Aproximace malého úhlu - Small-angle approximation

Přibližně stejné chování některých (trigonometrických) funkcí pro

X \to 0

The aproximace malého úhlu lze použít k přiblížení hodnot hlavní trigonometrické funkce, za předpokladu, že dotyčný úhel je malý a je měřen v radiány:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} sin theta & přibližně theta cos theta & přibližně 1 - { frac { theta ^ {2}} {2}} přibližně 1 tan theta & přibližně theta end {zarovnáno}}}

Tyto aproximace mají širokou škálu použití v oborech fyzika a inženýrství, počítaje v to mechanika, elektromagnetismus, optika, kartografie, astronomie, a počítačová věda.^[1]^[2] Jedním z důvodů je to, že se mohou výrazně zjednodušit diferenciální rovnice na které není třeba odpovídat s naprostou přesností.

Existuje řada způsobů, jak demonstrovat platnost aproximací malého úhlu. Nejpřímější metodou je zkrátit Řada Maclaurin pro každou z trigonometrických funkcí. Záleží na pořadí aproximace, ${ displaystyle textstyle cos theta}$ je aproximován jako jeden ${ displaystyle 1}$ nebo jako ${ displaystyle textstyle 1 - { frac { theta ^ {2}} {2}}}$ .^[3]

Odůvodnění

Grafický

Přesnost aproximací lze vidět níže na obrázku 1 a obrázku 2. Jak se míra úhlu blíží nule, rozdíl mezi aproximací a původní funkcí se také blíží 0.

Obrázek 1. Porovnání základních lichých trigonometrických funkcí s $θ$ . Je vidět, že jak se úhel blíží 0, aproximace se zlepšují.
Obrázek 2. Srovnání $cos θ$ na $1 - θ 2 / 2$ . Je vidět, že jak se úhel blíží 0, aproximace se zlepšuje.

Geometrický

Červená část vpravo, $d$ , je rozdíl mezi délkami přepony, $H$ a sousední strana, $A$ . Jak je znázorněno, $H$ a $A$ jsou téměř stejně dlouhé, což znamená $cos θ$ je blízko 1 a $θ 2 / 2$ pomáhá oříznout červenou.

{ displaystyle cos { theta} přibližně 1 - { frac { theta ^ {2}} {2}}}

Opačná noha, $Ó$ , je přibližně stejná jako délka modrého oblouku, $s$ . Shromažďování faktů z geometrie, $s = Aθ$ z trigonometrie, $hřích θ = Ó / H$ a $opálení θ = Ó / A$ a z obrázku, $Ó \approx s$ a $H \approx A$ vede k:

{ displaystyle sin theta = { frac {O} {H}} přibližně { frac {O} {A}} = tan theta = { frac {O} {A}} přibližně { frac {s} {A}} = { frac {A theta} {A}} = theta.}

Zjednodušení listů,

{ displaystyle sin theta přibližně tan theta přibližně theta.}

Počet

Za použití zmáčknout teorém,^[4] můžeme to dokázat ${ displaystyle lim _ { theta až 0} { frac { sin ( theta)} { theta}} = 1,}$ což je formální přepracování aproximace ${ displaystyle sin ( theta) přibližně theta}$ pro malé hodnoty θ.

Pečlivější použití věty o zmáčknutí to dokazuje ${ displaystyle lim _ { theta až 0} { frac { tan ( theta)} { theta}} = 1,}$ z čehož usuzujeme, že ${ displaystyle tan ( theta) přibližně theta}$ pro malé hodnoty θ.

Konečně, Pravidlo L'Hôpital říká nám to ${ displaystyle lim _ { theta až 0} { frac { cos ( theta) -1} { theta ^ {2}}} = lim _ { theta až 0} { frac { - sin ( theta)} {2 theta}} = - { frac {1} {2}},}$ který přeskupuje na ${ displaystyle cos ( theta) přibližně 1 - { frac { theta ^ {2}} {2}}}$ pro malé hodnoty θ. Alternativně můžeme použít vzorec dvojitého úhlu ${ displaystyle cos 2A equiv 1-2 sin ^ {2} A}$ . Necháním ${ displaystyle theta = 2A}$ , máme to ${ displaystyle cos theta = 1-2 sin ^ {2} { frac { theta} {2}} přibližně 1 - { frac { theta ^ {2}} {2}}}$ .

Algebraický

Aproximace malého úhlu pro sinusovou funkci.

Maclaurinová expanze (Taylorova expanze kolem 0) příslušné trigonometrické funkce je^[5]

{ displaystyle { begin {aligned} sin theta & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} theta ^ {2n + 1} & = theta - { frac { theta ^ {3}} {3!}} + { frac { theta ^ {5}} {5!}} - { frac { theta ^ {7}} {7!}} + cdots end {zarovnáno}}}

kde $θ$ je úhel v radiánech. Jasněji řečeno,

{ displaystyle sin theta = theta - { frac { theta ^ {3}} {6}} + { frac { theta ^ {5}} {120}} - { frac { theta ^ {7}} {5040}} + cdots}

Je snadno vidět, že druhý nejvýznamnější člen (třetího řádu) spadá jako krychle prvního členu; tedy i pro ne tak malý argument, jako je 0,01, je hodnota druhého nejvýznamnějšího výrazu řádově 0.000001nebo 1/10000 první termín. Dá se tedy bezpečně přiblížit:

{ displaystyle sin theta přibližně theta}

Rozšířením, protože kosinus malého úhlu je téměř téměř 1 a tečna je dána sínusem děleným kosinem,

{ Displaystyle tan theta přibližně sin theta přibližně theta}

,

Chyba aproximací

Obrázek 3. Graf relativní chyby pro malé úhlové aproximace.

Obrázek 3 ukazuje relativní chyby aproximací malého úhlu. Úhly, ve kterých relativní chyba přesahuje 1%, jsou následující:

$opálení θ \approx θ$ na asi 0,176 radiánech (10 °).
$hřích θ \approx θ$ asi 0,244 radiánu (14 °).
$cos θ \approx 1 - θ 2 / 2$ na asi 0,664 radiánech (38 °).

Úhel součtu a rozdílu

The věty o sčítání a odčítání úhlu když je jeden z úhlů malý (β ≈ 0), snižte jej na následující:

cos (α + β)	≈ cos (α) - βsin (α),
cos (α - β)	≈ cos (α) + βsin (α),
hřích (α + β)	≈ sin (α) + βcos (α),
sin (α - β)	≈ sin (α) - βcos (α).

Specifické použití

Astronomie

v astronomie, úhlová velikost nebo úhel podřízený obrazem vzdáleného objektu je často jen několik obloukové sekundy, takže se dobře hodí k malé úhlové aproximaci.^[6] Lineární velikost ( $D$ ) souvisí s úhlovou velikostí ( $X$ ) a vzdálenost od pozorovatele ( $d$ ) jednoduchým vzorcem:

{ displaystyle D = X { frac {d} {206 , 265}}}

kde $X$ se měří v obloukových sekundách.

Číslo 206265 je přibližně stejný jako počet obloukových sekund v a kruh (1296000), děleno $2π$ .

Přesný vzorec je

{ displaystyle D = d tan vlevo (X { frac {2 pi} {1 , 296 , 000}} vpravo)}

a výše uvedená aproximace následuje, když $opálení X$ je nahrazen $X$ .

Pohyb kyvadla

Kosinová aproximace druhého řádu je obzvláště užitečná při výpočtu potenciální energie a kyvadlo, které lze poté aplikovat pomocí a Lagrangian najít nepřímou (energetickou) pohybovou rovnici.

Při výpočtu doba jednoduchého kyvadla se používá aproximace malého úhlu pro sinus, aby bylo možné snadno vyřešit výslednou diferenciální rovnici porovnáním s diferenciální rovnicí popisující jednoduchý harmonický pohyb.

Optika

V optice tvoří aproximace malého úhlu základ paraxiální aproximace.

Vlnová interference

Sinusová a tečná aproximace malého úhlu se používají ve vztahu k experiment s dvojitou štěrbinou nebo a difrakční mřížka zjednodušit rovnice, např. 'fringe spacing' = 'vlnová délka' × 'vzdálenost od štěrbin k obrazovce' ÷ 'štěrbinová separace'.^[7]

Strukturální mechanika

Aproximace malého úhlu se objevuje také ve strukturální mechanice, zejména ve stabilitních a bifurkačních analýzách (hlavně u osově zatížených sloupů připravených podstoupit vzpěr ). To vede k významným zjednodušením, i když za cenu přesnosti a vhledu do skutečného chování.

Pilotování

The Pravidlo 1 ze 60 použito v letecká navigace má svůj základ v aproximaci malým úhlem plus skutečnost, že jeden radián je přibližně 60 stupňů.

Interpolace

Vzorce pro sčítání a odčítání zahrnující malý úhel lze použít pro interpolovat mezi trigonometrická tabulka hodnoty:

Příklad: sin (0,755)

hřích (0,755)	= hřích (0,75 + 0,005)
	≈ sin (0,75) + (0,005) cos (0,75)
	≈ (0.6816) + (0.005)(0.7317)	[Získané hodnoty sin (0,75) a cos (0,75) z trigonometrické tabulky]
	≈ 0.6853.

Viz také

Reference

^ Holbrow, Charles H .; et al. (2010), Moderní úvodní fyzika (2. vyd.), Springer Science & Business Media, str. 30–32, ISBN 0387790799.
^ Plesha, Michael; et al. (2012), Inženýrská mechanika: statika a dynamika (2. vyd.), McGraw-Hill Higher Education, str. 12, ISBN 0077570618.
^ "Aproximace v malém úhlu | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Citováno 2020-07-22.
^ Larson, Ron; et al. (2006), Kalkul jedné proměnné: rané transcendentální funkce (4. vydání), Cengage Learning, str. 85, ISBN 0618606254.
^ Boas, Mary L. (2006). Matematické metody ve fyzikálních vědách. Wiley. p. 26. ISBN 978-0-471-19826-0.
^ Green, Robin M. (1985), Sférická astronomie, Cambridge University Press, str. 19, ISBN 0521317797.
^ http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/slits.html

[Holbrow2010-1] Holbrow, Charles H .; et al. (2010), Moderní úvodní fyzika (2. vyd.), Springer Science & Business Media, str. 30–32, ISBN 0387790799.

[Plesha2012-2] Plesha, Michael; et al. (2012), Inženýrská mechanika: statika a dynamika (2. vyd.), McGraw-Hill Higher Education, str. 12, ISBN 0077570618.

[3] "Aproximace v malém úhlu | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Citováno 2020-07-22.

[Larson2006-4] Larson, Ron; et al. (2006), Kalkul jedné proměnné: rané transcendentální funkce (4. vydání), Cengage Learning, str. 85, ISBN 0618606254.

[5] Boas, Mary L. (2006). Matematické metody ve fyzikálních vědách. Wiley. p. 26. ISBN 978-0-471-19826-0.

[Green1985-6] Green, Robin M. (1985), Sférická astronomie, Cambridge University Press, str. 19, ISBN 0521317797.

[7] ttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/slits.html

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]