Nivensova věta - Nivens theorem - Wikipedia

v matematika, Nivenova věta, pojmenoval podle Ivan Niven, uvádí, že jediný Racionální hodnoty θ v intervalu 0 ° ≤θ ≤ 90 °, pro které sinus z θ stupně je také racionální číslo jsou:^[1]

{ displaystyle { begin {aligned} sin 0 ^ { circ} & = 0, [10pt] sin 30 ^ { circ} & = { frac {1} {2}}, [ 10pt] sin 90 ^ { circ} & = 1. end {zarovnáno}}}

v radiány, jeden by vyžadoval, aby 0 ≤X ≤ $π$ / 2, to X/ $π$ být racionální a ten hříchX být racionální. Závěrem je, že jediné takové hodnoty jsou sin 0 = 0, sin $π$ / 6 = 1/2, a hřích $π$ /2 = 1.

Věta se v Nivenově knize o objevuje jako Corollary 3.12 iracionální čísla.^[2]

Věta se vztahuje na druhou trigonometrické funkce také.^[2] Pro racionální hodnoty θ jsou jediné racionální hodnoty sinu nebo kosinu 0, ± 1/2 a ± 1; jediné racionální hodnoty sekans nebo kosekans jsou ± 1 a ± 2; a jediné racionální hodnoty tečny nebo kotangensu jsou 0 a ± 1.^[3]

Viz také

Pytagorovy trojice tvoří pravé trojúhelníky, kde trigonometrické funkce budou vždy nabývat racionálních hodnot, ačkoli ostré úhly nejsou racionální
Trigonometrické funkce
Trigonometrické číslo

Reference

^ Schaumberger, Norman (1974). "Věta o třídě o trigonometrických iracionalitách". Dvouletý vysokoškolský matematický deník. 5 (1): 73–76. doi:10.2307/3026991. JSTOR 3026991.
^ ^A ^b Niven, Ivan (1956). Iracionální čísla. The Matematické monografie Carus. Matematická asociace Ameriky. str.41. PAN 0080123.
^ Důkaz pro kosinový případ se jeví jako Lemma 12 palců Bennett, Curtis D .; Glass, A. M. W .; Székely, Gábor J. (2004). "Fermatova poslední věta pro racionální exponenty". Americký matematický měsíčník. 111 (4): 322–329. doi:10.2307/4145241. JSTOR 4145241. PAN 2057186.

Další čtení

Olmsted, J. M. H. (1945). Msgstr "Racionální hodnoty trigonometrických funkcí". Americký matematický měsíčník. 52 (9): 507–508. JSTOR 2304540.
Lehmer, Derik H. (1933). Msgstr "Poznámka o trigonometrických algebraických číslech". Americký matematický měsíčník. 40 (3): 165–166. doi:10.2307/2301023. JSTOR 2301023.
Jahnel, Jörg (2010). "Kdy je (ko) sinus racionálního úhlu rovný racionálnímu číslu?". arXiv:1006.2938 [matematika ].

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Nivenova věta“. MathWorld.
Nivenova věta na ProofWiki

[1] Schaumberger, Norman (1974). "Věta o třídě o trigonometrických iracionalitách". Dvouletý vysokoškolský matematický deník. 5 (1): 73–76. doi:10.2307/3026991. JSTOR 3026991.

[niven-2] A ^b Niven, Ivan (1956). Iracionální čísla. The Matematické monografie Carus. Matematická asociace Ameriky. str.41. PAN 0080123.

[3] Důkaz pro kosinový případ se jeví jako Lemma 12 palců Bennett, Curtis D .; Glass, A. M. W .; Székely, Gábor J. (2004). "Fermatova poslední věta pro racionální exponenty". Americký matematický měsíčník. 111 (4): 322–329. doi:10.2307/4145241. JSTOR 4145241. PAN 2057186.

[1]

[2]

[3]