Hermangové kotangentní identita - Hermites cotangent identity - Wikipedia

v matematika, Hermitova kotangensová identita je trigonometrická identita objeveno uživatelem Charles Hermite.^[1] Předpokládat A₁, ..., A_n jsou komplexní čísla, žádné dva se neliší celočíselným násobkemπ. Nechat

${ displaystyle A_ {n, k} = prod _ { begin {smallmatrix} 1 leq j leq n j neq k end {smallmatrix}} cot (a_ {k} -a_ {j} )}$

(zejména, A_1,1, být prázdný produkt, je 1). Pak

${ displaystyle cot (z-a_ {1}) cdots cot (z-a_ {n}) = cos { frac {n pi} {2}} + sum _ {k = 1} ^ {n} A_ {n, k} cot (z-a_ {k}).}$

Nejjednodušším netriviálním příkladem je případn = 2:

${ displaystyle cot (z-a_ {1}) cot (z-a_ {2}) = - 1+ cot (a_ {1} -a_ {2}) cot (z-a_ {1}) + cot (a_ {2} -a_ {1}) cot (z-a_ {2}). ,}$

Poznámky a odkazy