Rovnice Udwadia – Kalaba - Udwadia–Kalaba equation

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte zlepšit to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) The neutralita tohoto článku je sporný. Relevantní diskuse je k dispozici na internetu diskusní stránka. Tuto zprávu prosím neodstraňujte, dokud podmínky jsou splněny. (Září 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) Téma tohoto článku nemusí splňovat požadavky Wikipedie obecný pokyn k notabilitě. Pomozte prosím určit notabilitu citováním spolehlivé sekundární zdroje to jsou nezávislý tématu a poskytnout jeho významné pokrytí nad rámec pouhé triviální zmínky. Pokud nelze určit významnost, je pravděpodobné, že článek bude sloučeny, přesměrovánnebo smazáno. Najít zdroje: „Rovnice Udwadia – Kalaba“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek vyžaduje pozornost odborníka na fyziku. Specifický problém je: Ukázalo se, že přesnost a užitečnost tohoto tématu je omezená. Viz diskusní stránka pro detaily. Fyzika WikiProject může pomoci s náborem odborníka. (Prosince 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Část série na
Klasická mechanika
${displaystyle {extbf {F}} = {frac {d} {dt}} (m {extbf {v}})}$ Druhý zákon pohybu
Dějiny Časová osa Učebnice
Pobočky Aplikovaný Nebeský Kontinuum Dynamika Kinematika Kinetika Statika Statistický
Základy Akcelerace Moment hybnosti Pár D'Alembertův princip Energie kinetický potenciál Platnost Referenční rámec Inerciální referenční rámec Impuls Setrvačnost  / Moment setrvačnosti Hmotnost Mechanická síla Mechanické práce Moment Hybnost Prostor Rychlost Čas Točivý moment Rychlost Virtuální práce
Formulace Newtonovy zákony pohybu Analytická mechanika Lagrangian mechanika Hamiltoniánská mechanika Routhian mechanika Hamilton-Jacobiho rovnice Appellova pohybová rovnice Koopman – von Neumannova mechanika
Klíčová témata Tlumení  (poměr ) Přemístění Pohybové rovnice Eulerovy zákony pohybu Fiktivní síla Tření Harmonický oscilátor Setrvačné  / Neerciální referenční rámec Mechanika pohybu rovinných částic Pohyb  (lineární ) Newtonův zákon univerzální gravitace Newtonovy zákony pohybu Relativní rychlost Tuhé tělo dynamika Eulerovy rovnice Jednoduchý harmonický pohyb Vibrace
Otáčení Kruhový pohyb Otočný referenční rám Dostředivá síla Odstředivá síla reaktivní Coriolisova síla Kyvadlo Tangenciální rychlost Rychlost otáčení Úhlové zrychlení  / přemístění  / frekvence  / rychlost
Vědci Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton jed Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Kategorie ► Klasická mechanika

v teoretická fyzika, Rovnice Udwadia – Kalaba je metoda pro odvození pohybových rovnic omezeného mechanický systém.^[1] Rovnici poprvé popsali Firdaus E. Udwadia a Robert E. Kalaba v roce 1992.^[2] Tento přístup je založen na Gaussův princip nejmenšího omezení. Rovnice Udwadia – Kalaba platí pro oba holonomická omezení a nonholonomic omezení, pokud jsou lineární s ohledem na zrychlení. Rovnice se zobecňuje na omezující síly, které neposlouchají D'Alembertův princip.^[3][4][5]

Pozadí

Rovnice Udwadia – Kalaba byla vyvinuta v roce 1992 a popisuje pohyb omezeného mechanického systému, který je vystaven omezením rovnosti.^[2]

Tím se liší od lagraniánského formalismu, který používá Lagrangeovy multiplikátory popsat pohyb omezených mechanických systémů a další podobné přístupy, jako např Gibbs-Appellův přístup. Fyzikální interpretace rovnice má uplatnění v oblastech mimo teoretickou fyziku, jako je řízení vysoce nelineárních obecných dynamických systémů.^[6]

Ústřední problém omezeného pohybu

Při studiu dynamiky mechanických systémů, konfigurace daného systému S je obecně zcela popsán n zobecněné souřadnice tak, aby jeho zobecněné souřadnice n-vector je dán

${displaystyle mathbf {q}: = [q_ {1}, q_ {2}, ldots, q_ {n}] ^ {mathrm {T}}.}$

kde T značí maticová transpozice. Pomocí Newtonian nebo Lagrangeova dynamika, neomezené pohybové rovnice systému S ve studii lze odvodit jako maticovou rovnici (viz násobení matic ):

kde tečky představují deriváty s ohledem na čas:

${displaystyle {dot {q}} _ {i} = {frac {dq_ {i}} {dt}},}}$

Předpokládá se, že počáteční podmínky q(0) a ${displaystyle {dot {mathbf {q}}} (0)}$ jsou známy. Říkáme systému S neomezený, protože ${displaystyle {dot {mathbf {q}}} (0)}$ lze libovolně přiřadit.

The n-vektor Q označuje součet generalizovaná síla působil na systém nějakým vnějším vlivem; to může být vyjádřeno jako součet všech konzervativní síly stejně jako ne-konzervativní síly.

The n-podle-n matice M je symetrický a může být pozitivní určitý ${displaystyle (mathbf {M}> 0)}$ nebo semi-pozitivní určitý ${displaystyle (mathbf {M} geq 0)}$. Typicky se předpokládá, že M je pozitivní určitý; není však neobvyklé odvodit neomezené pohybové rovnice systému S takhle M je pouze částečně pozitivní určitý; tj hmotnostní matice může být singulární (nemá č inverzní matice ).^[7][8]

Omezení

Nyní předpokládáme, že neomezený systém S je vystaven souboru m důsledná omezení rovnosti daná

${displaystyle mathbf {A} (q, {dot {q}}, t) {ddot {mathbf {q}}} = mathbf {b} (q, {dot {q}}, t),}$

kde A je známý m-podle-n matice hodnosti r a b je známý m-vektor. Poznamenáváme, že tato sada omezujících rovnic zahrnuje velmi obecnou paletu holonomický a neholonomický omezení rovnosti. Například holonomická omezení formuláře

${displaystyle varphi (q, t) = 0}$

lze odlišit dvakrát s ohledem na čas, zatímco neholonomická omezení formy

${displaystyle psi (q, {dot {q}}, t) = 0}$

lze rozlišit jednou s ohledem na čas k získání m-podle-n matice A a m-vektor b. Stručně řečeno, lze určit omezení, která jsou

1. nelineární funkce posunutí a rychlosti,
2. - výslovně závislé na čase a -
3. funkčně závislé.

V důsledku podrobení těchto omezení neomezenému systému S, je konceptualizována další síla, konkrétně síla omezení. Proto je omezený systém S_C se stává

kde Q_C—Vázací síla — je dodatečná síla potřebná k uspokojení uložených omezení. Hlavní problém omezeného pohybu je nyní uveden takto:

1. vzhledem k neomezeným pohybovým rovnicím systému S,
2. vzhledem k celkovému posunutí q(t) a zobecněná rychlost ${displaystyle {dot {q}} (t)}$ omezeného systému S_C v čase t, a
3. vzhledem k omezením ve formuláři ${displaystyle mathbf {A} {ddot {q}} = mathbf {b}}$ jak je uvedeno výše,

najděte pohybové rovnice pro omezený systém - zrychlení - v čase t, což je v souladu s dohodnutými principy analytické dynamiky.

Pohybová rovnice

Řešení tohoto ústředního problému je dáno rovnicí Udwadia – Kalaba. Když matice M je kladná konečná, pohybová rovnice omezeného systému S_C, v každém okamžiku je^[2][9]

${displaystyle mathbf {M} {ddot {mathbf {q}}} = mathbf {Q} + mathbf {M} ^ {1/2} vlevo (mathbf {A} mathbf {M} ^ {- 1/2} večer) ^ {+} (mathbf {b} -mathbf {A} mathbf {M} ^ {- 1} mathbf {Q}),}$

kde symbol '+' označuje pseudoinverze matice ${displaystyle mathbf {A} mathbf {M} ^ {- 1/2}}$. Síla omezení je tedy uvedena výslovně jako

${displaystyle mathbf {Q} _ {c} = mathbf {M} ^ {1/2} vlevo (mathbf {A} mathbf {M} ^ {- 1/2} ight) ^ {+} (mathbf {b} - mathbf {A} mathbf {M} ^ {- 1} mathbf {Q}),}$

a protože matice M je definitivní zobecněné zrychlení omezeného systému S_C je výslovně určeno

${displaystyle {ddot {mathbf {q}}} = mathbf {M} ^ {- 1} mathbf {Q} + mathbf {M} ^ {- 1/2} vlevo (mathbf {A} mathbf {M} ^ {- 1/2} ight) ^ {+} (mathbf {b} -mathbf {A} mathbf {M} ^ {- 1} mathbf {Q}).}$

V případě, že matice M je polopozitivní určitý ${displaystyle (mathbf {M} geq 0)}$, výše uvedená rovnice nemůže být použita přímo, protože M může být singulární. Navíc zobecněná zrychlení nemusí být jedinečná, pokud (n + m)-podle-n matice

${displaystyle {hat {mathbf {M}}} = left [{egin {array} {c} mathbf {M} mathbf {A} end {array}} ight]}$

má úplnou hodnost (hodnost = n).^[7][8] Ale protože pozorovaná zrychlení mechanických systémů v přírodě jsou vždy jedinečná, je tato hodnostní podmínka nezbytnou a dostatečnou podmínkou pro získání jednoznačně definovaných zobecněných zrychlení omezeného systému S_C v každém okamžiku. Takže kdy ${displaystyle {hat {mathbf {M}}}}$ má úplnou hodnost, pohybové rovnice omezeného systému S_C v každém okamžiku jsou jednoznačně určeny (1) vytvořením pomocného neomezeného systému^[8]

${displaystyle mathbf {M} _ {mathbf {A}} {ddot {mathbf {q}}}: ​​= (mathbf {M} + mathbf {A} ^ {+} mathbf {A}) {ddot {mathbf {q} }} = mathbf {Q} + mathbf {A} ^ {+} mathbf {b}: = mathbf {Q} _ {mathbf {b}},}$

a (2) aplikací základní rovnice omezeného pohybu na tento pomocný neomezený systém tak, aby pomocné omezené pohybové rovnice byly výslovně dány^[8]

${displaystyle mathbf {M} _ {mathbf {A}} {ddot {mathbf {q}}} = mathbf {Q} _ {mathbf {b}} + mathbf {M} _ {mathbf {A}} ^ {1 / 2} (mathbf {A} mathbf {M} _ {mathbf {A}} ^ {- 1/2}) ^ {+} (mathbf {b} -mathbf {A} mathbf {M} _ {mathbf {A} } ^ {- 1} mathbf {Q} _ {mathbf {b}}).}$

Navíc, když je matice ${displaystyle {hat {mathbf {M}}}}$ má úplnou hodnost, matici ${displaystyle mathbf {M} _ {mathbf {A}}}$ je vždy pozitivní určitý. To výslovně přináší zobecněná zrychlení omezeného systému S_C tak jako

${displaystyle {ddot {mathbf {q}}} = mathbf {M} _ {mathbf {A}} ^ {- 1} mathbf {Q} _ {mathbf {b}} + mathbf {M} _ {mathbf {A} } ^ {- 1/2} (mathbf {A} mathbf {M} _ {mathbf {A}} ^ {- 1/2}) ^ {+} (mathbf {b} -mathbf {A} mathbf {M} _ {mathbf {A}} ^ {- 1} mathbf {Q} _ {mathbf {b}}).}$

Tato rovnice platí, když je matice M je buď pozitivní definitivní nebo pozitivní semi-definitivní. Navíc síla omezení, která způsobí omezený systém S_C—Systém, který může mít singulární hmotovou matici M—K uspokojení uložených omezení je výslovně dáno

${displaystyle mathbf {Q} _ {c} = mathbf {M} _ {mathbf {A}} ^ {1/2} (mathbf {A} mathbf {M} _ {mathbf {A}} ^ {- 1/2 }) ^ {+} (mathbf {b} -mathbf {A} mathbf {M} _ {mathbf {A}} ^ {- 1} mathbf {Q} _ {mathbf {b}}).}$

Neideální omezení

Kdykoli během pohybu můžeme uvažovat o narušení systému a virtuální posunutí δr v souladu s omezeními systému. Posunutí může být buď reverzibilní, nebo nevratné. Pokud je posun nevratný, provede se virtuální práce. Virtuální dílo posunutí můžeme napsat jako

${displaystyle W_ {c} (t) = mathbf {C} ^ {mathrm {T}} (q, {dot {q}}, t) delta mathbf {r} (t)}$

Vektor ${displaystyle mathbf {C} (q, {dot {q}}, t)}$ popisuje neideálnost virtuální práce a může souviset například s tření nebo táhnout síly (tyto síly mají závislost na rychlosti). Toto je zobecněný D'Alembertův princip, kde obvyklá forma principu mizí s virtuální prací ${displaystyle mathbf {C} (q, {dot {q}}, t) = 0}$.

Rovnice Udwadia – Kalaba je upravena dalším neideálním omezením na

${displaystyle mathbf {M} {ddot {mathbf {q}}} = mathbf {Q} + mathbf {M} ^ {1/2} vlevo (mathbf {A} mathbf {M} ^ {- 1/2} večer) ^ {+} (mathbf {b} -mathbf {A} mathbf {M} ^ {- 1} mathbf {Q}) + mathbf {M} ^ {1/2} vlevo [mathbf {I} -left (mathbf { A} mathbf {M} ^ {- 1/2} ight) ^ {+} mathbf {A} mathbf {M} ^ {- 1/2} ight] mathbf {M} ^ {- 1/2} mathbf {C }}$

Příklady

Inverzní Keplerův problém

Metoda může vyřešit inverzní Keplerův problém stanovení silového zákona, který odpovídá oběžným dráhám, které jsou kuželovité úseky.^[10] Bereme tam, aby zde nebyly žádné vnější síly (ani gravitace), a místo toho omezujeme pohyb částic, aby sledovaly oběžné dráhy formy

${displaystyle r = varepsilon x + ell}$

kde ${displaystyle r = {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$, ${displaystyle varepsilon}$ je výstřednost a ${extstyle ell}$ je semi-latus konečník. Dvojité rozlišení s ohledem na čas a mírné přeskupení přináší omezení

${displaystyle (x-rvarepsilon) {ddot {x}} + y {ddot {y}} = - {frac {(x {tečka {y}} - y {tečka {x}}) ^ {2}} {r ^ {2}}}}$

Předpokládáme, že tělo má jednoduchou, konstantní hmotnost. To také předpokládáme moment hybnosti o zaměření je zachována jako

${displaystyle m (x {dot {y}} - y {dot {x}}) = L}$

s časovou derivací

${displaystyle x {ddot {y}} - y {ddot {x}} = 0}$

Můžeme kombinovat tato dvě omezení do maticové rovnice

${displaystyle {egin {pmatrix} x-rvarepsilon & y y & -xend {pmatrix}} {egin {pmatrix} {ddot {x}} {ddot {y}} konec {pmatrix}} = {egin {pmatrix} - { frac {L ^ {2}} {m ^ {2} r ^ {2}}} 0end {pmatrix}}}$

Matice omezení má inverzní funkci

${displaystyle {egin {pmatrix} x-rvarepsilon & y y & -xend {pmatrix}} ^ {- 1} = {frac {1} {ell r}} {egin {pmatrix} x & y y & - (x-rvarepsilon) konec {pmatrix}}}$

Síla omezení je tedy očekávaná, ústřední zákon inverzního čtverce

${displaystyle mathbf {F} _ {c} = mmathbf {A} ^ {- 1} mathbf {b} = {frac {m} {ell r}} {egin {pmatrix} x & y y & - (x-rvarepsilon) konec {pmatrix}} {egin {pmatrix} - {frac {L ^ {2}} {m ^ {2} r ^ {2}}} 0end {pmatrix}} = - {frac {L ^ {2}} { mell r ^ {2}}} {egin {pmatrix} cos heta sin heta end {pmatrix}}}$

Nakloněná rovina s třením

Zvažte malý blok konstantní hmotnosti na nakloněná rovina pod úhlem ${displaystyle alpha}$ nad horizontální. Omezení, že blok leží v rovině, lze zapsat jako

${displaystyle y = x an alpha}$

Po převzetí dvou časových derivací to můžeme dát do standardní rovnice matice omezení

${displaystyle {egin {pmatrix} - alfa a 1end {pmatrix}} {egin {pmatrix} {ddot {x}} {ddot {y}} konec {pmatrix}} = 0}$

Matice omezení má pseudoinverz

${displaystyle {egin {pmatrix} - alfa a 1end {pmatrix}} ^ {+} = cos ^ {2} alpha {egin {pmatrix} - alfa 1end {pmatrix}}}$

Umožňujeme kluzné tření mezi blokem a nakloněnou rovinou. Tuto sílu parametrizujeme standardním koeficientem tření vynásobeným normálovou silou

${displaystyle mathbf {C} = -mu mgcos alpha operatorname {sgn} {dot {y}} {egin {pmatrix} cos alpha sin alpha end {pmatrix}}}$

Zatímco gravitační síla je vratná, třecí síla nikoli. Proto bude virtuální práce spojená s virtuálním posunem záviset na C. Můžeme shrnout tři síly (vnější, ideální omezení a neideální omezení) následovně:

${displaystyle mathbf {F} _ {ext {ext}} = mathbf {Q} = -mg {egin {pmatrix} 0 yend {pmatrix}}}$

${displaystyle mathbf {F} _ {c, i} = - mathbf {A} ^ {+} mathbf {A} mathbf {Q} = mgcos ^ {2} alpha {egin {pmatrix} - alfa 1end {pmatrix} } {egin {pmatrix} - alfa a 1end {pmatrix}} {egin {pmatrix} 0 yend {pmatrix}} = mg {egin {pmatrix} -sin alpha cos alpha cos ^ {2} alfa konec {pmatrix}} }$

${displaystyle mathbf {F} _ {c, ni} = (mathbf {I} -mathbf {A} ^ {+} mathbf {A}) mathbf {C} = -mu mgcos alpha operatorname {sgn} {tečka {y} } left [{egin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1end {pmatrix}} - cos ^ {2} alpha {egin {pmatrix} - an alpha 1end {pmatrix}} {egin {pmatrix} - an alpha & 1end {pmatrix}} ight ] = - mu mgcos alpha operatorname {sgn} {dot {y}} {egin {pmatrix} cos ^ {2} alpha sin alpha cos alpha konec {pmatrix}}}$

Kombinací výše uvedeného zjistíme, že pohybové rovnice jsou

${displaystyle {egin {pmatrix} {ddot {x}} {ddot {y}} konec {pmatrix}} = {frac {1} {m}} vlevo (mathbf {F} _ {ext {ext}} + mathbf {F} _ {c, i} + mathbf {F} _ {c, ni} ight) = - gleft (sin alpha + mu cos alpha operatorname {sgn} {dot {y}} ight) {egin {pmatrix} cos alfa sin alfa konec {pmatrix}}}$

Je to jako neustálé zrychlování směrem dolů v důsledku gravitace s mírnou úpravou. Pokud se blok pohybuje nahoru po nakloněné rovině, pak tření zvyšuje zrychlení dolů. Pokud se blok pohybuje dolů po nakloněné rovině, potom tření snižuje zrychlení dolů.

Reference