Spoluzávěrnost - Cofiniteness

v matematika, a cofinite podmnožina sady X je podmnožina A jehož doplněk v X je konečná množina. Jinými slovy, A obsahuje všechny ale konečně mnoho prvků X. Pokud doplněk není konečný, ale je spočítatelný, pak se říká, že množina je spočítatelné.

Tyto vznikají přirozeně při zobecňování struktur na konečných množinách na nekonečné množiny, zejména na nekonečných produktech, jako v topologie produktu nebo přímý součet.

Booleovy algebry

Sada všech podskupin X které jsou buď konečné, nebo spolufinitní formy a Booleova algebra, tj. je uzavřen v rámci operací svaz, průsečík a doplňování. Tato booleovská algebra je konečná – konečná algebra na X. Booleova algebra A má jedinečný non-principál ultrafiltr (tj maximální filtr není generován jediným prvkem algebry) právě tehdy, pokud existuje nekonečná množina X takhle A je isomorfní s konečně-kofinitovou algebrou X. V tomto případě je nehlavním ultrafiltrem množina všech kofinitních množin.

Cofinite topologie

The cofinite topologie (někdy nazývaný topologie konečných doplňků) je topologie které lze definovat u každé sady X. Má přesně to prázdná sada a všechno cofinite podmnožiny z X jako otevřené sady. Důsledkem je, že v cofinitové topologii jsou jedinými uzavřenými podmnožinami konečné množiny nebo celá X. Symbolicky se topologie píše jako

${ displaystyle { mathcal {T}} = {A subseteq X mid A = varnothing { mbox {nebo}} X setminus A { mbox {je konečný}} }}$

Tato topologie se přirozeně vyskytuje v kontextu Zariski topologie. Od té doby polynomy v jedné proměnné nad a pole K. jsou nula na konečných množinách nebo na celé K., Zariskiho topologie zapnuta K. (považováno za afinní linie) je cofinite topologie. Totéž platí pro všechny neredukovatelné algebraická křivka; neplatí to například pro XY = 0 v rovině.

Vlastnosti

• Meziprostory: Každý topologie podprostoru cofinite topologie je také cofinite topologie.
• Kompaktnost: Protože každý otevřená sada obsahuje všechny, ale konečně mnoho bodů X, prostor X je kompaktní a postupně kompaktní.
• Separace: Cofinite topologie je nejhrubší topologie uspokojení T₁ axiom; tj. je to nejmenší topologie, pro kterou každý singletonová sada je zavřený. Ve skutečnosti libovolná topologie na X uspokojuje T₁ axiom tehdy a jen tehdy, pokud obsahuje topologii cofinite. Li X je konečná, pak je konečná topologie jednoduše diskrétní topologie. Li X není konečná, pak tato topologie není T₂, pravidelný nebo normální, protože žádné dvě neprázdné otevřené sady nejsou disjunktní (tj. jsou hyperconnected ).

Dvojitě špičatá cofinitová topologie

The dvojitě špičatá topologie je topologie cofinite se zdvojnásobením každého bodu; to znamená, že je topologický produkt cofinite topologie s neurčitá topologie na dvouprvkové sadě. Není T₀ nebo T₁, protože body dubletu jsou topologicky nerozeznatelné. Je to však R₀ protože topologicky rozlišitelné body jsou oddělitelné.

Příkladem spočetné dvojitě špičaté cofinitové topologie je sada sudých a lichých celých čísel s topologií, která je seskupuje. Nechat X být množinou celých čísel a nechat Ó_A být podmnožinou celých čísel, jejichž doplňkem je množina A. Definovat a podklad otevřených sad G_X pro jakékoli celé číslo X být G_X = Ó_{{X, X+1}} -li X je sudé číslo, a G_X = Ó_{{X-1, X}} -li X je zvláštní. Pak základ sady X jsou generovány konečnými průsečíky, tj. pro konečné A, otevřené sady topologie jsou

${ displaystyle U_ {A}: = bigcap _ {x v A} G_ {x}}$

Výsledný prostor není T₀ (a tedy ne T₁), protože body X a X + 1 (pro X sudé) jsou topologicky nerozeznatelné. Prostor je však a kompaktní prostor, protože každý U_A obsahuje až na konečně mnoho bodů.

Další příklady

Topologie produktu

The topologie produktu na produktu topologických prostorů ${ displaystyle prod X_ {i}}$má základ ${ displaystyle prod U_ {i}}$ kde ${ displaystyle U_ {i} subseteq X_ {i}}$ je otevřená a je jich definitivně mnoho ${ displaystyle U_ {i} = X_ {i}}$.

Analogem (aniž by bylo nutné, aby kofinitně bylo mnoho celého prostoru) je topologie pole.

Přímý součet

Prvky přímý součet modulů ${ displaystyle bigoplus M_ {i}}$ jsou sekvence ${ displaystyle alpha _ {i} v M_ {i}}$ kde kofinitivně mnoho ${ displaystyle alpha _ {i} = 0}$.

Analog (bez toho, že by kofinitálně mnoho bylo nula) je přímý produkt.

Viz také

• Seznam topologií

Reference

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Protiklady v topologii (Doveru dotisk z roku 1978 vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-486-68735-3, PAN  0507446 (Viz příklad 18)