Cis (matematika) - cis (mathematics) - Wikipedia

$cis$ je méně běžně používaný matematická notace definován $cis X = cos X + i hřích X$ ,^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]^{[nadměrné citace ]} kde $cos$ je kosinus funkce, $i$ je imaginární jednotka a $hřích$ je sinus funkce. Zápis se používá méně často než Eulerův vzorec, $E ix$ , který nabízí ještě kratší a obecnější notaci pro $cos X + i hřích X$ .

Přehled

The $cis$ notaci poprvé vytvořil William Rowan Hamilton v Prvky čtveřic (1866)^[10]^[11] a následně používá Irving Stringham v pracích jako Uniplanární algebra (1893),^[12]^[13] nebo James Harkness a Frank Morley v jejich Úvod do teorie analytických funkcí (1898).^[13]^[14] Spojuje to trigonometrické funkce s exponenciální funkce v složité letadlo přes Eulerův vzorec.

Většinou se používá jako pohodlná zkratková notace ke zjednodušení některých výrazů,^[10]^[12]^[3]^[15]^[16] například ve spojení s Fourier a Hartley se transformuje,^[2]^[6]^[7] nebo když by se z matematiky neměly z nějakého důvodu používat exponenciální funkce.

V informačních technologiích vidí funkce vyhrazenou podporu v různých vysoce výkonných matematických knihovnách (například Intel je Knihovna matematických jader (MKL)^[17]), k dispozici pro mnoho překladačů, programovací jazyky (včetně C, C ++,^[18] Společný Lisp,^[19]^[20] D,^[21] Fortran,^[22] Haskell,^[23] Julie^[24]) a operační systémy (včetně Okna, Linux,^[22] Operační Systém Mac a HP-UX^[25]). V závislosti na platformě je tavený provoz přibližně dvakrát rychlejší než individuální volání funkcí sinus a kosinus.^[21]^[26]

Vztah ke komplexní exponenciální funkci

The komplexní exponenciální funkce lze vyjádřit

{ displaystyle e ^ {ix} = cos x + i sin x,}

^[1]

{ displaystyle e ^ {- ix} = cos (-x) + i sin (-x) = cos x-i sin x}

{ displaystyle e ^ {i pi} = - 1}

{ displaystyle cos x = { frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}}}

{ displaystyle sin x = { frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}}}

kde $i 2 = -1$ .

To lze také vyjádřit pomocí následujícího zápisu

{ displaystyle operatorname {cis} x = cos x + i sin x,}

^[1]^[4]^[26]

tj. " $cis$ „zkracuje“ $cos + i hřích$ ".

Ačkoli na první pohled je tato notace nadbytečná, je ekvivalentní s $E ix$ , jeho použití má kořeny v několika výhodách, jako je přímé vázání na polární formu komplexního čísla (a snazší uchopení).

Matematické identity

Derivát

{ displaystyle { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} z}} operatorname {cis} z = i operatorname {cis} z = ie ^ {iz}}

^[1]^[27]

Integrální

{ displaystyle int operatorname {cis} z , mathrm {d} z = -i operatorname {cis} z = -ie ^ {iz}}

^[1]

Další vlastnosti

Ty vyplývají přímo z Eulerův vzorec.

{ displaystyle operatorname {cis} (x + y) = operatorname {cis} x , operatorname {cis} y}

^[28]

{ displaystyle operatorname {cis} (x-y) = { operatorname {cis} x nad operatorname {cis} y}}

Totožnosti výše platí, pokud $X$ a $y$ jsou libovolná komplexní čísla. Li $X$ a $y$ jsou tedy skutečné

{ displaystyle | operatorname {cis} x- operatorname {cis} y | leq | x-y |.}

^[28]

Dějiny

Tento zápis byl běžnější v éře po druhé světové válce, kdy byly psací stroje používány k vyjadřování matematických výrazů.

Horní indexy jsou odsazeny svisle i menší než ' $cis$ 'nebo' $exp$ '; proto mohou být problematické i pro ruční psaní, například $E ix 2$ proti $cis (X 2)$ nebo $exp (ix 2)$ . Pro mnoho čtenářů $cis (X 2)$ je nejjasnější a nejsnadněji čitelný ze všech tří.^{[Citace je zapotřebí ]}

The $cis$ notace se někdy používá k zdůraznění jedné metody prohlížení a řešení problému před jinou.^[29] Matematika trigonometrie a exponenciálu jsou příbuzné, ale ne úplně stejné; exponenciální notace zdůrazňuje celek, zatímco $cis X$ a $cos X + i hřích X$ notace zdůrazňují jednotlivé části. To může být rétoricky užitečné pro matematiky a inženýry při diskusi o této funkci a dále slouží jako mnemotechnická pomůcka (pro $cos + i hřích$ ).

The $cis$ zápis je vhodný pro studenty matematiky, jejichž znalosti trigonometrie a komplexních čísel tento zápis umožňují, ale jejichž koncepční porozumění dosud zápis neumožňuje $E ix$ . Když se studenti učí koncepty, které vycházejí z předchozích znalostí, je důležité je nenutit na matematické úrovně, na které ještě nejsou připraveni: obvyklý důkaz, že $cis X = E ix$ vyžaduje počet, které student nemusí studovat, než se setká s výrazem $cos X + i hřích X$ .

V roce 1942, inspirovaný $cis$ notace, Ralph V. L. Hartley představil $cas$ (pro kosinus a sinus) funkce pro skutečné hodnoty Hartleyovo jádro, mezitím zavedená zkratka ve spojení s Hartley se transformuje:^[30]^[31]

{ displaystyle operatorname {cas} x = cos x + sin x.}

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E Weisstein, Eric W. (2015) [2000]. „Cis“. MathWorld. Wolfram Research, Inc. Archivováno z původního dne 2016-01-27. Citováno 2016-01-09.
^ ^A ^b L.-Rundblad, Ekaterina; Majdan, Alexej; Novak, Peter; Labunets, Valeriy (2004). "Fast Color Wavelet-Haar-Hartley-Prometheus Transforms for Image Processing". Napsáno ve společnosti Prometheus Inc., Newport, USA. V Byrnes, Jim (ed.). Výpočetní nekomutativní algebra a aplikace (PDF). NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry (NAII). 136. Dordrecht, Nizozemsko: Springer Science + Business Media, Inc. 401–411. doi:10.1007/1-4020-2307-3. ISBN 978-1-4020-1982-1. ISSN 1568-2609. Archivováno (PDF) od originálu dne 2017-10-28. Citováno 2017-10-28.
^ ^A ^b Swokowski, hrabě; Cole, Jeffery (2011). Precalculus: Funkce a grafy. Série Precalculus (12 ed.). Cengage Learning. ISBN 978-0-84006857-6. Citováno 2016-01-18.
^ ^A ^b Simmons, Bruce (2014-07-28) [2004]. „Cis“. Matematika: Termíny a vzorce od algebry I po kalkul. Oregon City, OR, USA: Clackamas Community College, Katedra matematiky. Citováno 2016-01-15.
^ Simmons, Bruce (2014-07-28) [2004]. „Polární forma komplexního čísla“. Matematika: Termíny a vzorce od algebry I po kalkul. Oregon City, OR, USA: Clackamas Community College, Katedra matematiky. Citováno 2016-01-15.
^ ^A ^b Kammler, David W. (2008-01-17). První kurz Fourierovy analýzy (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-13946903-6. Citováno 2017-10-28.
^ ^A ^b Lorenzo, Carl F .; Hartley, Tom T. (2016-11-14). Frakční trigonometrie: s aplikacemi na frakční diferenciální rovnice a vědu. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-11913942-3. Citováno 2017-10-28.
^ Pierce, Rod (01.01.2016) [2000]. „Násobení komplexních čísel“. Matematika je zábava. Citováno 2016-01-15.
^ Beebe, Nelson H. F. (2017-08-22). „Kapitola 15.2. Složitá absolutní hodnota“. Příručka pro výpočet matematických funkcí - programování pomocí přenosné softwarové knihovny MathCW (1. vyd.). Salt Lake City, UT, USA: Springer International Publishing AG. str. 443. doi:10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446. S2CID 30244721.
^ ^A ^b Hamilton, William Rowan (1866-01-01). „Kapitola II. Částečné síly, obecné kořeny jednoty“. Napsáno v Dublinu. v Hamilton, William Edwin (vyd.). Prvky čtveřic (1. vyd.). Londýn, Velká Británie: Longmans, Green & Co., University Press, Michael Henry Gill. 250–257, 260, 262–263. Citováno 2016-01-17. […] cos […] + i hřích […] budeme občas zkrátit na následující: […] cis […]. Pokud jde o ochranné známky […], je třeba je považovat za v současnosti hlavně dostupné expozice systému, a jak se často nechtělo, ani zaměstnávalo, v následujícím praxe z toho; a stejná poznámka platí i pro nedávné abrigdement cis, pro cos + i hřích […] ([1], [2][3] ) (Pozn. Tato práce byla zveřejněna posmrtně, Hamilton zemřel v roce 1865.)
^ Hamilton, William Rowan (1899) [1866-01-01]. Hamilton, William Edwin; Joly, Charles Jasper (eds.). Prvky čtveřic. Já (2. vyd.). Londýn, Velká Británie: Longmans, Green & Co. str. 262. Citováno 2019-08-03. […] Nedávné zkrácení cis pro cos + i hřích […] (Pozn. Toto vydání bylo přetištěno Chelsea Publ. Co. [de ] v roce 1969)
^ ^A ^b Stringham, Irving (1893-07-01) [1891]. Uniplanární algebra, která je součástí 1 propeadeutika k vyšší matematické analýze. 1. C. A. Mordock & Co. (tiskárna) (1. vydání). San Francisco, USA: Berkeley Press. 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135. Citováno 2016-01-18. Jako zkratka pro cos θ + i hřích θ je vhodné použít cisθ, které lze číst: sektor θ.
^ ^A ^b Cajori, Florian (1952) [březen 1929]. Historie matematických notací. 2 (3. opravený tisk čísla 1929, 2. vyd.). Chicago, USA: Nakladatelství otevřeného soudu. str. 133. ISBN 978-1-60206-714-1. Citováno 2016-01-18. Stringham označeno cos β + i hřích β od „cisβ", notaci také používá Harkness a Morley. (Pozn. ISBN a odkaz na dotisk 2. vydání Cosimo, Inc., New York, USA, 2013.)
^ Harkness, Jamesi; Morley, Franku (1898). Úvod do teorie analytických funkcí (1. vyd.). Londýn, Velká Británie: Macmillan a společnost. str.18, 22, 48, 52, 170. ISBN 978-1-16407019-1. Citováno 2016-01-18. (Pozn. ISBN pro dotisk Kessinger Publishing, 2010.)
^ Reis, Clive (2011). Abstraktní algebra: Úvod do skupin, prstenů a polí (1. vyd.). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 434–438. ISBN 978-9-81433564-5.
^ Weitz, Edmund (2016). „Základní věta o algebře - vizuální důkaz“. Hamburk, Německo: Univerzita aplikovaných věd v Hamburku (HAW), Department Medientechnik. Archivováno z původního dne 2019-08-03. Citováno 2019-08-03.
^ Intel. "v? CIS". Intel Developer Zone. Citováno 2016-01-15.
^ „Intel C ++ Compiler Reference“ (PDF). Intel Corporation. 2007 [1996]. str. 34, 59–60. 307777-004US. Citováno 2016-01-15.
^ "SNS". Společný Lisp Hyperspec. Harlequin Group Limited. 1996. Citováno 2016-01-15.
^ "SNS". LispWorks, Ltd. 2005 [1996]. Citováno 2016-01-15.
^ ^A ^b "std.math: expi". D programovací jazyk. Digitální Mars. 2016-01-11 [2000]. Citováno 2016-01-14.
^ ^A ^b „Instalační příručka a poznámky k verzi“ (PDF). Intel Fortran Compiler Professional Edition 11.0 pro Linux (11.0 ed.). 2008-11-06. Citováno 2016-01-15.^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
^ "SNS". Haskellův odkaz. ZVON. Citováno 2016-01-15.
^ „Matematika; Matematické operátory“. Julijský jazyk. Archivováno z původního dne 2020-08-19. Citováno 2019-12-05.
^ „HP-UX 11i v2.0 non-critical impact: Změny IPF libm (NcEn843) - Popis vylepšení CC Impacts - Hlavní vylepšení výkonu pro výkonové funkce a vyladění výkonu“. Hewlett-Packard Development Company, L.P. 2007. Citováno 2016-01-15.^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
^ ^A ^b „Odůvodnění mezinárodního standardu - programovací jazyky - C“ (PDF). 5.10. Duben 2003. str. 114, 117, 183, 186–187. Archivováno (PDF) od originálu 06.06.2016. Citováno 2010-10-17.
^ Fuchs, Martin (2011). „Kapitola 11: Differenzierbarkeit von Funktionen“. Analýza I (PDF) (v němčině) (WS 2011/2012 ed.). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes, Německo. 3, 13. Citováno 2016-01-15.
^ ^A ^b Fuchs, Martin (2011). „Kapitola 8.IV: Spezielle Funktionen - Die trigonometrischen Funktionen“. Analýza I (PDF) (v němčině) (WS 2011/2012 ed.). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes, Německo. str. 16–20. Citováno 2016-01-15.
^ Diehl, Christina; Leupp, Marcel (leden 2010). Komplexe Zahlen: Ein Leitprogramm in Mathematik (PDF) (v němčině). Basilej a Herisau, Švýcarsko: Eidgenössische Technische Hochschule Zürich (ETH). str. 41. Archivováno (PDF) z původního dne 2017-08-27. […] Bitte vergessen Sie aber nicht, dass e^iφ für uns bisher nur eine Schreibweise für den Einheitszeiger mit Winkel φ ist. V Anderen Büchern wird dafür oft der Ausdruck cis (φ) anstelle von e^iφ verwendet. […] (109 stránek)
^ Hartley, Ralph V. L. (Březen 1942). „Symetrickější Fourierova analýza aplikovaná na problémy s přenosem“. Sborník IRE. 30 (3): 144–150. doi:10.1109 / JRPROC.1942.234333. S2CID 51644127.
^ Bracewell, Ronald N. (Červen 1999) [1985, 1978, 1965]. Fourierova transformace a její aplikace (3. vyd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07303938-1.

[Weisstein_cis-1] A ^b ^C ^d ^E Weisstein, Eric W. (2015) [2000]. „Cis“. MathWorld. Wolfram Research, Inc. Archivováno z původního dne 2016-01-27. Citováno 2016-01-09.

[Byrnes_2004-2] A ^b L.-Rundblad, Ekaterina; Majdan, Alexej; Novak, Peter; Labunets, Valeriy (2004). "Fast Color Wavelet-Haar-Hartley-Prometheus Transforms for Image Processing". Napsáno ve společnosti Prometheus Inc., Newport, USA. V Byrnes, Jim (ed.). Výpočetní nekomutativní algebra a aplikace (PDF). NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry (NAII). 136. Dordrecht, Nizozemsko: Springer Science + Business Media, Inc. 401–411. doi:10.1007/1-4020-2307-3. ISBN 978-1-4020-1982-1. ISSN 1568-2609. Archivováno (PDF) od originálu dne 2017-10-28. Citováno 2017-10-28.

[Swokowski_2011-3] A ^b Swokowski, hrabě; Cole, Jeffery (2011). Precalculus: Funkce a grafy. Série Precalculus (12 ed.). Cengage Learning. ISBN 978-0-84006857-6. Citováno 2016-01-18.

[Simmons_2014_1-4] A ^b Simmons, Bruce (2014-07-28) [2004]. „Cis“. Matematika: Termíny a vzorce od algebry I po kalkul. Oregon City, OR, USA: Clackamas Community College, Katedra matematiky. Citováno 2016-01-15.

[Simmons_2014_2-5] Simmons, Bruce (2014-07-28) [2004]. „Polární forma komplexního čísla“. Matematika: Termíny a vzorce od algebry I po kalkul. Oregon City, OR, USA: Clackamas Community College, Katedra matematiky. Citováno 2016-01-15.

[Kammler_2008-6] A ^b Kammler, David W. (2008-01-17). První kurz Fourierovy analýzy (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-13946903-6. Citováno 2017-10-28.

[Lorenzo-Hartley_2016-7] A ^b Lorenzo, Carl F .; Hartley, Tom T. (2016-11-14). Frakční trigonometrie: s aplikacemi na frakční diferenciální rovnice a vědu. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-11913942-3. Citováno 2017-10-28.

[Pierce_2016-8] Pierce, Rod (01.01.2016) [2000]. „Násobení komplexních čísel“. Matematika je zábava. Citováno 2016-01-15.

[Beebe_2017-9] Beebe, Nelson H. F. (2017-08-22). „Kapitola 15.2. Složitá absolutní hodnota“. Příručka pro výpočet matematických funkcí - programování pomocí přenosné softwarové knihovny MathCW (1. vyd.). Salt Lake City, UT, USA: Springer International Publishing AG. str. 443. doi:10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446. S2CID 30244721.

[Hamilton_1866-10] A ^b Hamilton, William Rowan (1866-01-01). „Kapitola II. Částečné síly, obecné kořeny jednoty“. Napsáno v Dublinu. v Hamilton, William Edwin (vyd.). Prvky čtveřic (1. vyd.). Londýn, Velká Británie: Longmans, Green & Co., University Press, Michael Henry Gill. 250–257, 260, 262–263. Citováno 2016-01-17. […] cos […] + i hřích […] budeme občas zkrátit na následující: […] cis […]. Pokud jde o ochranné známky […], je třeba je považovat za v současnosti hlavně dostupné expozice systému, a jak se často nechtělo, ani zaměstnávalo, v následujícím praxe z toho; a stejná poznámka platí i pro nedávné abrigdement cis, pro cos + i hřích […] ([1], [2][3] ) (Pozn. Tato práce byla zveřejněna posmrtně, Hamilton zemřel v roce 1865.)

[Hamilton_1899-11] Hamilton, William Rowan (1899) [1866-01-01]. Hamilton, William Edwin; Joly, Charles Jasper (eds.). Prvky čtveřic. Já (2. vyd.). Londýn, Velká Británie: Longmans, Green & Co. str. 262. Citováno 2019-08-03. […] Nedávné zkrácení cis pro cos + i hřích […] (Pozn. Toto vydání bylo přetištěno Chelsea Publ. Co. [de ] v roce 1969)

[Stringham_1893-12] A ^b Stringham, Irving (1893-07-01) [1891]. Uniplanární algebra, která je součástí 1 propeadeutika k vyšší matematické analýze. 1. C. A. Mordock & Co. (tiskárna) (1. vydání). San Francisco, USA: Berkeley Press. 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135. Citováno 2016-01-18. Jako zkratka pro cos θ + i hřích θ je vhodné použít cisθ, které lze číst: sektor θ.

[Cajori_1929-13] A ^b Cajori, Florian (1952) [březen 1929]. Historie matematických notací. 2 (3. opravený tisk čísla 1929, 2. vyd.). Chicago, USA: Nakladatelství otevřeného soudu. str. 133. ISBN 978-1-60206-714-1. Citováno 2016-01-18. Stringham označeno cos β + i hřích β od „cisβ", notaci také používá Harkness a Morley. (Pozn. ISBN a odkaz na dotisk 2. vydání Cosimo, Inc., New York, USA, 2013.)

[Harkness_Morley_1898-14] Harkness, Jamesi; Morley, Franku (1898). Úvod do teorie analytických funkcí (1. vyd.). Londýn, Velká Británie: Macmillan a společnost. str.18, 22, 48, 52, 170. ISBN 978-1-16407019-1. Citováno 2016-01-18. (Pozn. ISBN pro dotisk Kessinger Publishing, 2010.)

[Reis_2011-15] Reis, Clive (2011). Abstraktní algebra: Úvod do skupin, prstenů a polí (1. vyd.). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 434–438. ISBN 978-9-81433564-5.

[Weitz_2016-16] Weitz, Edmund (2016). „Základní věta o algebře - vizuální důkaz“. Hamburk, Německo: Univerzita aplikovaných věd v Hamburku (HAW), Department Medientechnik. Archivováno z původního dne 2019-08-03. Citováno 2019-08-03.

[Intel_MKL-17] Intel. "v? CIS". Intel Developer Zone. Citováno 2016-01-15.

[Intel_2007_C++-18] „Intel C ++ Compiler Reference“ (PDF). Intel Corporation. 2007 [1996]. str. 34, 59–60. 307777-004US. Citováno 2016-01-15.

[Lisp-19] "SNS". Společný Lisp Hyperspec. Harlequin Group Limited. 1996. Citováno 2016-01-15.

[Lisp_2005-20] "SNS". LispWorks, Ltd. 2005 [1996]. Citováno 2016-01-15.

[D_2011-21] A ^b "std.math: expi". D programovací jazyk. Digitální Mars. 2016-01-11 [2000]. Citováno 2016-01-14.

[Intel_2008_Fortran-22] A ^b „Instalační příručka a poznámky k verzi“ (PDF). Intel Fortran Compiler Professional Edition 11.0 pro Linux (11.0 ed.). 2008-11-06. Citováno 2016-01-15.^{[trvalý mrtvý odkaz ]}

[Haskell-23] "SNS". Haskellův odkaz. ZVON. Citováno 2016-01-15.

[Julia-24] „Matematika; Matematické operátory“. Julijský jazyk. Archivováno z původního dne 2020-08-19. Citováno 2019-12-05.

[HP_2007_UX-25] „HP-UX 11i v2.0 non-critical impact: Změny IPF libm (NcEn843) - Popis vylepšení CC Impacts - Hlavní vylepšení výkonu pro výkonové funkce a vyladění výkonu“. Hewlett-Packard Development Company, L.P. 2007. Citováno 2016-01-15.^{[trvalý mrtvý odkaz ]}

[Rationale_2003_C-26] A ^b „Odůvodnění mezinárodního standardu - programovací jazyky - C“ (PDF). 5.10. Duben 2003. str. 114, 117, 183, 186–187. Archivováno (PDF) od originálu 06.06.2016. Citováno 2010-10-17.

[Fuchs_2011_2-27] Fuchs, Martin (2011). „Kapitola 11: Differenzierbarkeit von Funktionen“. Analýza I (PDF) (v němčině) (WS 2011/2012 ed.). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes, Německo. 3, 13. Citováno 2016-01-15.

[Fuchs_2011_1-28] A ^b Fuchs, Martin (2011). „Kapitola 8.IV: Spezielle Funktionen - Die trigonometrischen Funktionen“. Analýza I (PDF) (v němčině) (WS 2011/2012 ed.). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes, Německo. str. 16–20. Citováno 2016-01-15.

[Diehl-Leupp_2010-29] Diehl, Christina; Leupp, Marcel (leden 2010). Komplexe Zahlen: Ein Leitprogramm in Mathematik (PDF) (v němčině). Basilej a Herisau, Švýcarsko: Eidgenössische Technische Hochschule Zürich (ETH). str. 41. Archivováno (PDF) z původního dne 2017-08-27. […] Bitte vergessen Sie aber nicht, dass e^iφ für uns bisher nur eine Schreibweise für den Einheitszeiger mit Winkel φ ist. V Anderen Büchern wird dafür oft der Ausdruck cis (φ) anstelle von e^iφ verwendet. […] (109 stránek)

[Hartley_1942-30] Hartley, Ralph V. L. (Březen 1942). „Symetrickější Fourierova analýza aplikovaná na problémy s přenosem“. Sborník IRE. 30 (3): 144–150. doi:10.1109 / JRPROC.1942.234333. S2CID 51644127.

[Bracewell_1999-31] Bracewell, Ronald N. (Červen 1999) [1985, 1978, 1965]. Fourierova transformace a její aplikace (3. vyd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07303938-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]