Haversinův vzorec - Haversine formula

The Haversinův vzorec určuje vzdálenost velkého kruhu mezi dvěma body na a koule vzhledem k jejich zeměpisné délky a zeměpisné šířky. Důležité v navigace, jedná se o speciální případ obecnějšího vzorce v sférická trigonometrie, zákon haversinů, který spojuje strany a úhly sférických trojúhelníků.

První tabulka haversinů v angličtině publikoval James Andrew v roce 1805,^[1] ale Florian Cajori připisuje dřívější použití do José de Mendoza y Ríos v roce 1801.^[2]^[3] Termín haversine byl vytvořen v roce 1835 autorem James Inman.^[4]^[5]

Tato jména vyplývají ze skutečnosti, že jsou obvykle psána z hlediska funkce haversine, kterou dává $hav (θ) = hřích 2 (θ / 2)$ . Vzorce lze rovnoměrně psát, pokud jde o jakýkoli násobek haversine, například starší versine funkce (dvojnásobek haversinu). Před příchodem počítačů se ukázalo, že eliminace dělení a násobení dvěma faktory je natolik vhodná, že tabulky hodnot haversine a logaritmy byly zahrnuty do navigačních a trigonometrických textů 19. a počátku 20. století.^[6]^[7]^[8] V dnešní době je forma haversinů také pohodlná v tom, že nemá žádný koeficient před $hřích 2$ funkce.

Formulace

Nech středový úhel $Θ$ mezi libovolnými dvěma body na kouli být:

{ displaystyle Theta = { frac {d} {r}}}

kde:

$d$ je vzdálenost mezi dvěma body podél a velký kruh koule (viz sférická vzdálenost ),
$r$ je poloměr koule.

The Haversinův vzorec umožňuje haversine z $Θ$ (to znamená, $hav (Θ)$ ) se vypočítá přímo ze zeměpisné šířky a délky dvou bodů:

{ displaystyle operatorname {hav} left ( Theta right) = operatorname {hav} left ( varphi _ {2} - varphi _ {1} right) + cos left ( varphi _ {1} right) cos left ( varphi _ {2} right) operatorname {hav} left ( lambda _ {2} - lambda _ {1} right)}

kde

$φ 1$ , $φ 2$ jsou zeměpisná šířka bodu 1 a zeměpisná šířka bodu 2 (v radiánech),
$λ 1$ , $λ 2$ jsou zeměpisná délka bodu 1 a zeměpisná délka bodu 2 (v radiánech).

Nakonec funkce haversine $hav (Θ)$ , aplikovaný výše do obou středového úhlu $Θ$ a rozdíly v zeměpisné šířce a délce jsou

{ displaystyle operatorname {hav} ( theta) = sin ^ {2} left ({ frac { theta} {2}} right) = { frac {1- cos ( theta)} {2}}}

Funkce haversine počítá půl a versine úhlu $θ$ .

Vyřešit vzdálenost $d$ , použijte archaversin (inverzní haversine ) až $h = hav (Θ)$ nebo použijte arcsine (inverzní sinus) funkce:

{ displaystyle d = r operatorname {archav} (h) = 2r arcsin left ({ sqrt {h}} right)}

nebo přesněji:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} d & = 2r arcsin left ({ sqrt { operatorname {hav} ( varphi _ {2} - varphi _ {1}) + cos ( varphi _ {1 }) cos ( varphi _ {2}) operatorname {hav} ( lambda _ {2} - lambda _ {1})}} vpravo) & = 2r arcsin vlevo ({ sqrt { sin ^ {2} left ({ frac { varphi _ {2} - varphi _ {1}} {2}} right) + cos ( varphi _ {1}) cos ( varphi _ {2}) sin ^ {2} left ({ frac { lambda _ {2} - lambda _ {1}} {2}} right)}} right) end {zarovnáno} }}

Při použití těchto vzorců je třeba zajistit, aby $h$ nepřesahuje 1 kvůli a plovoucí bod chyba ( $d$ je pouze nemovitý pro $0 \leq h \leq 1$ ). $h$ pouze se blíží 1 pro antipodální body (na opačných stranách koule) - v této oblasti mají ve vzorci při použití konečné přesnosti sklon k relativně velkým numerickým chybám. Protože $d$ je pak velký (blíží se $π R$ , polovina obvodu), malá chyba často není velkým problémem v tomto neobvyklém případě (i když existují i jiné vzdálenost velkého kruhu vzorce, které se tomuto problému vyhnou). (Výše uvedený vzorec je někdy psán ve smyslu arkustangens funkce, ale toto trpí podobnými numerickými problémy poblíž $h = 1$ .)

Jak je popsáno níže, podobný vzorec lze napsat pomocí kosinusů (někdy nazývaných sférický zákon kosinů, nesmí být zaměňována s zákon kosinů pro rovinnou geometrii) místo haversinů, ale pokud jsou dva body blízko u sebe (např. kilometr od sebe, na Zemi), můžete skončit $cos (d / R) = 0.99999999$ , což vede k nepřesné odpovědi. Vzhledem k tomu, že vzorec haversine používá sinusy, tomuto problému se vyhýbá.

Buď vzorec je pouze přibližný, pokud je použit na Země, což není dokonalá sféra: „Poloměr Země " $R$ se pohybuje od 6356,752 km na pólech do 6378,137 km na rovníku. Ještě důležitější je poloměr zakřivení severojižní čáry na zemském povrchu je o 1% větší na pólech (≈ 6399 594 km) než na rovníku (≈ 6335 439 km) - takže haversinův vzorec a zákon kosinů nelze zaručit správně na lepší než 0,5%.^{[Citace je zapotřebí ]} Přesnější metody, které zohledňují elipticitu Země, jsou dány Vincentyho vzorce a další vzorce v zeměpisná vzdálenost článek.

Zákon haversinů

Sférický trojúhelník řešený zákonem haversines

Vzhledem k jednotkové kouli je „trojúhelník“ na povrchu koule definován znakem velké kruhy spojující tři body $u$ , $proti$ , a $w$ na kouli. Pokud jsou délky těchto tří stran $A$ (z $u$ na $proti$ ), $b$ (z $u$ na $w$ ), a $C$ (z $proti$ na $w$ ) a úhel rohu naproti $C$ je $C$ , pak zákon haversines říká:^[9]

{ displaystyle operatorname {hav} (c) = operatorname {hav} (a-b) + sin (a) sin (b) operatorname {hav} (C).}

Jelikož se jedná o jednotkovou kouli, délky $A$ , $b$ , a $C$ jsou prostě rovné úhlům (v radiány ) podřízené těmito stranami od středu koule (u neunitních koulí se každá z těchto délek oblouku rovná její středový úhel vynásobený poloměrem $R$ koule).

Abychom z tohoto zákona získali Haversinův vzorec z předchozí části, vezmeme v úvahu pouze zvláštní případ, kde $u$ je Severní pól, zatímco $proti$ a $w$ jsou dva body, jejichž oddělení $d$ je třeba určit. V tom případě, $A$ a $b$ jsou $π / 2 - φ 1,2$ (to znamená, co-zeměpisné šířky), $C$ je zeměpisná délka $λ 2 - λ 1$ , a $C$ je žádoucí $d / R$ . Všímat si toho $hřích(π / 2 - φ) = cos (φ)$ , okamžitě následuje vzorec haversine.

Pro odvození zákona haversinů je třeba začít s sférický zákon kosinů:

{ displaystyle cos (c) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b) cos (C). ,}

Jak bylo uvedeno výše, tento vzorec je špatně podmíněným způsobem řešení pro $C$ když $C$ je malý. Místo toho nahradíme identitu $cos (θ) = 1 - 2 hav (θ)$ , a také zaměstnávat přídavná identita $cos (A - b) = cos (A) cos (b) + hřích (A) hřích (b)$ , získat zákon haversines, výše.

Viz také

Reference

^ van Brummelen, Glen Robert (2013). Nebeská matematika: Zapomenuté umění sférické trigonometrie. Princeton University Press. ISBN 9780691148922. 0691148929. Citováno 2015-11-10.
^ de Mendoza y Ríos, Joseph (1795). Memoria sobre algunos métodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares: y aplicacion de su teórica á la solucion de otros problemas de navegacion (ve španělštině). Madrid, Španělsko: Imprenta Real.
^ Cajori, Florian (1952) [1929]. Historie matematických notací. 2 (2 (3. opravený tisk čísla 1929) ed.). Chicago: Otevřená soudní vydavatelská společnost. p. 172. ISBN 978-1-60206-714-1. 1602067147. Citováno 2015-11-11. Haversine nejprve se objeví v tabulkách logaritmických versines z José de Mendoza y Rios (Madrid, 1801, také 1805, 1809), a později v pojednání o navigaci James Inman (1821). (Pozn. ISBN a odkaz na dotisk druhého vydání Cosimo, Inc., New York, 2013.)
^ Inman, James (1835) [1821]. Navigace a námořní astronomie: Pro potřeby britských námořníků (3. vyd.). Londýn, Velká Británie: W. Woodward, C. & J. Rivington. Citováno 2015-11-09. (Čtvrté vydání: [1].)
^ "haversine". Oxfordský anglický slovník (2. vyd.). Oxford University Press. 1989.
^ H. B. Goodwin, Haversine v námořní astronomii, Sborník Naval Institute, sv. 36, č. 3 (1910), s. 735–746: Je zřejmé, že pokud je použita tabulka Haversines, zachrání nás v prvním případě problém s dělením součtu logaritmů dvěma a na druhém místě vynásobení úhlu převzatého z tabulek stejným počtem. To je zvláštní výhoda formy stolu, který poprvé představil profesor Inman z Portsmouth Royal Navy College před téměř stoletím.
^ W. W. Sheppard a C. C. Soule, Praktická navigace (World Technical Institute: Jersey City, 1922).
^ E. R. Hedrick, Logaritmické a trigonometrické tabulky (Macmillan, New York, 1913).
^ Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1922]. „Dodatek B: B9. Rovinná a sférická trigonometrie: Vzorce vyjádřené z hlediska funkce Haversine“. Matematická příručka pro vědce a inženýry: Definice, věty a vzorce pro referenci a recenzi (3. vyd.). Mineola, New York: Dover Publications. 892–893. ISBN 978-0-486-41147-7.

Další čtení

Úřad pro sčítání lidu USA Nejčastější dotazy týkající se geografických informačních systémů (obsah byl přesunut do Jaký je nejlepší způsob výpočtu vzdálenosti mezi 2 body? )
R. W. Sinnott, „Cnosti Haversine“, Obloha a dalekohled 68 (2), 159 (1984).
Odvození vzorce Haversine, Zeptejte se Dr. Math (20. - 21. dubna 1999).
Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Sférická trigonometrie, Trigonometrie elementární geometrie webové stránky (1997).
W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner a H. Küstner, Stručná encyklopedie matematiky VNR, 2. vyd., Kap. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).

externí odkazy

Implementace vzorce Haversine v 91 jazycích na rosettacode.org a v 17 jazycích na codecodex.com
Další implementace v C ++, C (MacOS), Pascal, Krajta, Rubín, JavaScript, PHP,Matlab, MySQL

[Brummelen_2013-1] van Brummelen, Glen Robert (2013). Nebeská matematika: Zapomenuté umění sférické trigonometrie. Princeton University Press. ISBN 9780691148922. 0691148929. Citováno 2015-11-10.

[Ríos_1795-2] Mendoza y Ríos, Joseph (1795). Memoria sobre algunos métodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares: y aplicacion de su teórica á la solucion de otros problemas de navegacion (ve španělštině). Madrid, Španělsko: Imprenta Real.

[Cajori_1929-3] Cajori, Florian (1952) [1929]. Historie matematických notací. 2 (2 (3. opravený tisk čísla 1929) ed.). Chicago: Otevřená soudní vydavatelská společnost. p. 172. ISBN 978-1-60206-714-1. 1602067147. Citováno 2015-11-11. Haversine nejprve se objeví v tabulkách logaritmických versines z José de Mendoza y Rios (Madrid, 1801, také 1805, 1809), a později v pojednání o navigaci James Inman (1821). (Pozn. ISBN a odkaz na dotisk druhého vydání Cosimo, Inc., New York, 2013.)

[Inman_1835-4] Inman, James (1835) [1821]. Navigace a námořní astronomie: Pro potřeby britských námořníků (3. vyd.). Londýn, Velká Británie: W. Woodward, C. & J. Rivington. Citováno 2015-11-09. (Čtvrté vydání: [1].)

[OED_1989_Haversine-5] "haversine". Oxfordský anglický slovník (2. vyd.). Oxford University Press. 1989.

[6] H. B. Goodwin, Haversine v námořní astronomii, Sborník Naval Institute, sv. 36, č. 3 (1910), s. 735–746: Je zřejmé, že pokud je použita tabulka Haversines, zachrání nás v prvním případě problém s dělením součtu logaritmů dvěma a na druhém místě vynásobení úhlu převzatého z tabulek stejným počtem. To je zvláštní výhoda formy stolu, který poprvé představil profesor Inman z Portsmouth Royal Navy College před téměř stoletím.

[7] W. W. Sheppard a C. C. Soule, Praktická navigace (World Technical Institute: Jersey City, 1922).

[8] E. R. Hedrick, Logaritmické a trigonometrické tabulky (Macmillan, New York, 1913).

[Korn_2000-9] Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1922]. „Dodatek B: B9. Rovinná a sférická trigonometrie: Vzorce vyjádřené z hlediska funkce Haversine“. Matematická příručka pro vědce a inženýry: Definice, věty a vzorce pro referenci a recenzi (3. vyd.). Mineola, New York: Dover Publications. 892–893. ISBN 978-0-486-41147-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]