neuroscience, 8: 68, doi:10.3389 / fnhum.2014.00068, PMC 3923150, PMID 24592230

externí odkazy

[3] Termín „Eulerova identita“ (nebo „Eulerova identita“) se také používá jinde k označení jiných konceptů, včetně souvisejícího obecného vzorce $E ix = cos X + i hřích X$ ,^[1] a Eulerův vzorec produktu.^[2]

[1] Dunham, 1999, p. xxiv.

[EOM-2] Stepanov, S.A. (7. února 2011). „Eulerova identita“. Encyclopedia of Mathematics. Citováno 7. září 2018.

[Gallagher2014-4] Gallagher, James (13. února 2014). „Matematika: Proč mozek vidí matematiku jako krásu“. BBC News Online. Citováno 26. prosince 2017.

[5] Paulos, 1992, str. 117.

[6] Nahin, 2006, p. 1.

[7] Nahin, 2006, str. xxxii.

[8] Reid, kapitola E.

[9] Maor, p. 160 a Kasner & Newman, p. 103–104.

[10] Wells, 1990.

[11] Crease, 2004.

[12] Zeki a kol., 2014.

[13] Nahin, Paul (2011). Pohádkový vzorec Dr. Eulera: léčí mnoho matematických neduhů. Princeton University Press. ISBN 978-0691118222.

[14] Stipp, David (2017). Nejelegantnější rovnice: Eulerův vzorec a krása matematiky (První vydání). Základní knihy. ISBN 978-0465093779.

[15] Wilson, Robin (2018). Eulerova průkopnická rovnice: nejkrásnější věta v matematice. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198794936.

[16] Conway & Guy, str. 254–255.

[Sandifer2007-17] A ^b Sandifer, str. 4.

[18] Euler, str. 147.

[19] Wilson, str. 151-152.

[n 1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[1]

[2]