Lagrangeovy mechaniky - Lagrangian mechanics

Část série na
Klasická mechanika
${displaystyle {extbf {F}} = {frac {d} {dt}} (m {extbf {v}})}$ Druhý zákon pohybu
Dějiny Časová osa Učebnice
Pobočky Aplikovaný Nebeský Kontinuum Dynamika Kinematika Kinetika Statika Statistický
Základy Akcelerace Moment hybnosti Pár D'Alembertův princip Energie kinetický potenciál Platnost Referenční rámec Inerciální referenční rámec Impuls Setrvačnost  / Moment setrvačnosti Hmotnost Mechanická síla Mechanické práce Okamžik Hybnost Prostor Rychlost Čas Točivý moment Rychlost Virtuální práce
Formulace Newtonovy zákony pohybu Analytická mechanika Lagrangeovy mechaniky Hamiltoniánská mechanika Routhian mechanika Hamilton-Jacobiho rovnice Appellova pohybová rovnice Koopman – von Neumannova mechanika
Klíčová témata Tlumení  (poměr ) Přemístění Pohybové rovnice Eulerovy zákony pohybu Fiktivní síla Tření Harmonický oscilátor Setrvačné  / Neerciální referenční rámec Mechanika pohybu rovinných částic Pohyb  (lineární ) Newtonův zákon univerzální gravitace Newtonovy zákony pohybu Relativní rychlost Tuhé tělo dynamika Eulerovy rovnice Jednoduchý harmonický pohyb Vibrace
Otáčení Kruhový pohyb Otočný referenční rám Dostředivá síla Odstředivá síla reaktivní Coriolisova síla Kyvadlo Tangenciální rychlost Rychlost otáčení Úhlové zrychlení  / přemístění  / frekvence  / rychlost
Vědci Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton jed Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Kategorie ► Klasická mechanika

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)

Lagrangeovy mechaniky je přeformulování klasická mechanika, představený italsko-francouzským matematikem a astronomem Joseph-Louis Lagrange v roce 1788.

V Lagrangeově mechanice je trajektorie systému částic odvozena řešením Lagrangeových rovnic v jedné ze dvou forem: buď Lagrangeovy rovnice prvního druhu,^[1] které léčí omezení výslovně jako zvláštní rovnice, často využívající Lagrangeovy multiplikátory;^[2][3] nebo Lagrangeovy rovnice druhého druhu, která obsahují omezení přímo uvážlivou volbou zobecněné souřadnice.^[1][4] V každém případě a matematická funkce volal Lagrangian je funkcí zobecněných souřadnic, jejich časových derivací a času a obsahuje informace o dynamice systému.

Při použití Lagrangeovy mechaniky není nutně zavedena žádná nová fyzika ve srovnání s Newtonovská mechanika. Je to však matematicky propracovanější a systematičtější. Newtonovy zákony mohou zahrnovatkonzervativní síly jako tření; Musí však výslovně zahrnovat omezující síly a jsou pro to nejvhodnější Kartézské souřadnice. Lagrangeova mechanika je ideální pro systémy s konzervativními silami a pro obcházení omezujících sil v jakémkoli souřadnicový systém. Disipativní a hnané síly lze vysvětlit rozdělením vnějších sil na součet potenciálních a nepotenciálních sil, což vede k souboru modifikovaných Euler-Lagrangeovy rovnice (EL).^[5] Zevšeobecněné souřadnice lze zvolit pro pohodlí, pro využití symetrií v systému nebo geometrii vazeb, což může zjednodušit řešení pro pohyb systému. Lagrangian mechanika také odhaluje konzervované veličiny a jejich symetrie přímým způsobem, jako zvláštní případ Noetherova věta.

Lagrangeova mechanika je důležitá nejen pro své široké aplikace, ale také pro svou roli při rozvíjení hlubokého porozumění fyzika. Ačkoli se Lagrange snažil jen popsat klasická mechanika v jeho pojednání Mécanique analytický,^[6][7] William Rowan Hamilton později vyvinut Hamiltonův princip který lze použít k odvození Lagrangeovy rovnice a později byl uznán za použitelný pro většinu základních teoretická fyzika zejména kvantová mechanika a teorie relativity. Lze jej také použít na jiné systémy analogicky, například spojený elektrické obvody s indukčnosti a kapacity.^[8]

Lagrangeova mechanika je široce používána k řešení mechanických problémů ve fyzice a kdy Newtonova formulace klasické mechaniky není vhodné. Lagrangeova mechanika platí pro dynamiku částic, zatímco pole jsou popsány pomocí a Lagrangeova hustota. Lagrangeovy rovnice se také používají při optimalizačních problémech dynamických systémů. V mechanice se Lagrangeovy rovnice druhého druhu používají mnohem více než rovnice prvního druhu.

Úvod

Korálek byl nucen pohybovat se po drátě bez tření. Drát vyvíjí reakční sílu C na korálku, aby to zůstalo na drátu. Síla bez omezení N v tomto případě je gravitace. Všimněte si, že počáteční poloha drátu může vést k různým pohybům.

Jednoduché kyvadlo. Vzhledem k tomu, že tyč je tuhá, je poloha bobu omezena podle rovnice F(X, y) = 0, omezující síla C je napětí v tyči. Opět síla bez omezení N v tomto případě je gravitace.

Předpokládejme, že existuje korálek, který se klouže po drátu nebo se houpá jednoduché kyvadlo, atd. Pokud někdo sleduje každý z hmotných předmětů (korálek, kyvadlo, atd.) jako částice, výpočet pohybu částice pomocí Newtonovská mechanika vyžadovalo by řešení časově proměnné omezující síly potřebné k udržení částice v omezeném pohybu (reakční síla vyvíjená drátem na patce, nebo napětí v kyvadlové tyči). U stejného problému pomocí Lagrangeovy mechaniky se podíváme na cestu, kterou může částice jít, a zvolíme vhodnou sadu nezávislý zobecněné souřadnice které zcela charakterizují možný pohyb částice. Tato volba eliminuje potřebu vstupující omezující síly do výsledného systému rovnic. Existuje méně rovnic, protože jedna přímo nepočítá vliv omezení na částici v daném okamžiku.

Pro širokou škálu fyzických systémů platí, že pokud je velikost a tvar masivního objektu zanedbatelný, je užitečným zjednodušením považovat ho za bodová částice. Pro systém N bodové částice s masy m₁, m₂, ..., m_N, každá částice má a vektor polohy, označeno r₁, r₂, ..., r_N. Kartézské souřadnice jsou často dostačující, takže r₁ = (X₁, y₁, z₁), r₂ = (X₂, y₂, z₂) a tak dále. v trojrozměrný prostor, každý poziční vektor vyžaduje tři souřadnice jednoznačně definovat umístění bodu, takže existují 3N souřadnice jednoznačně definovat konfiguraci systému. Jedná se o všechny specifické body ve vesmíru k lokalizaci částic; je zapsán obecný bod v prostoru r = (X, y, z). The rychlost každé částice je to, jak rychle se částice pohybuje podél své dráhy pohybu, a je časová derivace své polohy, tedy

$${displaystyle mathbf {v} _ {1} = {frac {dmathbf {r} _ {1}} {dt}}, mathbf {v} _ {2} = {frac {dmathbf {r} _ {2}} { dt}}, ldots, mathbf {v} _ {N} = {frac {dmathbf {r} _ {N}} {dt}}}$$

$${displaystyle sum mathbf {F} = m {frac {d ^ {2} mathbf {r}} {dt ^ {2}}}}$$

Namísto sil používá Lagrangeova mechanika energie v systému. Hlavní množství Lagrangeových mechanik je Lagrangian, funkce, která shrnuje dynamiku celého systému. Lagrangeián má celkově energetické jednotky, ale pro všechny fyzické systémy neexistuje jediný výraz. Jakoukoli funkci, která generuje správné pohybové rovnice, lze ve shodě s fyzikálními zákony považovat za Lagrangeovu. Je nicméně možné vytvořit obecné výrazy pro velké třídy aplikací. The nerelativistické Lagrangian pro systém částic lze definovat pomocí^[9]

${displaystyle L = T-V}$

kde

${displaystyle T = {frac {1} {2}} součet _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} v_ {k} ^ {2}}$

je celkem Kinetická energie systému, rovnající se součet Σ kinetických energií částic,^[10] a PROTI je potenciální energie systému.

Kinetická energie je energie pohybu systému a proti_k² = proti_k · proti_k je mocnina rychlosti na druhou, ekvivalentní k Tečkovaný produkt rychlosti sám se sebou. Kinetická energie je funkcí pouze rychlostí proti_k, ne pozice r_k ani čas t, tak T = T(proti₁, proti₂, ...).

The potenciální energie systému odráží energii interakce mezi částicemi, tj. kolik energie bude mít každá částice v důsledku všech ostatních a dalších vnějších vlivů. Pro konzervativní síly (např. Newtonova gravitace ), je to funkce pouze vektorů pozic částic, takže PROTI = PROTI(r₁, r₂, ...). Pro ty nekonzervativní síly, které lze odvodit z vhodného potenciálu (např. elektromagnetický potenciál ), zobrazí se také rychlosti, PROTI = PROTI(r₁, r₂, ..., proti₁, proti₂, ...). Pokud se s časem mění nějaké vnější pole nebo vnější hnací síla, potenciál se bude s časem měnit, tedy obecněji PROTI = PROTI(r₁, r₂, ..., proti₁, proti₂, ..., t).

Výše uvedená forma L nedrží se relativistická Lagrangeova mechanika, a musí být nahrazen funkcí konzistentní se speciální nebo obecnou relativitou. U disipativních sil musí být také zavedena další funkce L.

Jedna nebo více částic může být každá vystavena jedné nebo více holonomická omezení; takové omezení je popsáno rovnicí tvaru F(r, t) = 0. Pokud je počet omezení v systému C, pak každé omezení má rovnici, F₁(r, t) = 0, F₂(r, t) = 0, ... F_C(r, t) = 0, z nichž každá se může vztahovat na kteroukoli z částic. Pokud částice k podléhá omezením i, pak F_i(r_k, t) = 0. V kterémkoli okamžiku jsou souřadnice omezené částice spojeny dohromady a nejsou nezávislé. Omezovací rovnice určují povolené cesty, kterými se částice mohou pohybovat, ale ne tam, kde jsou nebo jak rychle v každém okamžiku procházejí. Nonholonomic omezení závisí na rychlostech částic, zrychleních nebo vyšších derivacích polohy. Lagrangeovy mechaniky lze použít pouze na systémy, jejichž omezení, pokud existují, jsou holonomická. Tři příklady nonholonomic omezení jsou:^[11] když rovnice omezení nejsou integrovatelné, když omezení mají nerovnosti, nebo s komplikovanými nekonzervativními silami, jako je tření. Nonholonomic omezení vyžadují speciální zacházení, a jeden může muset vrátit k newtonovské mechanice, nebo použít jiné metody.

Li T nebo PROTI nebo oba závisí výslovně na čase kvůli časově proměnným omezením nebo vnějším vlivům, Lagrangeově L(r₁, r₂, ... proti₁, proti₂, ... t) je výslovně závislé na čase. Pokud ani potenciál, ani kinetická energie nezávisí na čase, pak Lagrangeova L(r₁, r₂, ... proti₁, proti₂, ...) je výslovně nezávislý na čase. V obou případech bude Lagrangian vždy mít implicitní časovou závislost prostřednictvím zobecněných souřadnic.

S těmito definicemi Lagrangeovy rovnice prvního druhu jsou^[12]

kde k = 1, 2, ..., N označuje částice, existuje a Lagrangeův multiplikátor λ_i pro každou rovnici omezení F_i, a

${displaystyle {frac {částečné} {částečné mathbf {r} _ {k}}} ekvivalent vlevo ({frac {částečné} {částečné x_ {k}}}, {frac {částečné} {částečné y_ {k}}}, {frac {částečné} {částečné z_ {k}}} vpravo) ,, quad {frac {částečné} {částečné {tečka {mathbf {r}}} _ {k}}} ekviv vlevo ({frac {částečné} {částečné {dot {x}} _ {k}}}, {frac {částečný} {částečný {dot {y}} _ {k}}}, {frac {částečný} {částečný {dot {z}} _ {k} }} hned)}$

jsou každý zkratky pro vektor částečné derivace ∂/∂ vzhledem k uvedeným proměnným (nikoli derivát vzhledem k celému vektoru).^{[poznámka 1]} Každý overdot je zkratkou pro a časová derivace. Tento postup zvyšuje počet rovnic k řešení ve srovnání s Newtonovými zákony ze 3N až 3N + C, protože jsou 3N spojené diferenciální rovnice druhého řádu v souřadnicích polohy a multiplikátorech plus C omezovací rovnice. Když se však vyřeší podél souřadnic polohy částic, multiplikátory mohou poskytnout informace o silách omezení. Souřadnice není nutné eliminovat řešením rovnic omezení.

V Lagrangeově jsou všechny polohové souřadnice a složky rychlosti nezávislé proměnné a deriváty Lagrangeovy jsou s ohledem na tyto brány brány odděleně podle obvyklých pravidla diferenciace (např. derivát L s respektem k z- rychlostní složka částice 2, proti_z2 = dz₂/ dt, je právě to; žádné trapné řetězová pravidla nebo je třeba použít celkové deriváty, aby se vztahovala složka rychlosti k odpovídající souřadnici z₂).

V každé rovnici omezení je jedna souřadnice nadbytečná, protože je určena z ostatních souřadnic. Počet nezávislý souřadnice proto jsou n = 3N − C. Každý polohový vektor můžeme transformovat na společnou sadu n zobecněné souřadnice, pohodlně psaný jako n-tuple q = (q₁, q₂, ... q_n), vyjádřením každého polohového vektoru, a tedy souřadnic polohy, jako funkce zobecněných souřadnic a času,

${displaystyle mathbf {r} _ {k} = mathbf {r} _ {k} (mathbf {q}, t) = (x_ {k} (mathbf {q}, t), y_ {k} (mathbf {q }, t), z_ {k} (mathbf {q}, t), t) ,.}$

Vektor q je bod v konfigurační prostor systému. Časové deriváty zobecněných souřadnic se nazývají zobecněné rychlosti a pro každou částici transformace jejího vektoru rychlosti je celková derivace jeho pozice vzhledem k času je

${displaystyle {dot {q}} _ {j} = {frac {mathrm {d} q_ {j}} {mathrm {d} t}} ,, quad mathbf {v} _ {k} = součet _ {j = 1} ^ {n} {frac {částečná mathbf {r} _ {k}} {částečná q_ {j}}} {tečka {q}} _ {j} + {frac {částečná mathbf {r} _ {k} } {částečné t}} ,.}$

Vzhledem k tomu proti_kkinetická energie v zobecněných souřadnicích závisí na zobecněných rychlostech, zobecněných souřadnicích a čase, pokud polohové vektory výslovně závisí na čase z důvodu časově proměnných omezení, takže T = T(q, dq/ dt, t).

S těmito definicemi se Euler-Lagrangeovy rovnicenebo Lagrangeovy rovnice druhého druhu^[13][14]

jsou matematické výsledky z variační počet, které lze také použít v mechanice. Střídání v lagrangeštině L(q, dq/ dt, t), dává pohybové rovnice systému. Počet rovnic se ve srovnání s newtonovskou mechanikou snížil ze 3N na n = 3N − C spojené diferenciální rovnice druhého řádu v zobecněných souřadnicích. Tyto rovnice vůbec neobsahují omezující síly, je třeba počítat pouze s neomezujícími silami.

Ačkoli pohybové rovnice zahrnují částečné derivace, výsledky parciálních derivací jsou stále obyčejné diferenciální rovnice v polohových souřadnicích částic. The derivace celkového času označeno d / dt často zahrnuje implicitní diferenciace. Obě rovnice jsou v Lagrangeově lineární, ale obecně budou nelineární spojené rovnice v souřadnicích.

Od newtonovské až po lagraniánskou mechaniku

Newtonovy zákony

Isaac Newton (1642—1727)

Pro jednoduchost lze Newtonovy zákony ilustrovat pro jednu částici bez velké ztráty obecnosti (pro systém N částice, všechny tyto rovnice platí pro každou částici v systému). The pohybová rovnice pro částici hmoty m je Newtonův druhý zákon z roku 1687, v moderní vektorové notaci

${displaystyle mathbf {F} = mmathbf {a} ,,}$

kde A je jeho zrychlení a F výsledná síla působící na to. Ve třech prostorových dimenzích se jedná o systém tří spojených druhého řádu obyčejné diferenciální rovnice vyřešit, protože v této vektorové rovnici jsou tři složky. Řešením jsou polohové vektory r částic v čase t, s výhradou počáteční podmínky z r a proti když t = 0.

Newtonovy zákony se snadno používají v kartézských souřadnicích, ale kartézské souřadnice nejsou vždy vhodné a pro jiné souřadnicové systémy se pohybové rovnice mohou komplikovat. V sadě křivočaré souřadnice ξ = (ξ¹, ξ², ξ³), zákon v notace tenzorového indexu je "Lagrangeova forma"^[15][16]

${displaystyle F ^ {a} = mleft ({frac {mathrm {d} ^ {2} xi ^ {a}} {mathrm {d} t ^ {2}}} + gama ^ {a} {} _ {bc } {frac {mathrm {d} xi ^ {b}} {mathrm {d} t}} {frac {mathrm {d} xi ^ {c}} {mathrm {d} t}} ight) = g ^ {ak } vlevo ({frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {částečné T} {částečné {tečka {xi}} ^ {k}}} - {frac {částečné T} {částečné xi ^ {k}}} ight) ,, quad {dot {xi}} ^ {a} equiv {frac {mathrm {d} xi ^ {a}} {mathrm {d} t}} ,,}$

kde F^A je Ath kontrariantní komponenty výsledné síly působící na částice, Γ^A_{před naším letopočtem} jsou Christoffel symboly druhého druhu,

${displaystyle T = {frac {1} {2}} mg_ {bc} {frac {mathrm {d} xi ^ {b}} {mathrm {d} t}} {frac {mathrm {d} xi ^ {c} } {mathrm {d} t}} ,,}$

je kinetická energie částice a G_{před naším letopočtem} the kovarianční komponenty z metrický tenzor křivočarého souřadnicového systému. Všechny indexy A, b, C, každý nabývá hodnot 1, 2, 3. Křivočaré souřadnice nejsou stejné jako zobecněné souřadnice.

Může se to zdát jako přehnaná implementace Newtonova zákona do této podoby, ale má to své výhody. Složkám zrychlení ve smyslu Christoffelových symbolů se lze vyhnout tím, že místo toho vyhodnotíme deriváty kinetické energie. Pokud na částici nepůsobí žádná výsledná síla, F = 0, nezrychluje, ale pohybuje se konstantní rychlostí po přímce. Matematicky jsou řešení diferenciální rovnice geodetika, křivky extrémní délky mezi dvěma body v prostoru (ty mohou být nakonec minimální, takže nejkratší cesty, ale to není nutné). V plochém 3D reálném prostoru jsou geodetiky jednoduše přímky. U volné částice se tedy Newtonův druhý zákon shoduje s geodetickou rovnicí a stavy volných částic následují geodetiku, extrémní trajektorie, po kterých se může pohybovat. Pokud je částice vystavena silám, F ≠ 0, částice zrychluje v důsledku sil působících na ni a odchyluje se od geodetiky, kterou by následovala, pokud by byla volná. S příslušným rozšířením zde uvedených množství v plochém 3D prostoru na 4d zakřivený časoprostor, přenáší se výše uvedená forma Newtonova zákona také na Einstein je obecná relativita, v tom případě volné částice sledují geodetiku v zakřiveném časoprostoru, které již nejsou „přímkami“ v běžném smyslu.^[17]

Stále však potřebujeme znát celkovou výslednou sílu F působící na částice, což zase vyžaduje výslednou neomezující sílu N plus výsledná omezující síla C,

${displaystyle mathbf {F} = mathbf {C} + mathbf {N},.}$

Omezovací síly mohou být komplikované, protože budou obecně záviset na čase. Také, pokud existují omezení, křivočaré souřadnice nejsou nezávislé, ale souvisejí s jednou nebo více rovnicemi omezení.

Omezující síly lze buď vyloučit z pohybových rovnic, takže zůstanou pouze neomezující síly, nebo je zahrnout zahrnutím omezujících rovnic do pohybových rovnic.

D'Alembertův princip

Jean d'Alembert (1717—1783)

Jeden stupeň svobody.

Dva stupně volnosti.

Omezovací síla C a virtuální posunutí δr pro částici hmoty m omezen na křivku. Výsledná neomezující síla je N.

Zásadní výsledek v analytická mechanika je D'Alembertův princip, představený v roce 1708 Jacques Bernoulli rozumět statická rovnováha a vyvinutý společností D'Alembert v roce 1743 řešit dynamické problémy.^[18] Princip tvrdí pro N částice virtuální práce, tj. práce podél virtuálního posunutí, δr_k, je nula^[10]

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {N} (mathbf {N} _ {k} + mathbf {C} _ {k} -m_ {k} mathbf {a} _ {k}) cdot delta mathbf {r } _ {k} = 0 ,.}$

The virtuální posunutí, 8r_k, jsou podle definice nekonečně malé změny v konfiguraci systému v souladu s omezujícími silami působícími na systém v okamžiku,^[19] tj. takovým způsobem, že silové síly udržují omezený pohyb. Nejsou to stejné jako skutečné posuny v systému, které jsou způsobeny výslednými omezeními a neomezujícími silami působícími na částice, aby ji urychlily a pohnuly.^{[pozn. 2]} Virtuální práce je práce vykonaná podél virtuálního posunutí pro jakoukoli sílu (omezenou nebo neomezující).

Vzhledem k tomu, že omezující síly působí kolmo na pohyb každé částice v systému, aby udržovaly omezení, je celková virtuální práce omezujících sil působících na systém nulová;^{[20][pozn. 3]}

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {N} mathbf {C} _ {k} cdot delta mathbf {r} _ {k} = 0 ,,}$

aby

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {N} (mathbf {N} _ {k} -m_ {k} mathbf {a} _ {k}) cdot delta mathbf {r} _ {k} = 0 ,. }$

D'Alembertův princip nám tedy umožňuje soustředit se pouze na aplikované neomezující síly a vyloučit omezující síly v pohybových rovnicích.^[21][22] Zobrazený formulář je také nezávislý na výběru souřadnic. Nelze jej však snadno použít k nastavení pohybových rovnic v libovolném souřadném systému, protože posuny δr_k může být spojeno rovnicí omezení, která nám brání v nastavení N jednotlivé součty na 0. Budeme tedy hledat systém vzájemně nezávislých souřadnic, pro které bude celkový součet 0 právě tehdy, když jsou jednotlivé součty 0. Když nastavíme každý ze součtů na 0, nakonec nám dáme oddělené pohybové rovnice.

Pohybové rovnice z D'Alembertova principu

Pokud existují omezení na částice k, poté od souřadnic polohy r_k = (X_k, y_k, z_k) jsou spojeny dohromady omezovací rovnicí, stejně tak jsou spojeny z virtuální posunutí δr_k = (δx_k, δy_k, δz_k). Protože zobecněné souřadnice jsou nezávislé, můžeme se vyhnout komplikacím s δr_k převodem na virtuální posunutí v zobecněných souřadnicích. Ty jsou ve stejné formě jako a celkový rozdíl,^[10]

${displaystyle delta mathbf {r} _ {k} = součet _ {j = 1} ^ {n} {frac {částečná mathbf {r} _ {k}} {částečná q_ {j}}} delta q_ {j}, .}$

Neexistuje žádná částečná časová derivace s ohledem na čas vynásobený časovým přírůstkem, protože se jedná o virtuální posunutí, jedno podél omezení v okamžitý času.

Prvním pojmem výše uvedeného D'Alembertova principu je virtuální práce, kterou vykonávají neomezující síly N_k podél virtuálních posunutí δr_k, a lze je bez ztráty obecnosti převést na zobecněné analogy definicí zobecněné síly

${displaystyle Q_ {j} = součet _ {k = 1} ^ {N} mathbf {N} _ {k} cdot {frac {částečný mathbf {r} _ {k}} {částečný q_ {j}}} ,, }$

aby

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {N} mathbf {N} _ {k} cdot delta mathbf {r} _ {k} = součet _ {k = 1} ^ {N} mathbf {N} _ {k } cdot sum _ {j = 1} ^ {n} {frac {částečná mathbf {r} _ {k}} {částečná q_ {j}}} delta q_ {j} = součet _ {j = 1} ^ {n } Q_ {j} delta q_ {j} ,.}$

To je polovina převodu na zobecněné souřadnice. Zbývá převést termín zrychlení na zobecněné souřadnice, což není okamžitě zřejmé. Připomínáme Lagrangeovu formu druhého Newtonova zákona, lze nalézt částečné derivace kinetické energie s ohledem na zobecněné souřadnice a rychlosti, které dávají požadovaný výsledek;^[10]

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} mathbf {a} _ {k} cdot {frac {částečný mathbf {r} _ {k}} {částečný q_ {j}}} = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {částečné T} {částečné {tečka {q}} _ {j}}} - {frac {částečné T} {částečné q_ {j}}}, .}$

D'Alembertův princip je nyní podle potřeby v zobecněných souřadnicích,

${displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} left [Q_ {j} -left ({frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {částečné T} {částečné {tečka {q }} _ {j}}} - {frac {částečné T} {částečné q_ {j}}} přesné) ight] delta q_ {j} = 0 ,,}$

a od těchto virtuálních přemístění δq_j jsou nezávislé a nenulové, lze koeficienty rovnat nule, což má za následek Lagrangeovy rovnice^[23][24] nebo zobecněné pohybové rovnice,^[25]

${displaystyle Q_ {j} = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {částečné T} {částečné {tečka {q}} _ {j}}} - {frac {částečné T} {částečné q_ {j}}}}$

Tyto rovnice jsou ekvivalentní Newtonovým zákonům pro neomezující síly. Zobecněné síly v této rovnici jsou odvozeny pouze od neomezujících sil - omezující síly byly vyloučeny z D'Alembertova principu a není třeba je hledat. Zobecněné síly mohou být nekonzervativní, pokud splňují D'Alembertův princip.^[26]

Euler-Lagrangeovy rovnice a Hamiltonův princip

Jak se systém vyvíjí, q sleduje cestu skrz konfigurační prostor (jsou zobrazeny pouze některé). Dráha systému (červená) má stacionární akci (δS = 0) při malých změnách v konfiguraci systému (δq).^[27]

Pro nekonzervativní sílu, která závisí na rychlosti, to smět být možné najít funkci potenciální energie PROTI to záleží na pozicích a rychlostech. Pokud zobecněné síly Q_i lze odvodit z potenciálu PROTI takhle^[28][29]

${displaystyle Q_ {j} = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {částečné V} {částečné {tečka {q}} _ {j}}} - {frac {částečné V} {částečné q_ {j}}} ,,}$

rovnice s Lagrangeovými rovnicemi a definování Lagrangeovy jako L = T − PROTI získává Lagrangeovy rovnice druhého druhu nebo Euler-Lagrangeovy rovnice pohybu

${displaystyle {frac {částečné L} {částečné q_ {j}}} - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {částečné L} {částečné {tečka {q}} _ {j }}} = 0 ,.}$

Euler-Lagrangeovy rovnice však mohou odpovídat pouze nekonzervativním silám -li potenciál lze najít, jak je znázorněno. To nemusí být vždy možné pro nekonzervativní síly a Lagrangeovy rovnice neobsahují žádný potenciál, pouze zobecněné síly; proto jsou obecnější než Euler-Lagrangeovy rovnice.

Euler-Lagrangeovy rovnice rovněž vyplývají z variační počet. The variace Lagrangian je

${displaystyle delta L = sum _ {j = 1} ^ {n} vlevo ({frac {částečné L} {částečné q_ {j}}} delta q_ {j} + {frac {částečné L} {částečné {tečka {q }} _ {j}}} delta {dot {q}} _ {j} ight) ,, quad delta {dot {q}} _ {j} equiv delta {frac {mathrm {d} q_ {j}} { mathrm {d} t}} ekviv {frac {mathrm {d} (delta q_ {j})} {mathrm {d} t}} ,,}$

který má podobu podobnou celkový rozdíl z L, ale virtuální posuny a jejich časové derivace nahrazují diferenciály a v souladu s definicí virtuálních posunů neexistuje žádný časový přírůstek. An integrace po částech s ohledem na čas může převést časovou derivaci δq_j do ∂L/ ∂ (dq_j/ dt), v procesu výměny d (δq_j) / dt pro δq_j, což umožňuje nezávislé virtuální přemístění faktorizovat z derivátů Lagrangeovy,

${displaystyle int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} delta L, mathrm {d} t = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} součet _ {j = 1} ^ { n} vlevo ({frac {částečný L} {částečný q_ {j}}} delta q_ {j} + {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} vlevo ({frac {částečný L} {částečný {dot {q}} _ {j}}} delta q_ {j} ight) - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {částečný L} {částečný {dot {q}} _ {j}}} delta q_ {j} ight), mathrm {d} t, = součet _ {j = 1} ^ {n} vlevo [{frac {částečné L} {částečné {tečka {q}} _ { j}}} delta q_ {j} ight] _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} + int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} součet _ {j = 1} ^ { n} vlevo ({frac {částečné L} {částečné q_ {j}}} - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {částečné L} {částečné {tečka {q}} _ {j}}} ight) delta q_ {j}, mathrm {d} t ,.}$

Nyní, pokud je podmínka δq_j(t₁) = δq_j(t₂) = 0 platí pro všechny j, pojmy, které nejsou integrovány, jsou nulové. Pokud navíc celý čas integrál z δL je nula, pak protože δq_j jsou nezávislé a jediný způsob, jak může být určitý integrál nulový, je-li integrand roven nule, každý z koeficientů δq_j musí být také nula. Pak získáme pohybové rovnice. To lze shrnout do Hamiltonův princip;

${displaystyle int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} delta L, mathrm {d} t = 0 ,.}$

Časový integrál Lagrangeovy je další veličina nazývaná akce, definováno jako^[30]

${displaystyle S = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L, mathrm {d} t ,,}$

což je funkční; přebírá Lagrangeovu funkci pro všechny časy mezi t₁ a t₂ a vrátí skalární hodnotu. Jeho rozměry jsou stejné jako [ moment hybnosti ], [energie] · [čas] nebo [délka] · [hybnost]. S touto definicí je Hamiltonův princip

${displaystyle delta S = 0 ,.}$

Takže místo přemýšlení o zrychlování částic v reakci na aplikované síly by si někdo mohl myslet, že si vyberou cestu stacionární akcí, přičemž koncové body dráhy v konfiguračním prostoru jsou fixovány v počátečním a posledním čase. Hamiltonův princip se někdy označuje jako zásada nejmenší akce, nicméně akce musí být pouze funkční stacionární, nemusí nutně maximální nebo minimální hodnota. Jakákoli variace funkcionálu zvyšuje funkční integrál akce.

Historicky myšlenka najít nejkratší cestu, po které může částice následovat po síle, motivovala první aplikace variační počet mechanickým problémům, jako je Brachistochrone problém vyřešen Jean Bernoulli v roce 1696, stejně jako Leibniz, Daniel Bernoulli, L'Hôpital přibližně ve stejnou dobu a Newton následující rok.^[31] Sám Newton uvažoval v duchu variačního počtu, ale nepublikoval.^[31] Tyto myšlenky zase vedou k variační principy mechaniky, z Fermat, Maupertuis, Euler, Hamilton, a další.

Hamiltonův princip lze použít nonholonomic omezení pokud lze omezovací rovnice dát do určité formy, a lineární kombinace diferenciálů prvního řádu v souřadnicích. Výslednou rovnici omezení lze přeskupit do diferenciální rovnice prvního řádu.^[32] Toto zde nebude uvedeno.

Lagrangeovy multiplikátory a omezení

Lagrangian L lze měnit v kartézském jazyce r_k souřadnice, pro N částice,

${displaystyle int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} součet _ {k = 1} ^ {N} vlevo ({frac {částečný L} {částečný mathbf {r} _ {k}}} - { frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {částečné L} {částečné {tečka {mathbf {r}}} _ {k}}} ight) cdot delta mathbf {r} _ {k} , mathrm {d} t = 0 ,.}$

Hamiltonův princip je stále platný, i když souřadnice L zde jsou vyjádřeny, nejsou nezávislé r_k, ale omezení se stále považují za holonomická.^[33] Koncové body jsou jako vždy pevné δr_k(t₁) = δr_k(t₂) = 0 pro všechny k. Co nelze udělat, je jednoduše vyrovnat koeficienty δr_k na nulu, protože δr_k nejsou nezávislí. Místo toho metoda Lagrangeovy multiplikátory lze použít k zahrnutí omezení. Násobení každé rovnice omezení F_i(r_k, t) = 0 Lagrangeovým multiplikátorem λ_i pro i = 1, 2, ..., Ca přidáním výsledků k původnímu Lagrangeovi získáte nový Lagrangeián

${displaystyle L '= L (mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}, ldots, {dot {mathbf {r}}} _ {1}, {dot {mathbf {r}}} _ {2}, ldots, t) + součet _ {i = 1} ^ {C} lambda _ {i} (t) f_ {i} (mathbf {r} _ {k}, t) ,.}$

Lagrangeovy multiplikátory jsou libovolné funkce času t, ale ne funkce souřadnic r_k, takže multiplikátory jsou na stejné úrovni jako souřadnice polohy. Variace tohoto nového Lagrangeova a integrace s ohledem na čas dává

${displaystyle int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} delta L'mathrm {d} t = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} součet _ {k = 1} ^ { N} vlevo ({frac {částečné L} {částečné mathbf {r} _ {k}}} - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {částečné L} {částečné {tečka { mathbf {r}}} _ {k}}} + součet _ {i = 1} ^ {C} lambda _ {i} {frac {částečné f_ {i}} {částečné mathbf {r} _ {k}}} ight) cdot delta mathbf {r} _ {k}, mathrm {d} t = 0 ,.}$

Představené multiplikátory lze nalézt tak, že koeficienty δr_k jsou nula, i když r_k nejsou nezávislí. Následují pohybové rovnice. Z předchozí analýzy je získání řešení tohoto integrálu ekvivalentní s tvrzením

${displaystyle {frac {částečné L '} {částečné mathbf {r} _ {k}}} - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {částečné L'} {částečné {tečka { mathbf {r}}} _ {k}}} = 0quad Rightarrow quad {frac {částečné L} {částečné mathbf {r} _ {k}}} - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t} } {frac {částečné L} {částečné {tečka {mathbf {r}}} _ {k}}} + součet _ {i = 1} ^ {C} lambda _ {i} {frac {částečné f_ {i}} {částečná mathbf {r} _ {k}}} = 0 ,,}$

což jsou Lagrangeovy rovnice prvního druhu. Také λ_i Euler-Lagrangeovy rovnice pro nový Lagrangian vrátí rovnice omezení

${displaystyle {frac {částečné L '} {částečné lambda _ {i}}} - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {částečné L'} {částečné {tečka {lambda}} _ {i}}} = 0quad Rightarrow quad f_ {i} (mathbf {r} _ {k}, t) = 0 ,.}$

Pro případ konzervativní síly dané gradientem nějaké potenciální energie PROTI, funkce r_k pouze souřadnice nahrazující lagrangian L = T − PROTI dává

${displaystyle underbrace {{frac {částečné T} {částečné mathbf {r} _ {k}}} - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {částečné T} {částečné {tečka { mathbf {r}}} _ {k}}}} _ {- mathbf {F} _ {k}} + underbrace {- {frac {částečné V} {částečné mathbf {r} _ {k}}}} _ { mathbf {N} _ {k}} + součet _ {i = 1} ^ {C} lambda _ {i} {frac {částečné f_ {i}} {částečné mathbf {r} _ {k}}} = 0, ,}$

a identifikace derivátů kinetické energie jako (záporné) výsledné síly a derivací potenciálu rovnajícího se neomezující síle, z toho vyplývá, že omezující síly jsou

${displaystyle mathbf {C} _ {k} = součet _ {i = 1} ^ {C} lambda _ {i} {frac {částečné f_ {i}} {částečné mathbf {r} _ {k}}} ,, }$

tedy dává omezující síly výslovně v podmínkách omezovacích rovnic a Lagrangeových multiplikátorů.

Vlastnosti Lagrangeovy

Neunikátnost

Lagrangián daného systému není jedinečný. Lagrangian L lze vynásobit nenulovou konstantou A, libovolná konstanta b lze přidat, a nový Lagrangian aL + b bude popisovat přesně stejný pohyb jako L. Pokud se navíc omezíme, jak jsme to udělali výše, na trajektorie ${displaystyle mathbf {q}}$ omezena na daný časový interval ${displaystyle [t_ {ext {st}}, t_ {ext {fin}}]}$ a mít své koncové body ${displaystyle P_ {ext {st}} = mathbf {q} (t_ {ext {st}})}$ a ${displaystyle P_ {ext {fin}} = mathbf {q} (t_ {ext {fin}})}$ fixní, pak se dva Lagrangians popisující stejný systém mohou lišit podle „derivace celkového času“ funkce ${displaystyle f (mathbf {q}, t)}$,^[34] tj.

${displaystyle L '(mathbf {q}, {dot {mathbf {q}}}, t) = L (mathbf {q}, {dot {mathbf {q}}}, t) + {frac {mathrm {d} f (mathbf {q}, t)} {mathrm {d} t}},}$

kde ${displaystyle extstyle {frac {mathrm {d} f (mathbf {q}, t)} {mathrm {d} t}}}$ je krátká ruka pro ${displaystyle extstyle {frac {částečné f (mathbf {q}, t)} {částečné t}} + součet _ {i} {frac {částečné f (mathbf {q}, t)} {částečné q_ {i}}} {dot {q}} _ {i}.}$

Oba Lagrangians ${displaystyle L}$ a ${displaystyle L '}$ produkují stejné pohybové rovnice^[35][36] od příslušných akcí ${displaystyle S}$ a ${displaystyle S '}$ jsou spojeny prostřednictvím

${displaystyle {egin {aligned} S '[mathbf {q}] = int limity _ {t_ {ext {st}}} ^ {t_ {ext {fin}}} L' (mathbf {q} (t), { tečka {mathbf {q}}} (t), t), dt = int limity _ {t_ {ext {st}}} ^ {t_ {ext {fin}}} L (mathbf {q} (t), { tečka {mathbf {q}}} (t), t), dt + int _ {t_ {ext {st}}} ^ {t_ {ext {fin}}} {frac {mathrm {d} f (mathbf {q } (t), t)} {mathrm {d} t}}, dt = S [mathbf {q}] + f (P_ {ext {fin}}, t_ {ext {fin}}) - f (P_ {ext {st}}, t_ {ext {st}}), konec {zarovnáno}}}$

s posledními dvěma složkami ${displaystyle f (P_ {ext {fin}}, t_ {ext {fin}})}$ a ${displaystyle f (P_ {ext {st}}, t_ {ext {st}})}$ nezávislý na ${displaystyle mathbf {q}.}$

Invariance pod bodovými transformacemi

Vzhledem k souboru zobecněných souřadnic q, pokud změníme tyto proměnné na novou sadu zobecněných souřadnic s podle a bodová transformace q = q(s, t), nový Lagrangian L′ Je funkcí nových souřadnic

${displaystyle L (mathbf {q} (mathbf {s}, t), {dot {mathbf {q}}} (mathbf {s}, {dot {mathbf {s}}}, t) = t ' (mathbf {s}, {dot {mathbf {s}}}, t) ,,}$

a podle řetězové pravidlo pro částečnou diferenciaci jsou Lagrangeovy rovnice v rámci této transformace neměnné;^[37]

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {částečné L '} {částečné {tečka {s}} _ {i}}} = {frac {částečné L'} {částečné s_ {i}}} ,.}$

To může zjednodušit pohybové rovnice.

Cyklické souřadnice a zachovaný moment

Důležitou vlastností Lagrangeova je to konzervovaná množství lze z ní snadno odečíst. The generalizovaná hybnost „kanonicky konjugovat s“ souřadnicí q_i je definováno

${displaystyle p_ {i} = {frac {částečné L} {částečné {tečka {q}} _ {i}}}.}$

Pokud Lagrangeovci L dělá ne závisí na nějaké souřadnici q_i, to z Euler-Lagrangeových rovnic vyplývá okamžitě

${displaystyle {dot {p}} _ {i} = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} {frac {částečný L} {částečný {bod {q}} _ {i}}} = {frac {částečné L} {částečné q_ {i}}} = 0 ,.}$

a integrace ukazuje, že odpovídající zobecněná hybnost se rovná konstantě, konzervované veličině. Toto je zvláštní případ Noetherova věta. Takové souřadnice se nazývají „cyklické“ nebo „ignorovatelné“.

Například systém může mít Lagrangeovu

${displaystyle L (r, heta, {dot {s}}, {dot {z}}, {dot {r}}, {dot {heta}}, {dot {phi}}, t) ,,}$

kde r a z jsou délky podél přímek, s je délka oblouku podél nějaké křivky a θ a φ jsou úhly. Oznámení z, s, a φ všichni v Lagrangeově chybí, i když jejich rychlosti nejsou. Pak moment

${displaystyle p_ {z} = {frac {částečný L} {částečný {dot {z}}}} ,, quad p_ {s} = {frac {částečný L} {částečný {dot {s}}}} ,, quad p_ {phi} = {frac {částečné L} {částečné {tečka {phi}}}} ,,}$

jsou všechny konzervované množství. Jednotky a povaha každé zobecněné hybnosti budou záviset na odpovídající souřadnici; v tomto případě str_z je translační hybnost v z směr, str_s je také translační hybnost podél křivky s se měří a str_φ je moment hybnosti v rovině úhlu φ Jakkoli komplikovaný je pohyb systému, všechny souřadnice a rychlosti se budou lišit takovým způsobem, aby byly tyto hybnosti zachovány.

Energie

Definice

Vzhledem k lagrangické ${displaystyle L,}$ the energie příslušného mechanického systému je podle definice

${displaystyle E = sum _ {i = 1} ^ {n} {dot {q}} _ {i} {frac {částečné L} {částečné {tečka {q}} _ {i}}} - L.}$

Invariance pod transformacemi souřadnic

V každém okamžiku ${displaystyle t,}$ energie je neměnná pod konfigurační prostor změny souřadnic ${displaystyle mathbf {q} o mathbf {Q}}$, tj.

${displaystyle E (mathbf {q}, {dot {mathbf {q}}}, t) = E (mathbf {Q}, {dot {mathbf {Q}}}, t).}$

Kromě tohoto výsledku důkaz níže ukazuje, že při takové změně souřadnic jsou deriváty ${displaystyle částečný L / částečný {tečka {q}} _ {i}}$ se mění jako koeficienty lineárního tvaru.

Zachování

V Lagrangeově mechanice je to systém Zavřeno právě tehdy, pokud je to Lagrangeovo ${displaystyle L}$ výslovně nezávisí na čase. The zákon o zachování energie uvádí, že energie ${displaystyle E}$ uzavřeného systému je integrál pohybu.

Přesněji řečeno ${displaystyle mathbf {q} = mathbf {q} (t)}$ být extrémní. (Jinými slovy, ${displaystyle mathbf {q}}$ splňuje Euler-Lagrangeovy rovnice). Vezmeme-li celkovou časovou derivaci ${displaystyle L}$ podél tohoto extrému a použití rovnic EL vede k

${displaystyle - {frac {částečné L} {částečné t}} {iggl |} _ {mathbf {q} (t)} = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} vlevo [E {iggl |} _ {mathbf {q} (t)} ight].}$

Pokud Lagrangeovci ${displaystyle L}$ tedy výslovně nezávisí na čase ${displaystyle částečný L / částečný t = 0,}$ tak ${displaystyle E}$ je ve skutečnosti integrálem pohybu, což znamená

${displaystyle E (mathbf {q} (t), {dot {mathbf {q}}} (t), t) = {ext {const}}.}$

Energie je tedy zachována.

Kinetické a potenciální energie

Z toho také vyplývá, že kinetická energie je a homogenní funkce stupně 2 v zobecněných rychlostech. Pokud navíc potenciál PROTI je pouze funkcí souřadnic a nezávislá na rychlostech, následuje přímým výpočtem nebo použitím Eulerova věta o homogenních funkcích, že

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} {dot {q}} _ {i} {frac {částečné L} {částečné {tečka {q}} _ {i}}} = součet _ {i = 1 } ^ {n} {dot {q}} _ {i} {frac {částečné T} {částečné {tečka {q}} _ {i}}} = 2T ,.}$

Za všech těchto okolností^[38] konstanta

${displaystyle E = T + V}$

je celková energie systému. Kinetická a potenciální energie se stále mění, jak se systém vyvíjí, ale pohyb systému bude takový, aby jejich součet, celková energie, byl konstantní. Jedná se o cenné zjednodušení, protože energie E je konstanta integrace, která se pro problém počítá jako libovolná konstanta, a je možné integrovat rychlosti z tohoto energetického vztahu k řešení souřadnic. V případě, že rychlost nebo kinetická energie nebo obojí závisí na čase, pak energie je ne konzervovaný.

Mechanická podobnost

Pokud je potenciální energie a homogenní funkce souřadnic a nezávisle na čase,^[39] a všechny poziční vektory jsou škálovány stejnou nenulovou konstantou α, r_k′ = αr_k, aby

${displaystyle V (alpha mathbf {r} _ {1}, alpha mathbf {r} _ {2}, ldots, alpha mathbf {r} _ {N}) = alpha ^ {N} V (mathbf {r} _ { 1}, mathbf {r} _ {2}, ldots, mathbf {r} _ {N})}$

a čas je zmenšen faktorem β, t′ = βt, pak rychlosti proti_k jsou zmenšeny faktorem α/β a kinetická energie T od (α/β)². Celý Lagrangian byl změněn stejným faktorem, pokud

${displaystyle {frac {alpha ^ {2}} {eta ^ {2}}} = alpha ^ {N} quad Rightarrow quad eta = alpha ^ {1- {frac {N} {2}}} ,.}$

Vzhledem k tomu, že délky a časy byly změněny, trajektorie částic v systému sledují geometricky podobné dráhy lišící se velikostí. Délka l prošel v čase t v původní dráze odpovídá nové délce já prošel v čase t ′ v nové trajektorii dané poměry

${displaystyle {frac {t '} {t}} = left ({frac {l'} {l}} ight) ^ {1- {frac {N} {2}}} ,.}$

Interagující částice

Pro daný systém, pokud dva podsystémy A a B jsou neinteragující, Lagrangeovci L celkového systému je součet Lagrangianů L_A a L_B pro subsystémy:^[34]

${displaystyle L = L_ {A} + L_ {B} ,.}$

Pokud k tomu dojde, není to možné. V některých situacích je možné oddělit Lagrangeovu systému L do součtu neinteragujících Lagrangians plus další Lagrangian L_AB obsahující informace o interakci,

${displaystyle L = L_ {A} + L_ {B} + L_ {AB},}$

To může být fyzicky motivováno tím, že neinteragující Lagrangians budou pouze kinetické energie, zatímco interakce Lagrangian je celková potenciální energie systému. Také v omezujícím případě zanedbatelné interakce L_AB má sklon k nulové redukci na výše neinteragující případ.

Rozšíření na více než dva neinteragující subsystémy je přímočaré - celkový Lagrangian je součtem samostatných Lagrangianů pro každý subsystém. Pokud existují interakce, mohou být přidány interakce Lagrangians.

Příklady

Následující příklady aplikují Lagrangeovy rovnice druhého druhu na mechanické problémy.

Konzervativní síla

Částice hmoty m se pohybuje pod vlivem a konzervativní síla odvozeno z spád ∇ z skalární potenciál,

${displaystyle mathbf {F} = -abla V (mathbf {r}) ,.}$

Pokud existuje více částic, v souladu s výše uvedenými výsledky je celková kinetická energie součtem všech kinetických energií částic a potenciál je funkcí všech souřadnic.

Kartézské souřadnice

Lagrangian částice lze psát

${displaystyle L (x, y, z, {dot {x}}, {dot {y}}, {dot {z}}) = {frac {1} {2}} m ({dot {x}} ^ {2} + {dot {y}} ^ {2} + {dot {z}} ^ {2}) - V (x, y, z) ,.}$

Pohybové rovnice pro částici jsou nalezeny použitím Euler-Lagrangeova rovnice, pro X koordinovat

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} vlevo ({frac {částečné L} {částečné {tečka {x}}}} vpravo) = {frac {částečné L} {částečné x}} ,,}$

s deriváty

${displaystyle {frac {částečné L} {částečné x}} = - {frac {částečné V} {částečné x}} ,, quad {frac {částečné L} {částečné {tečka {x}}}} = m {tečka { x}} ,, quad {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} vlevo ({frac {částečné L} {částečné {tečka {x}}}} vpravo) = m {ddot {x}} ,,}$

proto

${displaystyle m {ddot {x}} = - {frac {částečné V} {částečné x}} ,,}$

a podobně pro y a z souřadnice. Shromažďování rovnic ve vektorové formě najdeme

${displaystyle m {ddot {mathbf {r}}} = - abla V}$

který je Newtonův druhý zákon pohybu pro částice podléhající konzervativní síle.

Polární souřadnice ve 2D a 3D

Lagrangeovci pro výše uvedený problém v roce 2006 sférické souřadnice (2D polární souřadnice lze obnovit nastavením ${displaystyle heta = pi / 2}$), s centrálním potenciálem, je

${displaystyle L = {frac {m} {2}} ({dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {dot {heta}} ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2 } heta, {dot {varphi}} ^ {2}) - V (r) ,,}$

takže Euler-Lagrangeovy rovnice jsou

${displaystyle m {ddot {r}} - mr ({dot {heta}} ^ {2} + sin ^ {2} heta, {dot {varphi}} ^ {2}) + {frac {částečné V} {částečné r}} = 0 ,,}$

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} (mr ^ {2} {dot {heta}}) - mr ^ {2} sin heta cos heta, {dot {varphi}} ^ { 2} = 0 ,,}$

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} (mr ^ {2} sin ^ {2} heta, {dot {varphi}}) = 0 ,.}$

The φ souřadnice je cyklická, protože se neobjevuje v Lagrangeově, takže zachovaná hybnost v systému je moment hybnosti

${displaystyle p_ {varphi} = {frac {částečné L} {částečné {tečka {varphi}}}} = mr ^ {2} sin ^ {2} heta {tečka {varphi}} ,,}}$

ve kterém r, θ a dφ / dt všechny se mohou časem měnit, ale pouze takovým způsobem str_φ je konstantní.

Kyvadlo na pohyblivé podpěře

Náčrt situace s definicí souřadnic (kliknutím zvětšíte)

Zvažte kyvadlo hmotnosti m a délka ℓ, který je připevněn k podpěře s hmotou M, které se mohou pohybovat podél čáry v X-směr. Nechat X být souřadnicí podél linie podpory, a označme polohu kyvadla úhlem θ ze svislice. Souřadnice a složky rychlosti kyvadla jsou

${displaystyle {egin {array} {rll} & x_ {mathrm {pend}} = x + ell sin heta & quad Rightarrow quad {dot {x}} _ {mathrm {pend}} = {dot {x}} + ell {dot {heta}} cos heta & y_ {mathrm {pend}} = - ell cos heta & quad Rightarrow quad {dot {y}} _ {mathrm {pend}} = ell {dot {heta}} sin heta end {array}} }$

Lze považovat zobecněné souřadnice za X a θ. Kinetická energie systému je tedy

${displaystyle T = {frac {1} {2}} M {dot {x}} ^ {2} + {frac {1} {2}} mleft ({dot {x}} _ {mathrm {pend}} ^ {2} + {dot {y}} _ {mathrm {pend}} ^ {2} ight)}$

a potenciální energie je

${displaystyle V = mgy_ {mathrm {pend}}}$

dávat Lagrangeovi

${displaystyle {egin {array} {rcl} L & = & T-V & = & {frac {1} {2}} M {dot {x}} ^ {2} + {frac {1} {2}} mleft [left ({dot {x}} + ell {dot {heta}} cos heta ight) ^ {2} + left (ell {dot {heta}} sin heta ight) ^ {2} ight] + mgell cos heta & = & {frac {1} {2}} vlevo (M + může) {dot {x}} ^ {2} + m {dot {x}} ell {dot {heta}} cos heta + {frac {1 } {2}} mell ^ {2} {dot {heta}} ^ {2} + mgell cos heta end {pole}}}$

Od té doby X chybí v Lagrangeově, jedná se o cyklickou souřadnici. Zachovaná hybnost je

${displaystyle p_ {x} = {frac {částečný L} {částečný {dot {x}}}} = (M + m) {dot {x}} + mell {dot {heta}} cos heta,.}$

a Lagrangeova rovnice pro souřadnici podpory X je

${displaystyle (M + m) {ddot {x}} + mell {ddot {heta}} cos heta -mell {dot {heta}} ^ {2} sin heta = 0}$

Lagrangeova rovnice pro úhel θ je

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} t}} vlevo [m ({dot {x}} ell cos heta + ell ^ {2} {dot {heta}}) ight] + mell ({ tečka {x}} {dot {heta}} + g) sin heta = 0;}$

a zjednodušení

${displaystyle {ddot {heta}} + {frac {ddot {x}} {ell}} cos heta + {frac {g} {ell}} sin heta = 0.}$

Tyto rovnice mohou vypadat docela komplikovaně, ale jejich nalezení podle Newtonových zákonů by vyžadovalo pečlivou identifikaci všech sil, což by bylo mnohem pracnější a náchylnější k chybám. Uvážením mezních případů lze ověřit správnost tohoto systému: Například ${displaystyle {ddot {x}} o 0}$ by měl dát pohybové rovnice pro a jednoduché kyvadlo to je u některých v klidu setrvačný rám, zatímco ${displaystyle {ddot {heta}} o 0}$ by měl dát rovnice pro kyvadlo v neustále se zrychlujícím systému atd. Dále je triviální získávat výsledky numericky, za vhodných výchozích podmínek a zvoleného časového kroku, iterativní procházení výsledky.

Problém centrální síly se dvěma těly

Dvě těla mas m₁ a m₂ s polohovými vektory r₁ a r₂ jsou na oběžné dráze kolem sebe kvůli atraktivnímu centrální potenciál PROTI. Můžeme zapsat Lagrangeovy z hlediska polohových souřadnic, jaké jsou, ale jedná se o zavedený postup převodu problému dvou těl na problém jednoho těla následujícím způsobem. Představte Jacobi souřadnice; oddělení těl r = r₂ − r₁ a umístění těžiště R = (m₁r₁ + m₂r₂)/(m₁ + m₂). Lagrangian je tedy^{[40][41][pozn. 4]}

${displaystyle L = underbrace {{frac {1} {2}} M {dot {mathbf {R}}} ^ {2}} _ {L_ {ext {cm}}} + underbrace {{frac {1} {2 }} mu {dot {mathbf {r}}} ^ {2} -V (| mathbf {r} |)} _ {L_ {ext {rel}}}}$

kde M = m₁ + m₂ je celková hmotnost, μ = m₁m₂/(m₁ + m₂) je snížená hmotnost, a PROTI potenciál radiální síly, která závisí pouze na velikost oddělenír| = |r₂ − r₁|. Lagrangian se rozdělí na a těžiště období L_cm a a relativní pohyb období L_rel.

Euler-Lagrangeova rovnice pro R je prostě

${displaystyle M {ddot {mathbf {R}}} = 0 ,,}$

který udává, že těžiště se pohybuje v přímce konstantní rychlostí.

Protože relativní pohyb závisí pouze na velikosti oddělení, je ideální použít polární souřadnice (r, θ) a vzít r = |r|,

${displaystyle L_ {ext {rel}} = {frac {1} {2}} mu ({dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {dot {heta}} ^ {2}) - V (r) ,,}$

tak θ je cyklická souřadnice s odpovídajícím zachovaným (momentem) hybnosti

${displaystyle p_ {heta} = {frac {částečný L_ {ext {rel}}} {částečný {dot {heta}}}} = mu r ^ {2} {dot {heta}} = ell,.}$

Radiální souřadnice r a úhlová rychlost dθ/ dt se může měnit v čase, ale pouze takovým způsobem, že ℓ je konstantní. Lagrangeova rovnice pro r je

${displaystyle mu r {dot {heta}} ^ {2} - {frac {dV} {dr}} = mu {ddot {r}},}}$

Tato rovnice je identická s radiální rovnicí získanou pomocí Newtonových zákonů v a společně rotující referenční rám, to znamená rám rotující se sníženou hmotou, takže se zdá být nehybný. Odstranění úhlové rychlosti dθ/ dt z této radiální rovnice,^[42]

${displaystyle mu {ddot {r}} = - {frac {mathrm {d} V} {mathrm {d} r}} + {frac {ell ^ {2}} {mu r ^ {3}}} ,.}$

což je pohybová rovnice pro jednorozměrný problém, ve kterém částice hmotnosti μ je vystaven vnitřní centrální síle - dPROTI/ dr a druhou vnější sílu nazvanou v této souvislosti odstředivá síla

${displaystyle F_ {mathrm {cf}} = mu r {dot {heta}} ^ {2} = {frac {ell ^ {2}} {mu r ^ {3}}} ,.}$