Virtuální posunutí - Virtual displacement

Jeden stupeň svobody.

Dva stupně volnosti.

Omezovací síla C a virtuální posunutí δr pro částici hmoty m omezen na křivku. Výsledná neomezující síla je N. Složky virtuálního posunutí souvisí s vazební rovnicí.

v analytická mechanika, pobočka aplikovaná matematika a fyzika, a virtuální posunutí (nebo nekonečně malá variace) ${ displaystyle delta gamma}$ ukazuje, jak může dráha mechanického systému dosáhnout hypoteticky (odtud termín virtuální) se velmi mírně odchylují od skutečné trajektorie ${ displaystyle gamma}$ systému bez porušení omezení systému.^[1]^[2]^[3]^:263 Pro každý okamžik ${ displaystyle t,}$ ${ displaystyle delta gama (t)}$ je vektor tangenciální do konfigurační prostor na místě ${ displaystyle gamma (t).}$ Vektory ${ displaystyle delta gama (t)}$ ukázat směr, kterým ${ displaystyle gamma (t)}$ může „jít“ bez porušení omezení.

Například virtuální posuny systému skládající se z jedné částice na dvojrozměrném povrchu vyplňují celou tečnou rovinu za předpokladu, že neexistují žádná další omezení.

Pokud však omezení vyžadují všechny trajektorie ${ displaystyle gamma}$ projít daným bodem ${ displaystyle mathbf {q}}$ v danou dobu ${ displaystyle tau,}$ tj. ${ displaystyle gamma ( tau) = mathbf {q},}$ pak ${ displaystyle delta gamma ( tau) = 0.}$

Zápisy

Nechat ${ displaystyle M}$ být konfigurační prostor mechanického systému, ${ displaystyle t_ {0}, t_ {1} in mathbb {R}}$ být časovými okamžiky, ${ displaystyle q_ {0}, q_ {1} v M,}$ a

${ displaystyle P (M) = { gamma v C ^ { infty} ([t_ {0}, t_ {1}], M) mid gamma (t_ {0}) = q_ {0} , gamma (t_ {1}) = q_ {1} }.}$

Omezení ${ displaystyle gamma (t_ {0}) = q_ {0},}$ ${ displaystyle gamma (t_ {1}) = q_ {1}}$ jsou zde pouze pro ilustraci. V praxi je pro každý jednotlivý systém vyžadována individuální sada omezení.

Definice

Pro každou cestu ${ displaystyle gamma v P (M)}$ a ${ displaystyle epsilon _ {0}> 0,}$ A variace z ${ displaystyle gamma}$ je funkce ${ displaystyle Gamma: [t_ {0}, t_ {1}] krát [- epsilon _ {0}, epsilon _ {0}] do M}$ takové, že pro každého ${ displaystyle epsilon in [- epsilon _ {0}, epsilon _ {0}],}$ ${ displaystyle Gamma ( cdot, epsilon) v P (M)}$ a ${ displaystyle Gamma (t, 0) = gamma (t).}$ The virtuální posunutí ${ displaystyle delta gamma: [t_ {0}, t_ {1}] do TM}$ ${ displaystyle (TM}$ být tečný svazek z ${ displaystyle M)}$ odpovídající variantě ${ displaystyle Gamma}$ přiřadí^[1] každému ${ displaystyle t in [t_ {0}, t_ {1}]}$ the tečný vektor

${ displaystyle delta gamma (t) = { frac {d gamma (t, epsilon)} {d epsilon}} { Biggl |} _ { epsilon = 0} v T _ { gamma ( t)} M.}$

Z hlediska tečná mapa,

${ displaystyle delta gamma (t) = Gamma _ {*} ^ {t} vlevo ({ frac {d} {d epsilon}} { Biggl |} _ { epsilon = 0} vpravo ).}$

Tady ${ displaystyle Gamma _ {*} ^ {t}: T_ {0} [- epsilon, epsilon] až T _ { Gamma (t, 0)} M = T _ { gamma (t)} M}$ je tečná mapa ${ displaystyle Gamma ^ {t}: [- epsilon, epsilon] na M,}$ kde ${ displaystyle Gamma ^ {t} ( epsilon) = Gamma (t, epsilon),}$ a ${ displaystyle textstyle { frac {d} {d epsilon}} { Bigl |} _ { epsilon = 0} v T_ {0} [- epsilon, epsilon].}$

Vlastnosti

Znázornění souřadnic. Li ${ displaystyle {q_ {i} } _ {i = 1} ^ {n}}$ jsou souřadnice v libovolném grafu na ${ displaystyle M}$ a ${ displaystyle n = mathop { rm {dim}} M,}$ pak

{ displaystyle delta gamma (t) = součet _ {i = 1} ^ {n} { frac {d [q_ {i} ( gama (t, epsilon))]} {d epsilon} } { Biggl |} _ { epsilon = 0} cdot { frac {d} {dq_ {i}}} { Biggl |} _ { gamma (t)}.}

Pokud, na nějakou dobu okamžité ${ displaystyle tau}$ a každý ${ displaystyle gamma v P (M),}$ ${ displaystyle gamma ( tau) = { text {const}},}$ pak pro každého ${ displaystyle gamma v P (M),}$ ${ displaystyle delta gamma ( tau) = 0.}$

Li ${ displaystyle textstyle gamma, { frac {d gamma} {dt}} v P (M),}$ pak ${ displaystyle delta { frac {d gamma} {dt}} = { frac {d} {dt}} delta gama.}$

Příklady

Volná částice v R³

Jedna částice volně se pohybující dovnitř ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ má 3 stupně volnosti. Konfigurační prostor je ${ displaystyle M = mathbb {R} ^ {3},}$ a ${ displaystyle P (M) = C ^ { infty} ([t_ {0}, t_ {1}], M).}$ Pro každou cestu ${ displaystyle gamma v P (M)}$ a variace ${ Displaystyle Gamma (t, epsilon)}$ z ${ displaystyle gamma,}$ existuje jedinečný ${ displaystyle sigma v T_ {0} mathbb {R} ^ {3}}$ takhle ${ Displaystyle Gamma (t, epsilon) = gamma (t) + sigma (t) epsilon + o ( epsilon),}$ tak jako ${ displaystyle epsilon na 0,}$ Podle definice

${ displaystyle delta gamma (t) = left ({ frac {d} {d epsilon}} { Bigl (} gamma (t) + sigma (t) epsilon + o ( epsilon) { Bigr)} right) { Biggl |} _ { epsilon = 0}}$

což vede k

${ displaystyle delta gamma (t) = sigma (t) v T _ { gamma (t)} mathbb {R} ^ {3}.}$

Volné částice na povrchu

${ displaystyle N}$ částice volně se pohybující na dvojrozměrném povrchu ${ displaystyle S podmnožina mathbb {R} ^ {3}}$ mít ${ displaystyle 2N}$ stupeň svobody. Zde je konfigurační prostor

${ displaystyle M = {( mathbf {r} _ {1}, ldots, mathbf {r} _ {N}) mid mathbf {r} _ {i} in mathbb {R} ^ {3}; mathbf {r} _ {i} neq mathbf {r} _ {j} { text {if}} i neq j },}$

kde ${ displaystyle mathbf {r} _ {i} v mathbb {R} ^ {3}}$ je poloměr vektoru ${ displaystyle i ^ { text {th}}}$ částice. Z toho vyplývá, že

${ displaystyle T _ {( mathbf {r} _ {1}, ldots, mathbf {r} _ {N})} M = T _ { mathbf {r} _ {1}} S oplus ldots oplus T _ { mathbf {r} _ {N}} S,}$

a každá cesta ${ displaystyle gamma v P (M)}$ lze popsat pomocí vektorů poloměru ${ displaystyle mathbf {r} _ {i}}$ každé jednotlivé částice, tj.

${ displaystyle gamma (t) = ( mathbf {r} _ {1} (t), ldots, mathbf {r} _ {N} (t))}}$

To znamená, že pro každého ${ displaystyle delta gamma (t) v T _ {( mathbf {r} _ {1} (t), ldots, mathbf {r} _ {N} (t))} M,}$

${ displaystyle delta gamma (t) = delta mathbf {r} _ {1} (t) oplus ldots oplus delta mathbf {r} _ {N} (t),}$

kde ${ displaystyle delta mathbf {r} _ {i} (t) v T _ { mathbf {r} _ {i} (t)} S.}$ Někteří autoři to vyjadřují jako

${ displaystyle delta gamma = ( delta mathbf {r} _ {1}, ldots, delta mathbf {r} _ {N}).}$

Tuhé těleso rotující kolem pevného bodu

A tuhé tělo otáčení kolem pevného bodu bez dalších omezení má 3 stupně volnosti. Zde je konfigurační prostor ${ displaystyle M = SO (3),}$ the speciální ortogonální skupina dimenze 3 (jinak známá jako Skupina 3D rotace ), a ${ displaystyle P (M) = C ^ { infty} ([t_ {0}, t_ {1}], M).}$ Používáme standardní notaci ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3)}$ odkazovat na trojrozměrný lineární prostor všech šikmo symetrický trojrozměrné matice. The exponenciální mapa ${ displaystyle exp: { mathfrak {so}} (3) do SO (3)}$ zaručuje existenci ${ displaystyle epsilon _ {0}> 0}$ takové, že pro každou cestu ${ displaystyle gamma v P (M),}$ jeho variace ${ displaystyle Gamma (t, epsilon),}$ a ${ displaystyle t in [t_ {0}, t_ {1}],}$ existuje jedinečná cesta ${ displaystyle Theta ^ {t} v C ^ { infty} ([- epsilon _ {0}, epsilon _ {0}], { mathfrak {so}} (3))}$ takhle ${ displaystyle Theta ^ {t} (0) = 0}$ a pro každého ${ displaystyle epsilon in [- epsilon _ {0}, epsilon _ {0}],}$ ${ displaystyle Gamma (t, epsilon) = gamma (t) exp ( Theta ^ {t} ( epsilon))}$ Podle definice

${ displaystyle delta gamma (t) = left ({ frac {d} {d epsilon}} { Bigl (} gamma (t) exp ( Theta ^ {t} ( epsilon)) { Bigr)} right) { Biggl |} _ { epsilon = 0} = gamma (t) { frac {d Theta ^ {t} ( epsilon)} {d epsilon}} { Biggl |} _ { epsilon = 0}.}$

Protože pro nějakou funkci ${ displaystyle sigma: [t_ {0}, t_ {1}] to { mathfrak {so}} (3),}$ ${ displaystyle Theta ^ {t} ( epsilon) = epsilon sigma (t) + o ( epsilon)}$ , tak jako ${ displaystyle epsilon až 0}$ ,

${ displaystyle delta gama (t) = gama (t) sigma (t) v T _ { gama (t)} SO (3).}$

Viz také

Reference

^ ^A ^b Takhtajan, Leon A. (2017). „Část 1. Klasická mechanika“. Klasická teorie pole (PDF). Katedra matematiky, Stony Brook University, Stony Brook, NY.
^ Goldstein, H.; Poole, C. P .; Safko, J. L. (2001). Klasická mechanika (3. vyd.). Addison-Wesley. str. 16. ISBN 978-0-201-65702-9.
^ Torby, Bruce (1984). "Energetické metody". Pokročilá dynamika pro inženýry. Řada HRW ve strojírenství. Spojené státy americké: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.

[TakhtajanClassicalFieldTheory2017-1] A ^b Takhtajan, Leon A. (2017). „Část 1. Klasická mechanika“. Klasická teorie pole (PDF). Katedra matematiky, Stony Brook University, Stony Brook, NY.

[Goldstein2001-2] Goldstein, H.; Poole, C. P .; Safko, J. L. (2001). Klasická mechanika (3. vyd.). Addison-Wesley. str. 16. ISBN 978-0-201-65702-9.

[Torby1984-3] Torby, Bruce (1984). "Energetické metody". Pokročilá dynamika pro inženýry. Řada HRW ve strojírenství. Spojené státy americké: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.

[1]

[2]

[3]