Pentagramma mirificum - Pentagramma mirificum

Ukázkové konfigurace pentagramma mirificum

Vztahy mezi úhly a stranami pěti pravoúhlých trojúhelníků sousedících s vnitřním pětiúhelníkem. Jejich Napierovy kruhy obsahovat kruhové směny dílů

{ displaystyle (a,}

{ displaystyle pi / 2-B,}

{ displaystyle pi / 2-c,}

{ displaystyle pi / 2-A,}

{ displaystyle b)}

Pentagramma mirificum (Latinsky pro zázračný pentagram) je hvězdný polygon na koule, složený z pěti velký kruh oblouky, z nichž všechny vnitřní úhly jsou správné úhly. Tento tvar popsal John Napier ve své knize z roku 1614 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Popis obdivuhodné tabulky logaritmů) spolu s pravidla které spojují hodnoty trigonometrické funkce z pěti částí a že jo sférický trojúhelník (dva úhly a tři strany). Vlastnosti pentagramma mirificum byly studovány mj Carl Friedrich Gauss.^[1]

Geometrické vlastnosti

Na kouli se úhly i strany trojúhelníku (oblouky velkých kruhů) měří jako úhly.

Existuje pět pravých úhlů, z nichž každý měří ${ displaystyle pi / 2,}$ na ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle B}$ , ${ displaystyle C}$ , ${ displaystyle D}$ , a ${ displaystyle E.}$

Existuje deset oblouků, každý měřící ${ displaystyle pi / 2:}$ ${ displaystyle PC}$ , ${ displaystyle PE}$ , ${ displaystyle QD}$ , ${ displaystyle QA}$ , ${ displaystyle RE}$ , ${ displaystyle RB}$ , ${ displaystyle SA}$ , ${ displaystyle SC}$ , ${ displaystyle TB}$ , a ${ displaystyle TD.}$

Ve sférickém pětiúhelníku ${ displaystyle PQRST}$ , každý vrchol je pól opačné strany. Například bod ${ displaystyle P}$ je pól rovníku ${ displaystyle RS}$ , směřovat ${ displaystyle Q}$ - pól rovníku ${ displaystyle ST}$ , atd.

U každého vrcholu pětiúhelníku ${ displaystyle PQRST}$ , vnější úhel se rovná v míře opačné straně. Například, ${ displaystyle úhel APT = úhel BPQ = RS, ; úhel BQP = úhel CQR = ST,}$ atd.

Napierovy kruhy sférických trojúhelníků ${ displaystyle APT}$ , ${ displaystyle BQP}$ , ${ displaystyle CRQ}$ , ${ displaystyle DSR}$ , a ${ displaystyle ETS}$ jsou rotace jeden druhého.

Gaussovy vzorce

Gauss zavedl notaci

{ displaystyle ( alpha, beta, gamma, delta, varepsilon) = ( tan ^ {2} TP, tan ^ {2} PQ, tan ^ {2} QR, tan ^ {2 } RS, tan ^ {2} ST).}

Následující identity platí, což umožňuje určit libovolné tři z výše uvedených množství ze dvou zbývajících:^[2]

{ displaystyle { begin {aligned} 1+ alpha & = gamma delta & 1 + beta & = delta varepsilon & 1 + gamma & = alpha varepsilon 1+ delta & = alpha beta & 1 + varepsilon & = beta gamma. end {zarovnáno}}}

Gauss dokázal následující „krásnou rovnost“ (schöne Gleichung):^[2]

{ displaystyle { begin {zarovnáno} alpha beta gamma delta varepsilon & = ; 3+ alpha + beta + gamma + delta + varepsilon & = ; { sqrt {( 1+ alpha) (1+ beta) (1+ gamma) (1+ delta) (1+ varepsilon)}}. End {zarovnáno}}}

Je uspokojen například čísly ${ displaystyle ( alpha, beta, gamma, delta, varepsilon) = (9,2 / 3,2,5,1 / 3)}$ , jehož produkt ${ displaystyle alpha beta gama delta varepsilon}$ je rovný ${ displaystyle 20}$ .

Důkaz první části rovnosti:

{ displaystyle { begin {aligned} alpha beta gamma delta varepsilon & = alpha beta gamma left ({ frac {1+ alpha} { gamma}} right) left ( { frac {1+ gamma} { alpha}} vpravo) = beta (1+ alpha) (1+ gamma) & = beta + alpha beta + beta gamma + alpha beta gamma = beta + (1+ delta) + (1+ varepsilon) + alpha (1+ varepsilon) & = 2+ alpha + beta + delta + varepsilon +1 + gamma & = 3+ alpha + beta + gamma + delta + varepsilon end {zarovnáno}}}

Důkaz druhé části rovnosti:

{ displaystyle { begin {seřazeno} alpha beta gamma delta varepsilon & = { sqrt { alpha ^ {2} beta ^ {2} gamma ^ {2} delta ^ {2} varepsilon ^ {2}}} & = { sqrt { gamma delta cdot delta varepsilon cdot varepsilon alpha cdot alpha beta cdot beta gamma}} & = { sqrt {(1+ alpha) (1+ beta) (1+ gamma) (1+ delta) (1+ varepsilon)}} end {zarovnáno}}}

Z Gauss pochází také vzorec^[2]

{ displaystyle (1 + i { sqrt {^ {^ {!}} alpha}}) (1 + i { sqrt { beta}}) (1 + i { sqrt {^ {^ { !}} gamma}}) (1 + i { sqrt { delta}}) (1 + i { sqrt {^ {^ {!}} varepsilon}}) = alpha beta gamma delta varepsilon e ^ {iA_ {PQRST}},}

kde

{ displaystyle A_ {PQRST} = 2 pi - (| { overset { frown} {PQ}} | + | { overset { frown} {QR}} | + | { overset { frown} { RS}} | + | { overset { frown} {ST}} | + | { overset { frown} {TP}} |)}

je oblast pětiúhelníku

{ displaystyle PQRST}

.

Gnomonická projekce

Obrázek sférického pětiúhelníku ${ displaystyle PQRST}$ v gnomonická projekce (projekce ze středu koule) na libovolnou rovinu tečnou ke kouli je přímočarý pětiúhelník. Jeho pět vrcholů ${ displaystyle P'Q'R'S'T '}$ jednoznačně určit A kuželovitý řez; v tomto případě - an elipsa. Gauss ukázal, že výšky pentagramu ${ displaystyle P'Q'R'S'T '}$ (čáry procházející vrcholy a kolmé na protilehlé strany) se kříží v jednom bodě ${ displaystyle O '}$ , což je obraz bodu tečnosti roviny ke kouli.

Arthur Cayley poznamenal, že pokud nastavíme původ a Kartézský souřadnicový systém v bodě ${ displaystyle O '}$ , pak souřadnice vrcholů ${ displaystyle P'Q'R'S'T '}$ : ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), ldots,}$ ${ displaystyle (x_ {5}, y_ {5})}$ uspokojit rovnost ${ displaystyle x_ {1} x_ {4} + y_ {1} y_ {4} =}$ ${ displaystyle x_ {2} x_ {5} + y_ {2} y_ {5} =}$ ${ displaystyle x_ {3} x_ {1} + y_ {3} y_ {1} =}$ ${ displaystyle x_ {4} x_ {2} + y_ {4} y_ {2} =}$ ${ displaystyle x_ {5} x_ {3} + y_ {5} y_ {3} = - rho ^ {2}}$ , kde ${ displaystyle rho}$ je délka poloměru koule.^[3]